Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Справа внизу )казывшот число ). Поэтому, иаира!!ср, уровсиь (терм) с а=Э, 1=-1, )=-, обозначают тзк: Зр. Иногда ставят еще одии зиачок: 3'и,.— дзойка слеза вверху указывает, что терм 3'р., принадлежит к числу дублегиых (двойиых). Б случае одного оптического электроиа это указаи!!с излишке, т. с, там все уровни дублстиые ()=!+),. и )'= (! — l„., кроме, конечно, з-уровней, где ! =-О). При рассмотрении гелия мы встретимся с случаем более сложиои мультиилегиой структуры.
Так, благодаря иаличи!о двух электроиов имеются одииочшхе термы (сииглетиыс) и тройные (триилетиые) (см. й 122). с!тобы различать эти случаи, зиачок, указывающий мультиилстиость уроьия, все же сохраияют. Итак, )!г!!зван!ь пб!!зниипеиы!! лп пбычнпжд сипспйр (63.!3) через Е,, и„ свещи)!пгкх!г!пиес!ги пбпзнаиаепт! через 3'р*, На рис. 49 приведена схема уровней водородоиодобиого атома (т. е. атома с одним оитическим электроном) с учетом мультиплетиой структуры.
Та!л >ке ириведеиы кгаитовые числа и спектроскопические обозиачеиия. Ка!алому из рассмотрев!ъ!х уровней Еи,; иршшдлеэкит 2)+! состояний, различающихся числом тл т. е. ориентацией полного момента 3 в иростраистве. Только ири иаложеиии внешнего поля зти сливжощиеся уровии могут разделиться (см, теорию сложного э!!х)!скта Зсеыаиа, 4 74). В отсутствие такого поля мы имеем (2)+1)-кратиое вырождение.
Так, 2з;терм имеет вырождение 2: два состояиия, отличающиеся ориситацией спика. 2р.;терм имеет з вырождение 4 соответсгвеиио ориентациям Л: т,=-:~ Глана Х1 ТГОРР)Я ВОЗМУЩЕ)Ый 5 Сб. Постановка вопроса ,Лишь в очень немногих слу>щях задачу о нахождении квантовых 1ровпей системы (т. е. о нахождении собственных зиаче>шй и собственных функций оператора энергии Й) удастся разрешить с помощью изученных в математике функций.
Б болщиипстсе проблел> атомной механики таких простых решений пе существует. Поэтому очень важен весьма обширный класс случаев, когда рассматриваемая задача может быть приближенно сведена к задаче, относящейся к более простой системе, для которой собственные значения Е,", и собственные функции т)>,", известны. Такая возможность представляется тогда, когда оператор энергии Й рпссмзтрпвасмой системы мало отличается от оперзтора Н" более простой системы. Точное значение слов «операторы мало отличаются» выяснится из дальнейшего. Сейчас мы укажем те случаи, которь>е от юсятся к кругу задач, могущих быль решенными приблюкенно. Допустим, что нам известны волновыз функции и квантовые уровни электронов, движущихся в атоме.
Нас интересует, как изменятся квантовые уровни и волновые функции, если атом поместнть во внешнее электрическое или магнитное поле. Достигаемые на опыте поля обычно малы в сравнении с виутрнатомныч кулоновским полем '). Действие внешнего поля можно рассматривать как малую поправку нли, как мы будем говорить, еаза«уи1ение (этот термин заимствован нз небесной механики и применялся первоначально для обозначения влияния одной планеты на орбиту другой).
Таким же путем могут быть учтены слабые взаимодействия электронов внутри атомов, например,магнитные, а в иных случаях даже и кулоиовские. Общие методы решения подобных задач и составляют предмет теории возмущений. х) В случае электрического поля ма>кис достигнуть полей, сравнимых с внутриатомными (ср. Е 101).
тволия Возму!цапни 278 !гл х! Н..=1ф.«ЙД (х. (66.6) Мы ограничимся пока рассмотрением таких случаев, когда оператор энергии Й обладает дискрегиым спектром. Пусть данный нам гамильтоннан Н равен Й =Й«+(р'. (ббП) Лобавок У будем рассматривать как малый и будел! называть энер гней возмущен и я (пли иногда кратко — возмущением). Лалее, мы предполагаем, что собственные значения Е« оператора Н' и его собственные функции !Р~ известны, так что Йаф« Еюфо (66.2) Наша задача заключается в нахождении собственных значений Е„ оператора Н и его собственных функций. Эта задача, как мы знаем, сводится к решению уравнения Шредингера Йф = Еф.
(66.3) Уравнение (66.3) отличается от уравнения (66.2) одним членом Ф«р, который мы считаем малым. Для приближенного решения задачи методом теории возмущений пишут прежде всего уравнение (66.3) в таком представлении, в котором за основную переменную берут собственные значения Е, оператора Й,, т. е. уравнение (66.2) берут в «Е«»-представлении. Если первоначально оператор Н (66.!) и вместе с тем уравнение (66,3) даны, как это чаще всего и будет, в координатном представлении, то нужно от этого представления перейти к «Е'а-представленшо.
Напомним этот переход. Будем всюду явно писать только одну координату х (в случае надобности под х можно разуметь любое число переменных так же, как и под значком а у волновой функции «р„можно разуметь ряд квантовых чисел). Пусть в координатном представлении («х«-представление) собственные функции оператора Й' будут ф (х). Разложим искомую функцию «р(х) по функциям ф,',(х): ф(х) = ~х,с„«)!„" (х). (66 А) « Тогда совокупность всех с, есть не что иное, как функция «р в «Е«э-представлении. Подставляя (66.4) в уравнение (66.3), умножая его на ф,'„«(х) и интегрируя по х, получим ~Н „с„=Ее, (66.5) « где Н„„, есть матричный элемент оператора Н в «Е«э-представлении! постановка Вопгосл 279 %7„„= 1 «р" «Ф»р," «(Х. (66.7) Матрица, образованная из элементов ((7 „, есть оператор Ф в этом же представлении.
Подставляя (66.6') в (66.5), получим Х (Е,",б, + 1(7„,„) с„= Ес . (66.8) Перенося все члены налево, находим (Е,"„+((7»„» — Е) с + ~ !Г„«с»=О, (66.9) » «ь ж где п и гп пробегают все значения, которыми нумеруются функции не в азм ущен пой системы»р;„. Пока мы никак не использовали предположение о малости !Р', и уравнение (66.9) справедливо точно. Задача теории возмущения заключается в том, чтобы использовать предположение о малости величин ((7 „. Чтобы явно выразить степень малости !Р', положим ((7 =) ш, (66.10) где Х вЂ” малый параметр. При )«=О оператор Й переходит в Й'.
Тогда уравнение (66.9) запишется в виде (Е"„,+7»и«,„— Е)с„,+Х ~~ ш „с„=О. (66.11) «»: ~и Это уравнение мы будем решать по степеням Х, считая Х малой величиной. При Х=-О из (66.11) получается просто уравнение (66.2) в «Е'»-представлении: (Е,"„— Е) с =О, (66.12) имеющее решения Е'"' = Е"„„с,'„" = ! . (66.13) При малых значениях )» естественно ожидать, что решения уравнений (66.11) будут близки к решениям уравнений (66.12), т.
е. к (66.13). Это предположение мы можем выразить явно, если представим собственные функции с уравнения (66.!1) и его Матрица, образованная из элементов Н„„, есть оператор Й в «Е»»-представлении. Имея в виду (66.1) и (66,2), получаем Н ~»Р»» (Н» ! ф) «Р'«(х ~ ~,,~'Й»„ра ~х ! ~ф;::р'ф«(х — Е„"6»„+ф' „, (66.6') где (Р„,„есть матричный элемент энергии возмущения в «Е»»-представлении: т!.ошш ьозм>ньц !шп ьг.!. х! "во собствесиыс значения Е в сиде рядов по степеням малого параметра Л: (66.14) и Е =- Е ив -'; ЛЕ!" -'; Л»Е ь»ь -1- ...
(66.15) Прн Л =-О (56.14) и (66.1 ) перекодят в (66.13), причем Еио должно равняться Е,", Оказывается, что решение уравнений (66.11) сущестгщп;о ззш;сит от того, выро>кдены ли состояния системы )т' или иет. Вели оин гырождеиы, то каждому собственному зиачеишо Е;,' ирииадлежит несколько собственнык функцььй ьр'„'„если ие вырождены, — то только одна функция. Зти два случая мы рассмотрим порознь.
3 67. Возмущение в отсутствие вырождения Пусть каждому собсзвепиому зиачсишо Е„' иесозмущеииого урзиисиия (бг>.2) ирина !лежит лишь одна сооствспиая функция ьР„", с<>о! ! стствсиио — олив амплитуда с',;. Подставим в уравнение (66.11) ряды (66.!4) и (66.15) и соберем члены с одинаковыми стсисиями параметра Л (ń— Е"')с„", +Л'Ь(и!»„» — Е ') с,„" +(Е,"„— Е ")с„,"+ ~~ и„„с,,"1+ Ф Ш +(Е;„— Е")с„', + ~" кь,»»с,",1",— ...
=О. (67.1) » г»1 Зто представление )!иыиьсиия (66.11) позволяет легко решить его »!сто,ьоз! ысслсловзгслы~ык приближений, Мы полу шм пулевое приближение, сел ! положим Л=.О; тогда иолучаем (Е,"„— Е ') с„", =--О, ш =1, 2, 3, ..., 1!, ... (67.2) Зто- уравнение для иевозмущенпой системы !т».
Пусть иас интересует, как меняется уровень Еь,' и собственная функция >р», под действием возмущения Ф. Тогда нз решений (67.2) мы берем й-е: Е" =- Е»", с„",'=5„,», (67.3) т. с. все с„у=-О, кроме г'„" =-1. Реьиеине» (67.3) мы будем иазьвзть рек!ение>и в нулееоз! вгиьбт>кении.
Зто решение мы подставляем в уравнение (67.1) с тель, чтобы найти следуьощее, первое ирибли>кение. Подстановка дает Л)(к>,„»,— Е'")ьу»»+(Е,„',— Е»)с~ + У и „5,»~+0(Л»)=О, (67А) П' ФЯ где через 0(Л») обозначены члены порядка Л' и выше. Ограничиваясь первы»! приближением, мы должны считать эти члены малыми Возмишш111с и огслств11с выяохчгсн1117 л 171 и отбросить их. Тогда получаем (игл,„,— Е'") бл„,.+(Ел — Е»)с'„",+ ) на„,„бли — — О.
(67.4') л; ал Если мы возьмем из этих уравнений уравнение номера и =)г, то получим гмии — Есп = О (67. 4") Отсюда находим поправку к Е» первого приближения: 1 = г»а»И (67.5) Из уравнений ст -'./г находим поправки к амплитудам с'„",, именно, если т- Й, то (67.4') дает (Е,"„— Е») с',„" + ю,ии = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
