Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Этот метод измерения магнитного момента имеет очень высокую точность. Так как нас й зз1 движение спинА В переменном мАГнитнОм пОле йбб будет интересовать исключительно движение спина (движение центра тяжести частицы может быть описано методами классической механики ')), то нам достаточно написать уравнение щре.
дингера для спиновой функции 5 (61.6). Это уравнение имеет вид *) (63.1) (й"-„— '= — РНе5,— 1«Нхе ' 5„ щ (л — „' = + РН,5, — РНхегег5х, Ж (63.4) (63.4') Мы будем считать, что в момент вступления частицы в перемен ное поле (1=0) ее магнитный момент направлен по оси ОЛ, так что при г'=0 5,=1, 5,=0. т) Зто можно сделать для тяжелых частиц (ядра, атомы), но нельзя сделать для электронов, Бор показал, что методом Штерна — Герлаха вообще невоз»южно измерить магнитный момент свободного электрона (см., например, Я о т т н А1ессн, Теория атомных столкновений, «Мнр», 1969, гл.
9). з) Зто уравнение не содержит оператора кинетической энергии, которая в данном случае должна бы быть кинетической энергией собственного врщцения частицы. Однако поскольку за остается постоянным, постольку и эту энергию следует считать постоянной. Поэтому ее можно не вводить в уравнение. з) В действительных опытах Раби переменная составляющая магнитного поля линейно поляризована. Однако для вычислений удобнее взять вращающееся в плоскости (ху) поле. Результаты ничем существенным не различаются, Простоты ради, мы будем считать, что частица обладает спином й)2.
Тогда магнитный момент 9М изобразится двухрядной матрицей й)1„= РО»н ц)1з = )ьо„й)1» = рсг„ (63.2) где О, Ою О,— матрицы Паули (69.9) и (69.9'), а )ь есть абсолютное зйачение проекции магнитного момента на какое-либо направление. )для ядерных частиц, даже для простейших нуклоиов — протона и нейтрона, не существует столь же простого соотношения между механическим моментом з и магнитным моментом Зй, какое известно для электрона (68.3). Поэтому мы будем считать )з некоторой константой, характерной для частицы. Магнитное поле в пространстве В предположим, в соответствии с постановкой опыта Раби, имеющим вид') о1е"„=Нт созщ(, едг „=-Нхсбпо»г» егг»=Не. (63.3) Подставляя (63.2) и (63.3) в уравнение (63.1), пользуясь видом лгатриц Паули (59.9, 9') и правилом действия этих матриц на спнновые функции, найдем уравнение для компонент спиновой функции 5, и 5«.
(первая принадлежит 9)1« = +)з, а вторая — 2)1, = — р): совствениыи мехлни"1ескии и млгнитиыи' момснты 1гл. х Положим 2ИН. — — =. Л. л ' 2НО (63.6) Тогда уравнения (63.4), (63.4') можно переписать в виде -",— ', ='-;-5,+ Л.-'5„ (63.6) -„— ". = — '-'- 51 + !'ЕЛе! "151. ау 2 (63.6') ,г(ифференцируя (63.6') по времени, можно, пользуясь (63.6), искл!очить функцию 5,.
Заодно выпадет и переменный коэффициент е-™. После несложной выкладки получим уравнение для 5,: — = — ! — +т Л +- ) 51+!'а — '. И55! ! Мч 1 2 Уэ ! !!52 ш = '12 4) '" Ж' (63. 7) Это уравнение решаем подстановкой: 51 == аего'. Характеристическое уравнение для определения частоты й будет йэ — йн — (-2 — + ~'Л'+ 4) = О. (63.8) Если положить те+ 4дэтэ 1 11!"-Н;-', И-"Н11 о!э м!~ 12 2! )' (63.0) где ! =Л/2 есть проекция спина, и ввести 1иО=Н1(Н„то нетрудно убедиться, что для (э.
из (63.8) получается Й=+ — ч --(1+д'+21)созО)'1'=+ — + 6. (63.10) Поэтому обшее решение для 51 будет 1!! ., Е)1 5. (1) = а,е ' + а,е -" (63.П) В соответствии с начальными условиями нужно взять а,= — аэ = = А/21', так что а! 5, (1) = Ае е э!и й.
(63.1! ') Амплитуда А определится из условия 5, (О) = 1. Подставляя (63.1Г) в (63.6) при 1=0, найдем А =1тЛ,'б. Поэтому Й,81 5 (1) = О-е-' з!п61, (63. 12) Вероятность найти в момент 1 магнитный момент Я., равный — и, будет 1' (1) = ! 51 (11 ~ = —, 51!и 61 = О! — з! и'-'- ((1+ а'+ 2д соз О) '1Ч). (63.13) 267 своиствА пОлнОГО моментА нмпульсА ф 64, Свойства полного момента импульса Мы виделн, что и орбитальный момент М, и спиновый 5 представляют собой величины, принимающие лишь квантовые дискретные значения. Рассмотрим теперь полный момент импульса, являющийся суммой орбитального и спннового моментов.
Оператор полного момента определим в виде суммы операторов орбитального момента М и 5: .7= Я+5, (64.1) (64.1') 7М+5)МУ+5(М+5 Покажем, что операторы компонент полного вращательного момента подчиняются тем же правилам коммутации (25.5), что н компоненты орбитального момента Л4х, М,, М,. Для этого заметим, что Л4 и 5 коммутируют, так как оператор М действует на координаты, а оператор 5 на них не действует. Поэтому Уху„—,(„УУ= (Мх+5х) (Мх+5х) — (М, +5„) (Мх+5,) = = Мх̄— М,,М, +эхэ„— 5,5„= ИМ, + !Л5, (64.2) (последнее в силу (25.5) н (59.1)). Таким образом, УхУу х уух ~Д'~х (64.3) (64,3') (64.3") (два последних равенства получаются из первого циклической перестановкой). Время ! в опыте Рабч равно времени, в течение которого частица пролетает через пространство В.
Если скорость частицы есть и, а длина пространства В оавна 1, то != И. В опыте берут 9=1, а бг=л(2 (чтобы получить максимум вероятности опрокидывания Р (1)). Отсюда легко оценить, что при о 10" см,'сгьд 1=! Ем частота переменного поля Гэ будет равна 10' ж!. Чтобы судить о точности этого замечательного метода, укажем, что способо 1 Раби были измерены магнитные моменты р для протона (р) и нейтрона (а) и получены значения: рр — — 2,7896 + -+ 0,0002, 9„=1,935;~-0,02 (за единицу принят ядерный магнетон Бора, равный еп!2Мс, где М вЂ” масса протона. Этот магнетон в 1842 раза меньше магнитного момента электрона). воа совствгги!ыи мсхяиии(кии и и !г!и!пни ! момгиты И л. х (64.6) (64.6') Найдем теперь оператор квадрата полного врагцатсльиого мо- мента гг.
Имеем )г (М+з)г Мг 1 зг 1 оЛ1" =--Йгопзэ+2(м,з.+М„зе+М,з,). (64.4) Оператор ег коммутирует с л!обой проекцией Х Например, рассмотрим проекцию на 02 Уг=-Мг+зг. Так как Л1г комгвути- рует с М', зе и зг с М', з-, то получим ,Иг —.)г.(' = 2(мхз. +мезе+Мг..) (М, + )— — 2 (Мг+ зг) (М,зх+ М„зе+ йгзг). Раскрывая здесь скобки, иа!),гсг! Ы вЂ” lг,)в== 2 г(м,мг — Л!1,М,) зх+ (Меме — М.Л(е) зе+ + М с (з,,з- — згвх) + М р (з,,Я ° — 3-з. ) 1 и, подставляя с!ода выра!кение в круглых ско ~пах из (25.0) ~! (59.1), получаем окончательно ,Иг — l:.)г =- = 2!! — гтгК„."х+ ИЛ(,.ее+ М, ( — !4!ее) + М„(+ Из.)) =- О.
Подобным же образом доказывается утверждение для осталгигых двух компонент. Таким образом, ,Феух УУг=о, (64.5) Х2,/„—,) „,)э = О, (64. 5') „ы) у уэ О. (64.5") этп равенства — такого же вида, как и (25.6). Ото!ода следует, что оператор Р и операзор любой проекции (ио одной), напри- мер г„одновременно могут быть приведены к диагональному виду, и, стало быть, вели гииы г'э и е', прина„лежат к числу одновременно измергглгвгх. Легко видеть также, что оператор гэ коммутирует с опера- торами М' н з'. Действительно, об!югцаясь к формуле (64.4), мы непосредствегию видим это свойство оиср;!тора ег, так как М" коммутирует с М', М„, Л1„, М. и зг, ве, з. и з'. Равным образом зэ, являясь единичной матрицей (умноженной на -4-6', см.
(59.13)), коммутирует с з,, зе и зг. Поэтому РМ'-МФ = О, .Ю вЂ” в'.)'.=- О. сп ьи.гст ~!оти!ого момгитл !ьнимльст 4 с!! 269 Следовательно, .(а, Ма и;е представляют собой такжс одновременно изл!г)н!и!о!с оглпчпны. Из (64.4) имеем (1)!а) 1 (уе Ма ~а) Так как (Мз) образуется из величин одновременно измеримых, то скалярное произведение (Мз) одновременно измеримо с Р, Ма и ь"-. Замсчая, 1то (Ма)+ аа = ()а), мы получаем из (64.7) еще скалярное произведение (га): 2 ( + (64.8) (64.9) Нике мы покажем, что квадрат полного момента лс и его проекция,/„.
иа л!обое направление кваг1туются аналогично орбитальному моменту, ио полуцелыдш числами. Имсиио, )а=бе) (~+1) ) =- — '-,-, -2-, ..., (64.10) ,з б уа=йт), т;=:"-2-, ~ . ° ° ° ~з) (64.11) причем квантовос число ), опрсделя!ощее собстветшые значения полного момента, может быгь выражено через орбитальное число ! и сииновое (, (59.14) по формуле )=1+(г или ) =1! — 1,~. (64.12) Из формул для собственных значений Р (64.10), М' (25.21) и аа (59.14) получаем важные в спектроскопии выражения для собственных значений (Мз) и (.Ь): (Ма)=~.-1!'О'+!) — (((+!) — 1,(1,+!)), (64 !З) (~8) =-'," (и+ 1) -1((+ 1)+1, ((,+ 1)). (64.14) Эти формулы мы применим позднее к теории сложного эффекта Зеемана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
