Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 54
Текст из файла (страница 54)
е, 'Е»'-)-!р — Е !Гг,а ... !т„, !Гг»! Е" -1- !П,. — Е, !П„ ! — — О. (68. 11) ! »» (Е)— $!гг , Е»+ !Рг г, — Е собственные функции »Р»,(х). Ограничимся решением этой задачи в первом приближении для уровней и в нулевом приближении для функций.
В отсутствие вырождения мы полагалп для функций нулевого приближения, что они просто совпадают с невозмущенпыми. Соответственно этому в пулевом приближении с»а=1, а остальные равны О. Зтого нельзя сделать при наличии вырождения, пбо, оторасывая в нулевом приближении возмущение (а', мы получим пз (68.5) возмхшгп!!в пяп нллп>пп! Выяозкдеппя 287 Это — алгебраическое уравнение степени Г„для определения Е. Часто оио называется не к о в ы м ') уравнением.
Из него мы получим )!. корней: Е= Е»,, Е„а, ..., Е„, ..., Ец . (68. 12) Так как матричные элементы )йа„предполагаются малымп, то этп корни будут близки между собой. Следовательно, мы получаем важный результат: при наложении возлтуитрния вырожденный уровень (Е») рпсппдттеп!ся на ряд близких уровней (68.12). Вырождение снимается. Если некоторые из корней (68.12) равны, то вырождение снимается лишь частью. Для каждого из корней Е»а (68.12) мы получим свое решение для амплитуд свв из уравнения (68.10). Чтобы отметить, что решение с',"', сГ', ..., са", ..., с!" принадлежит уровню Еа„мы введем в са>' еше один индекс са так, что решение уравнений (68.10) для Е»„запишется в виде Е = Е»„с = со>"„со>«, ..., с'>г„..., со>), а =- 1, 2, ..., )а.
(68. 13) Если бы мы еше удержали индекс й, то полная нумерация для сип была бы с«>а„, Уравнение (68.13) есть приближенная (в нулевом приближении) волновая функция оператора Й в «Ев»-представлении. В «х»-представлении решение (68.13) запишется в виде га «Р»а = ~'> сявка (х) (68.13') !т=! Таким образом, каждому уровню Е=Е„„принадлежит теперь своя функция тра„которая и является функцией нулевого приближения для возмушеипой системы (Й). Отличие функций (68.13') от функций (68,1) состоит в том, что в (68.1) коэффициенты п,в произвольны (вплоть до условия ортогональностп (68.2)). а коэффициенты с'"а в (68.13) определены.
Следовательно, функции нулевого приближения чт„, представляют собой частный случай функций невозмушенпой задачи чт»> . Заметим, что если вычислить следуюшие приближения, то нетрудно убедиться, что условием пригодности метода теории возмущения будет опять-таки (67,!3), которое теперь для вырожденного случая будет иметь вид ! К.в, «! ~( ! Е~ — Е»" ~. (68.14) В Э 41 было показано, что задача нахождения собственных значений и собственных функций любого оператора 1., заданного в матричной форме, сводится к решению уравнений (4!.4) и !) Название «вековоа уравнение> заимствовано из астрономии.
т!опия возмгвшиип !гл, х! нн,„.., нн,,,, и„,„,,и„„„ ... н„,„, ... н„ц„ ~ин, я нв, и нн,, н н„,, „... н..в,~„,. Нл, Нля лг Н„ж и И„агм нн„, „нц„, „. (68. 17) Обведенные прямоугольниками матричные элементы относятся к одному и тому же квантовому уровню.
Так, например, в первом прямоуголышке (один элемент) — к уровню й=. 1, во втором— к уровню й=-2, в третьем — к Ьму уровню. Если мы пренебре- (41.5). Понимая в (41.4) под оператором ь оператор полной энергии Н, мы должны учитывать, что в случае вырожд ния вместо каждого из индексов и и ш в этой формуле теперь фигурирует по два индекса п, а и ли () соответственно. В результате из (4!.4) получаем уравнения ,У~ Нта, ласла = Еслф (58. !о) л,а которые совпадают с (68.5), так как Нлйп„,=Е,"„6 „+)р'л,а „,.
(68.16) Уравнение (41.5), соответствуюшее системе (41.4), в нашем случае запишется несколько сложнее (по форме), так как строки и столбцы матрицы оператора Й нумеруются двумя квантовыми числами и и а. Именно, при каждом и имеется г„разных значений и (7'„-кратное вырождение). Число 7„возрастает с увеличением и. Для первого уровня ),=-1 термин «вырождение» не применяется. Расположить элементы Н и „„в матрицу не представляет труда. Так, можно нумеровать какой-нибудь столбец парой (и, 1), а следуюшие столбцы номерами; (и, 2), (и, 3), ..., (и, 7л), затем пойдут столбцы с номерами (и+ 1, 1,', (и+ 1, 2), ..., до (и+ 1, 1л„,) н т, д. Подобным же образом нумеруем строки (т, !), (ш, 2), ..., (и, ) ) и т.
д. При такой же нумерации элементов матрицы Н а „„уравнение для определения собственных значений Е может быть написано в следуюшем виде (это и есть уравнение (41.5) для нашего случая): 289 возмущси!ге ппг! изл!Инн выпожзтшнгя з оз! жем матричными элемептамп, относящимися к различным уровням, т. с. элемептазш тнпа ??и!р ао (агап) (этн элемснть!, согласно (68.16), Равны 1)тгго,г,е), то УРавненне (68.1?) УпРостнтси и примет внд !Нп и — Е) О ! '- о Нгьм Е "Нг,згг О о О Нзь ! ...
Нгу.,ап — ŠΠ— 0 О. Гнго.ы — Е" Ньь гг)а О. О, О. Пнс„ы ". Нг!)а,ь/» — Е ... (68.18) Такую матрицу называ!от ст у не н ч а то й. Ее определитель Л'(Е) разбивается на произведение определителей меньшего ранга, именно '), )Нм,„— Е ... П,,„ Л' (Е) = () Н~п зг — Е <! ~~ ,/Наг,а! — Е" Пм. а)а ... = О. (68.19) !' Ньу г,! „.
Па) а) — Е' да определители через Л! (Е), получиа значая входящие сю ! Ло(Е)=-Л! (Е) Л! (Е) Л; (Е) — 0 (68 20) Уравнение (68.20) будет удовлетворено, если Лн (Е) = О, илн Л!. (Е) =О, или вообще Л)„(Е) =О. 1(ори!! этих уравнений и да!от в первом приближении энергии первого, второго и вообще А-го уровня. Уравнение (68.21) ЛО (Е)=0 тождественно с уравнением (68.11), установленным другим путем. В 5 41 мы объяснялн, что задача нахождения собственных значений оператора может рассматриваться как задача о приведении к' диагональному виду его матрицы. Из изложенного видно, что принимаемое в теории возму!ценна первое приближение ') Этот результат полуиается сразу, если раскрыть опрсделитель (63.!8) по ооыиному правилу раскрьпия: произведение элементов на миноры.
!Гл. х! ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ заключается в том, что мы пренебрегаем матричными элементами, относящимися к разным уровням, н, таким образом, задачу о приведении к диагональному виду бесконечной матрицы сводим к приведению к диагональному виду конечных матриц (отдельных матриц в ступенчатой матрице (68.18)). 5 69. Расщепление уровней в случае двукратного выромсдения Рассмотрим частный случай снятия вырождения возмущением, когда интересующий нас уровень невозмущенной системы двукратно выро>кден. Пусть собственному значению Е» оператора й' принадлехсат две функции ()» = 2): ф"„и ф»,. Любые две функции ср»> и <р»», получающиеся из >14, и»р», путем ортогонального преобразования, будут также собствешсь>мн функциями оператора О», принадлежащими уровню Е».
Это преобразование мы можем записать в виде (см. (68.1)) ср»> =а» р»»+а>. р»~, (69.1) ср!в = ам ф»>+ а»» >р»» (69.1') Чтобы удовлетворить условию ортогональностн (68.2), положим а„= соз 0 е>В, а»» = з(п 0 е-'а, ~ (69.2) а„= — з)п0.е'В, а, =соз0 е 'а, ) причем 0 и () здесь два произвольных угла. Таким образом, соз"'в')4 +""" '"р 69 З ср1»= — з(п0 е'"»Р»,+соз0 е-'0>РР» представляют собой наиболее общие выражения для волновых функций, принадлежащих двукратно вырожденному уровню Е,'.
Ортогопальность и нормировку этих срункций легко проверить непосредственно и убедиться также, что коэффициенты а„а (69.2) удовлетворяют условию ортогональности '(68.2). При (>=0=0 из (69.3) получаются исходные функции >р», и»р>». Пусть теперь наложено некоторое возмущение У. Нулевое прибли>кение будет выражаться функциями, являющимися функциями невозмущепной системы, т, е. функциями (69.1), но с вполне определенными козффш~иеитамн; иначе говоря, значения углов 0 и б будут зависеть от вида возмущения К. Для определения этих углов будем искать прямо коэффициенты с, н с, в суперпознции ср = с>>)4, + сД4,. (69,4) Согласно изложенной выше теории эти коэффициенты определяются пз уравнения (68.10), которое в рассмотренном частном »»»! г»сшеплвнпе гговнш1 двхкглтного выгождения 291 случае имеет вид (Е» + %'и — Е) с, + 9У„с, = О, (Е»+ В',» — Е) с»+ %'»»е» =- О, (69.5) где иу»», йу»», !)у,„, йу»» вЂ” матричные элементы энергии возмущения: (69.6') (69.6") (69.10) Полагая Ж',, = ! К»» ! .
е" а (69.11) и подставляя в (69.!0) первый корень (е„знак +), получим — — с!я а е"в, (69.12) е» и»» — йГо .» / (его — 9Г»»)» +~вг»»Р а для второго корня (еьч знак — ) с» аг. 1э'„ / (агд. аг„„)» Таким образом, получаются следующие решения (в «х»-представлении); Еы — — Е + " "+»~ " " +)Яг (69.!3) ~р»,— — созе уф,+з!па е»в ф»» 7711 =Р аФФ~ г(х, (69.6) 1(г»» 1 "ар т»» г(х )У' ьэ = В'а — — ~ »й»1%»й»а Нх. Вековое уравнение (68.11) имеет тогда вид Л,(Е) =, =- О, (69.7) где е — поправка к энергии й-го уровня: е=Š— Е» (69.8) Раскрывая определитель (69.?) и решая получающееся квадратное уравнение, мы найдем два корня е,, = " 2 '- -+.
~/ 1 ",, " +1)г»» !', (69.9) Из уравнений (69.5) находим тсОР!!я возмущГнии (ГЛ. Х! »9 1 и йг»+йтзз 1/((р» — (рзз)з !раз= — зги 8 а10 зр3!+созб.е-га трат, причем — (и Е ! ~'е(, (69, 14) йтт — й» 1/ (йт — йт е) — 0, — + ! йтгз !' (р сы" = —,' !!(р»! ' (69.15) Весьма важным является частный случай, когда (Р !1 =- (8 Г.» В'! = ((Ра!. (69.16) Для этого случая имеем Ем =- Е3+ ((т!!+ В'1„ ! 1Рм= —,М!+Ф,'), 1' 2 Е„., = Еа'+ (Р'1! — (8'!ю ч Р' 2 (69.17) (69.17') Преобразование (69.3) сеть поворот.
1(и зюжсм и!лучить прям!ю геометрическую аналогию, если будэм сщгать 8=0 (это требует, чтобы )Рм=йгю). Тогда коэффициенты а действительны. Частныс значения коэффициентов ив ком)фициенты с — также действительны. Вместо (69.4) мы можем напнсат!ь полагая с,=, сз=-Ч: е (69.(8) з111 ! 10)т (индекс й мы будем держать п уме). Если аотребовзть, чтобы ".а+ Ч'= '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
