Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 48
Текст из файла (страница 48)
10) а"=! -га о ! (59.11) где а †действительн число, Образуем теперь о,': ! О а1»!! О ам! !аиа„п Сравнивая с (59.5), получаем, что а„ам — — 1. Матрица должна быть самосопряженной, т. е. а,г — — аго Стало быть, ~аг,)г=1. Отсюда получаем яаз соьственныи мехАннческни и мАГнитныи моментъ| )гл, х Подобным же образом находим, что ое ~ — )а о) (59.11') Перемножая теперь о на о„, а потом пе на о и пользуясь (59.8), получим Г енаа' О ) )е)'аа' О о; -а ~= ! о е) -)) ~ откуда сна а) — е-ма а) т.
е. а — р=п/2. Таким образом, все соотношения удовлетворены при произвольном значении а. Поэтому без всяких ограничений мы можем взять а = О, 5 =- — ' п(2. Подставляя эти значения в (59.11) и (59.11'), получаем (59.9'). Согласно (59.2) из (59.9) н (59.9') получаем матрицы операторов д„, з,, ае в представлении, в котором ае диагональна (з,-представлеение): О 2 а 'е (59.12) а — О 2 а О 2 В 60. Спиновые функции Мы видим, что в квантовой механике состояние спина должно характеризоваться двумя величинами: абсолютным значением )а! (или з') и проекцией спина на какое-либо направление а,. Первая величина (з') предполагается для всех электронов одинако- Заметим, что значки 1 и 2, нумерующие матричные элементы матриц и и е, приобретают теперь (поскольку выбрано представление) определенное значение: значок 1 относится к первому а а собственному значению ае =+ —, а 2 — ко второму з,= — —.
Образуем теперь оператор квадрата спина электрона. Из (59.12) имеем ае = Зе+ зер + зе = -4 — Й ~ 0 1 ~ = 4 йеб. (59.13) Вводя квантовые числа и, и 1„ определяющие значение проекции спина на любое направление ОЕ и его квадрат соответственно, мы можем написать формулы для квантования спина в полной аналогии с формулами (51.9, 1О) для орбитального момента '(е+ )' ' 2' 1 (59.14) 2' 1 (59.15) спиновые Функции вой, поэтому речь может идти лишь об одной переменной з,, Таким образом, наряду с тремя переменными, определякнцими движение центра тяжести электрона (х, у, г или р„, р„, р, и т.
и.), появляется еще одна переменная з„определяющая спий электрона. Поэтому можно сказать, что электрон имеет четыре степени свободы. Соответственно этому волновую функцию ф, определяюшую состояние электрона„следует считать функцией четырех переменных: три относятся к центру тяжести электрона, а четвертая— к спину (з,). Например, в координатном представлении для электрона следует писать ф=ф(х, у, г, з~, 1), (60.1) Так как спиновая переменная имеет только два значения (+ Й/2), то можно сказать, что вместо одной функции мы получаем две: а фт=ф(х~ у г + у т) эре =ф~х, у, г, — —, 1). (60.2) (60.2') ~р, о~ (60.3) а сопряженную функцию — в виде матрицы с одной строкой (60.3') Такой способ написания позволит воспользоваться правилами й 41 (41.2).
Ясно, что волновые функции ф, и ф, будут только в том случае различны, если существует реальная связь между спином и движением центра тяжести. Такая связь сушествует и представляет собой взаимодействие магнитного момента спина с магнитным полем токов, создаваемых движением центра тяжести электрона. Это взаимодействие обусловливает мультиплетную структуру спектров (см. 3 58). Поэтому, если мы игнорируем мультиплетную структуру спектров, то мы можем вообше пренебречь взаимодействием между спином и орбитальным движением. В этом приближении ~ь, (х, у, г, 1) = фе (х, у, г, 1) =ф(х, у, г, 1).
(60.4) Однако, чтобы и в этом случае отметить, что речь идет о частице обладающей олином, пишут функцию (60.1) в виде, Эти функции мы будем иногда писать в виде м а т р и ц ы с о д н и м столбцом 2Е4 совственныя мехАническип и мАГннтныи моментъ| 1гл. х соответствующем разделению переменных »Р(х, у, г, Б„() =»Р(х, у, г, () 5«(а»), (60.5) где через 5„(е») обозначена спи нова я фу н кци я. По существу это простой значок, указывающий состояние спина частицы.
Смысл этого <значка» или, иначе, «спиновой функции» таков: индекс а принимает два значения, которые обычно полагают равными +»/» н — '4» (вместо 1 и 2). Первое значение + '/» (или 1) означает, что проекция спина не некоторое избранное направлей ние ОЕ равна + —. Второе значение индекса а означает состоя- 2' ние спина с другим возможным значением проекции спина на й это же направление, именно — —. «Аргумент» з, «функции» 5„ рассматривают как независимую переменную, могущую принимать й два значения: - †.
Тогда 2' " ()=-' " ~-Я=' (60.6) 1 й так как по смыслу значка в состоянии а=+ —, з =+ —, и 2' » 2' й в этом же состоянии не может быть з,= — —, поэтому соответ- 2' ствующая функция равна нулю. Подобным же образом »йй йз (60.6') Запись же в виде (60.1) и, как частный случай, в отсутствие взаимодействия спина и орбитального движения, в виде (60.5) позволяет рассматривать спин э«как динамическую переменную, подобную любой другой механической величине, Введенные «волновые» функции спина 5 (е«) обладают свойством ортогональности и нормировки. Чтобы в этом убедиться, возьмем произведение 5„" (з«) 5« (ь«), где 5* означает, как всегда, функцию, сопряженную с 5, а с», 1 б =-+. — . Просуммируем это произведение по всем возможным значениям спиновой переменной Б, (таких значений только два: й1 -+- — 1, Тогда непосредственно из (60.6) и (60.6') (имея в виду, что 5« =5) следует, что ,~~ 5«(а«) 5а (е«) = 6«а (60.
7) спиновые Функции Функция 5, (з,) может быть записана и в матричной форме (60.3). Именно, ~+и*=~о о!* ~ — ч =(~ о~* З+~*=!о о~ ~ — ' =~о о~. (60.8) (60.8') Вычислим теперь результат действия любого спинового оператора типа '=й:: ';! (60.9) на волновую функцию.
Значки 1, 2, если оператор Е взят в «з,»- а1 представлении, означают номера собственных значений з,~'+ — ). Согласно формуле (39.5), определяющей действие оператора, данного в матричной форме, на волновую функцию, мы будем иметь, что оператор 1. образует из функции Ч"(«р,, «р») новую функцию Ф («р„ р«) по правилу В=Еи«р»+у»»р», (60.10) 'р» =(»«»г«+)«М». (60.10') Отличие (60.10) от (39.5) заключается лишь в том, что в '(60.10) мы имеем двухрядные матрицы и соответственно функцию из двух компонент, а в (39.5) мы подразумеваем матрицу с неограниченным числом элементов Е „и функцию ф с бесконечным числом компонент с„(с„с„...).
Представляя Ч" в виде матрицы (столбца) (60.3), мы можем записать два уравнения (60.10) и (60.!О') в виде одного матричного: Ф=1Л" (60.11) (см. (40.14)). В самом деле, (60.11) в развернутом виде означает о! )с с ))е о) )1.4 с о~ что совпадает с (60.10) и (60.10'). В дальнейшем под символом типа (.Ч', если взят оператор, зависящий от спина, мы будем понимать именно такого рода произведения, которые в сущности представляют два уравнения (60.10), (60.10') в виде одного матричного. Среднее значение любой спиновой величины 1, в состоянии »р„»(ч, согласно общей формуле (41.2), есть 7(х, у, г, 1) =ф,*1,„«Р,+ф;(,„ф«+КЕМ,+КУ.„»Р«(60.12) Так как функции ф, и ф, зависят еще и от координат центра тяжести электрона, то мы написали Е(х, у, г, 1), имея в виду, УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ $ ен Уравнение Шредингера для волновой функции Ч'(ф„ф,) теперь будет иметь вид д7 1 (- е тз еа (й — = — ( )з+ — Д) 'Р— )АЧ" + иЧ'+ — (оЖ) Ч, (61.5) ЗР~ с орс Это уравнение носит название у р авне ни я Паули.
Заметим, что под Ч" мы понимаем столбец (60.3); поэтому в (61.5) записано в сущности два уравнения для двух функций ф, и фа в виде одного матричного. Определим теперь плотность тока. Для этого запишем (61.5) в виде ьп д( = ттОЧт+р (и ) 1ь (61.6) где через йа обозначены члены, не содержащие операторов и. Напишем уравнение для сопряженной функции Чт', которую мы представим в виде строки (60.3') — (п — = Ое Чс'+ —, (((УЖ) Чт)+. дч.'ь " ей (61 16') з) Пользуясь матричной записью, мы все время оперируем с четырьмя фуикмиями ф», ~р."„Фь ~рз сразу. Рекомепдуем читателю, впервые зиакомящемуся с матричными методами, написать уравнения (61.6) и (61.6') в развернутом виде (четыре уравнения) и путем умио'кеиия первых двух иа ф' и ф,", а двух вторых иа трс и Чь получить тот же результат. Символ ( )+ означает, что в соответствующей матрице столбцы и строки перестлвлены и элементы взяты сопряженными.
Умножая теперь (61.6) на '1'" слева, а (61.6') на Ч" справа и вычитая одно уравнение из другого, мы получаем ьй — (Ч'ьЧ') = ='Рь (й,'Р? — (й,"Ч" ) Ч +,— '" ('Р (оЖ) Р— «аЖ) Р)"Р). (61.У) Согласно (40.15) имеем ((оЖ) Ч")+ = Ч"' (сг'Ж) (61.8) в силу самосопряженности оператора су+ = о, Поэтому член в фигурных скобках равен нулю. Остальные члены, не содержащие операторов и, после вычислений, совершенно аналогичных приведенным в $ 29 при получении формулы для плотности тока, дают з) яз (л д( (т(та+ тузтз) = — о „с((У (ф(7тт — 'ттттРс +тузЧтуз — чуз7фе)— — — Й(у [А (тр";трз+ФзяфзЦ (61 9) рс ввв совстввнньпт мвххиическни и млгнитныи моменты 1гл. х Переписывая это уравнение в форме уравнения непрерывности для плотности вероятности в 'и плотности потока частиц 3, мы находим (61.10) ы(х, у, г, г) =~фф,+ф!Чь, .) =',-"- !(Ч,Чф, — )р,ЧЧч)+(ф,Ч< — ф!Чф,)!в — „—," (ф'чч+чч"Ч ) (61.11) пь (х, у, г, 1) =-ф1чъ гв,(х, у, г, 1) =Ччф, (61.14) суть плотности вероятности найти электрон в точке х, у, г Й я в момент ! с з,=+ — или з,= — — соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
