Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Если магнитное поле отсутствует, то вместо (56.22) получаем (56.23) т. е. имеет место равномерно ускоренное движение центра волнового пакета. Заметим, что в однородном электрическом поле не существует стационарных решений (соответствующие волновые функции обращаются в бесконечность при х=.+ со (смотря по направлению поля о„)). Действительно, согласно (56.23), центр волнового пакета для (=оо должен лежать в бесконечности: поле «сдувает» частицы в сторону падения потенциальной энергии.
В магнитном поле существуют стационарные решения (см, 6 57). Они существуют также при одновременном наличии электрического и магнитного полей, если последние перпендикулярны друг к другу, Из (56Л) н (56.2) следует, что если вместо потенциалов А и (т мы введем новые А' и т', слизанные с прежними формулами А'=А+уй (56.24) ! д! с д~' (56.25) Это уравнение вполне аналогично классическому уравнению Ньютона р — = — — + е8, + — ~еУ2 — — еуг — ). (56.2 Г) е'к дУ е I ду Игт дн дк к с~ кдг адг)' 242 микрочлстицы в зликтромлгнитном поля (гл, гх где 1 — произвольная функция координат и времени, то потенциалы А' и г' описывзют то же поле, что и А и Г. Действительно, 1 дА', 1 д ! д1 ж' — — — — Ч Р' = 8- — — Ч1 + — Р— = 8, с д( с д( с д( Ж'=го( А'=К+го1 (ЧЙ=ЯК.
где Й вЂ” гамильтонизи (56.3), то решение ф' уравнения Шредингера дфФ рл — =й ф, д( где Й' отличается от Й заменой А и Р иа А' и т' по формулам (%.24) и (56.25), будет получаться из ф по формуле ы ф~ ф Лс (56.27) так как 1 †действительн функцяя, то ~Ф Р=~ф ~' (%,28) 3' = — (ф'Чф'* — ф" рф') — — А' ! ф' р= 2р рс И, е гр = — (фрф' — ф'Чф) — — - А ~ ф Р = й (%.22) с о т.
кзк рф=ЧМ~ +",1ф . лс То есть вероятность местонахождения частицы и плотность тока остаются иеизменнымн при преобразовании потенциалов (56.24) и (%.25), оставляющем неизменным электромагнитное поле. Подобным же образом и все другие физические величины остаются теми же.
Это свойство уравнения Шредингера называется алек тр о маг н я гной или калибровочной низ ар и анти остынь). й 57, Движение заряженной свободной частицы в однородном магнитном поле Направим ось ОЯ по направлению магнитного поля. Тогда компоненты поля будут еЯ''„=- ерр э = О, егг'", =пгг'.
') Этим же свойством обладают классические уравнения Гамильтона (см. дополнение Ч1). Таким образом, потенциалы А, (г вплоть до преобразования (56.24), (56.25) произвольны. Но потенциалы входят в гамильтоннан Й. Поэтому может показаться, что физические выводы могут зависеть от произвола в выборе А и 1/. На самом деле это не так. Физические выводы зависят лишь от поля Ж, ЯК, а не от потенциалов А, т'. В частности, в уравнение движения (56.21) входят лишь напряженности полей, а ие потенциалы. Это пример, нллюстрирувлпий правильность приведенного утверждения.
Предоставляем самому читателю прямой подстановкой показать, что если найдено решение уравнения Шредингера гй — = Нф, дф дт (%.26) з ег1 движение зАРяженнОЙ ЧАстицы В ОдноРОдном поле 243 где а и р — некоторые постоянные. Подставляя (57.4) в (57.3), находим уравнение для функции ер(у): «е де~2 еаи Е еееЛ"е е Г аеае Яейе 1 — — — — + — еее"уер+ — у'<р =~ Š— — — — ~ ер. (57.5) 2И дуе Ие гусе ~ 2И гр,) Это последнее уравнение легко приводится к уравнению для осциллятора. Для этого положим (57.6) еее =— ие (57.6') Е=Š— —. вере ги (57.6") Тогда после простых преобразований получаем вместо предыдущего уравнения новое уравнение — — — ~+ — "' У'Р=ЕР.
ги ду'е 2 (57, 7) Это и есть уравнение для осциллятора массы р, частоты еее (см. (47.3)). Отсюда на основании известных решений для осциллятора мы можем сразу написать нужные нам решения: йу р„(у') = е е Не ф, Я У 1' Ь (,У+ ееуе )' (57.9) = й~е(л+ 2), (57.10) п=О, 1,2, Вектор-потенциал А возьмем в виде А„= — 72"у, А„= А, = О. (57.1) Тогда из уравнения (57.1) получается как раз нужное поле (чем и оправдывается выбор А): Л",=О, еуг „=О, я22",= — — "= Р. (572) Других полей мы не предполагаем ((7=0, е'=0), поэтому на основании (56.3) уравнение Шредингера для стационарных состояний напишется в виде 2 т ф Я~у д +2 ееее Уф=Еф: (57,3) В этом уравнении мы можем сразу разделить переменные, если положим ф(Х, У, Е)=Ем""'аыеР(У), (57.4) 244 микночнстицы в электромагнитном полн [гл,~х Стало быть, собственные функции частицы в поле будут Р фана (х, у, г) = е" оа'а'~ е е На я), а квантовые уровни определятся формулой едо7г I 1 ~ йтрт Е„ф) = — ~и + --) + —, ос ~ 2) 2р (5?.11) (57.12) ') Сн.
дополнение Х, где приведен соответствующий расчет по класснче. ской неканнке, где и = О, 1, 2, .... Последний член есть не что иное, как кинетическая энергия движения по оси ОЯ (вдоль поля), первая же часть Е„(0) = "'~ (и+ 2) (57.12') представляет собой энергию движения в плоскости х, у, перпендикулярной к магнитному полю. Эту энергию можно записать в виде потенциальной энергии тока, обладающего магнитным моментом 92е, в магнитном поле ое (О, О, Л ).
Именно, положим Е„(0) = — (ЖЖ) = — Ю1,орг" = У1а (2п+ 1) Я". (57.13) Из этой формулы мы видим, что проекция магнитного момента 9Я, на направление магнитного поля есть целое кратное от магнетона Бора Яа. Полученное квантование энергии свободной частицы, движущейся в магнитном поле, является важным следствием квантовой механики, так как приводит к наличию диамагнетизма у электронного газа, в то время как по классической теории диамагнитные свойства у электронного газа должны отсутствовать. Собственные функции (57.11) вполне соответствуют классическому закону движения в магнитном поле. Именно, по классической теории мы имеем круговое движение в плоскости х, у с частотой ате (как раз эта часть энергии квантуется) и свободное движение по оси ОЕт). Действительно, волновая функция (57.11) означает, что обобщенный импульс по оси ОХ равен р„'=да и по оси ОЕ равен р,'=й().
По оси Ог' мы имеем гармоническое движение с частоср„' той тоо около положения равновесия уе= — ". Согласно классиеауу ческой механике импульс по оси ОХ также постоянен, и это не противоречит тому, что по оси ОХ также происходит гармоническое колебание около некоторого положения равновесия х„ так е как р„=рц,+ — А, а не роа! Обобщенный импульс р'„определяет положение равновесия уо, н поэтому от него не зависит энергия движения Е„(()).
$5П ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 245 То обстоятельство, что по квантовомеханическому решению как будто получается гармоническое движение только по оси О'г', в то время как классическое круговое движение означает гармоническое колебание и по оси Ог', и по оси ОК (с разностью фаз и/2), связано с тем, что волновая функция ф„а(х, у, г) (57.11) описывает состояние с неопределенным положением равновесия хэ для колебаний по оси ОХ. Так как энергия Е„((1) не зависит от а, то мы имеем бесконечно высокое вырождение, соответствукяцее различным возможным положениям точки равновесия х,, Поэтому энергии Е„(р) принадлежит не только найденное нами решение ф„„э, но и все волновые функции вида +ИО $» ф,а(х, у, г) = ~ с(я)е"" а'е з Н ($) йа, где с(а) — произвольная функция а.
В частности, можно подобрать с(а) так, чтобы решение ф„а соответствовало определенному положению точки равновесия по оси ОХ(х,). Глава Х СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ ЭЛЕКТРОНА (СПИН) й 58. Экспериментальные доказательства существования спина электрона Изложенная в предыдущем теория движения заряженной частицы в магнитном поле является далеко не полной. Дело в том, что помимо механического и магнитного моментов, создаваемых движением центра тяжести электрона, электрону необходимо приписать собственный механический и магнитный моменты, как если бы он являлся не материальной точкой, а вращающимся заряженным волчком.
Этот механический и магнитный моменты называют спи новыми (в отличие от механического и магнитного моментов, создаваемых движением центра тяжести электрона, которые мы будем теперь называть орбитальными). Само явление называют спинам электрона. Мы изложим кратко те опытные факты, из которых следует существование спина электрона. Одно из наиболее простых и прямых указаний на существование спина электрона получается из опытов Штерна и Герлаха по пространственному квантованию (~ 3).
Штерн и Герлах наблюдали расщепление надвое пучка атомов водорода, заведомо находящихся в з-состоянии. В этом состоянии механический, а вместе с ним и магнитный орбитальный моменты равны нулю. Между тем факт отклонения пучка атомов в магнитном поле показывает, что эти атомы обладают в з-состоянии магнитным моментом. Расщепление только на два пучка показывает, что проекция этого магнитного момента может принимать только два значения. Результаты измерений показывают, что абсолютная величина этого момента равна магнетону Бора 8)1а. Таким образом, в з-состоянии атома, имеющего лишь один электрон, существует магнитный1 момент йЗх, проекция которого на магнитное поле принимает лишь два значения +-Иа, Существование этого магнитного момента в состоянии, где орбитальный момент заведомо отсутствует, можно объяснить, если % М1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВА СУЩЕСТВОВАНИЯ СПИНА ЭЛЕКТРОНА 247 предположить, что этот магнитный момент свойствен самому электрону.
Это предположение опирается еще и на следующие важные обстоятельства. Спектральные линии даже тех атомов, которые имеют один оптический электрон, оказываются более сложными, нежели это следует из изложенной выше теории движения электрона в поле центральных сил, Так, например, в атоме Ха вместо одной спектральной линии (а) (рис, 44), отвечающей переходу 2р-з-1а, наблюдаются две очень близкие линии (Ь, с), исходящие из двух близких уровней. Это так называемый дублет Ха (линии 5895,93 А и 5889,96 Л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
