Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 44
Текст из файла (страница 44)
ляется приближением. Оно, наверно, справедливо для Рде. 42 Кривая потенциальной энергии больших скоростей рас- электрона в кристалле. сматриваемого электрона пунктнрем набе»емеца вцлноэац функция (моду- (и до той поры, пока нас не интересуют неупругие столкновения электрона). Что же касается применения такого приближения к движению электронов самого кристалла, то до сих,пор не дано обоснования такой возможности, хотя вытекающие из расчетов следствия позволяют истолковать множество явлений.
На рис. 42 изображена потенциальная энергия электрона в кристалле в функции х при условии, что ось ОХ проходит через центры атомов, образующих кристалл. В точках ... — 2а, — а, О, + а, + 2а,... расположены центры атомов. В этих точках У е»2 ! имеет полюс первого порядка ~ — — ). г )' Для выяснения возможных уровней энергии электрона в периодическом поле и собственных функций энергии нужно решить уравнение Шредингера, которое.
мы возьмем сначала в «х»-представлении. Это уравнение имеет вид — т!а!р+ (уф = Еф, Ь» (55.2) где )« — масса электрона, а У вЂ” потенциальная энергия, подчиняющаяся условию периодичности (55.1). Ставя себе целью лишь выяснение самых основных свойств движения в периодическом поле, мы ограничимся одним измерением. Тогда вместо (55.1) и (55.2) будем иметь 0(х+а) =(у'(х), (55.1'") —,— "*'„-';+ и(.) ф=Еф.
(55.2') %% движсниа электрон» в периодическом поля 229 Для исследования этого уравнения перейдем к «р»-представлению. Положим для этой цели ег"" р« ф(х) =- ~ с(й) «г(й, Й=й, 1' 2п (55.5) где р„— импульс по осн ОХ. Соответственно разложим потенциальную энергию (г' в ряд Фурье + со г»г«» У(х)= ~х', (г„е ', 0„=(г* „, (55А) Коэффициенты этого ряда (г„суть не что иное, как (г (х) в «р»- представлении.
Подставим (55.3) н (55.4) в (55.2'): + + г„2ли) — й»с(/г) г(й+ ~~) У„~ е(/г) ' г()г= +ю =Е ~ с(А) «г(й. (55.5) У2п е г»«« Умножая это уравнение на = и интегрируя по х от — оо до У'2п + оо, мы получим 6-функцни: + о> +СО +«О Г 1 (гйс(й) 6(й — /г') «%+ Х (У„1 с(й)6(й — — "'" — й'1М= " СΠ— Ю СО + оо =Е 1 с()г) 6(й — й') Д)г.
(55.5') + О» 2— гас(й)+ ~г (у„с(й+ — )=Ее()г). (55. 6) Это уравнение есть не что иное, как уравнение (55.2') в «р»-представленнн. Особенностью его является то, что в него входят лишь те с()г), аргументы которых отличаются друг от друга величиной 2ппга (а=О, + !, + 2, ...). Величины с(/г), с()г+2пп/а) суть неизвестные, которые нам нужно вычнслить. Все они связаны между собой уравнениями вида (55.6), которые легко получить, если менять в (55.6) й на й+ 2пт/а, где т — целое число. Перенося в (55.6) член с Е налево, мы без труда можем написать уравнения для всех связанных Выполняя, наконец„интегрирование по й н меняя обозначение А' на й, получаем 230 миквочлстицы в пола потвнцияльных сил [гл.ч|н между собою функций с(й+2лт/а): [ — 1й+ — ") — Е1с(й+ — )+ + '~~ (/ (й+~~~+ ~~~~) 0 Яй — Е1с®+ ~(/„с(й+2 — ,"") =О, [2 (й — а) — Е1с(Ф вЂ” — л)+ + со + ~~ (/„с~й — — + — ") =О, т=+1, и т.
д. Это — система алгебраических линейных однородных уравнений 2лж 1 для бесконечного числа неизвестных с(/г+ — ) (т=О, .+ 1, а / -+-2, ...). Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, необходимо, чтобы ее определитель Л равнялся нулю. Этот определитель зависит от Е и а (и всех коэффициентов (/„) и является вообще трансцендентной функцией от Е. Поэтому уравнение Л(Е, й) =0 (55.8) Е(,,+2л) Е(/ (55,10) имеет бесконечное число корней Е=Е,, Е„..., Еп ..., каждый из которых является функцией волнового числа й. Отсюда следует, что энергетический спектр частицы, движущейся в периодическом поле, будет состоять из отдельных областей Е=Е~(й). /=1, 2, З, ..., (55.9) в каждой из которых энергия есть функция волнового числа й: Эти области называются зонами дозволенной энер гни или просто зонами. Покажем, что в пределах каждой зоны энергия есть периодическая функция волнового числа Ф с периодом 2л/а.
Для доказательства заменим в системе уравнений (55.7) всюду й на й +. 2л/а. Тогда, как непосредственно видно из (55.7), такая замена означает просто иной порядок написания уравнения (55.7), т. е. система уравнений переходит сама в себя. Поэтому и корни Е/ останутся неизменными, так что % вэ! ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 23! Таким образом, энергия есть в самом деле периодическая функт)ия к и, следовательно, может быть выражена рядом Фурье Еу()т) = ~', Е)„сов(тай), ж (55.
Н) где коэффициенты Е „ зависят лишь от вида потенциальной эиергии (/(х), т. е. от с)„т). На рис. 43 приведены типичные кривые зависимости Е,(й) для двух первых зои Е, и Е,. В первой зоне энергия меняется -Ее 7 -,$7/а -д)7/а -77/а у +)г/а ща у)г/а Рис. 43. Энергетический спектр и энергия в функции вол. нового числа й для электрона, движущегося в периодическом поле. г) Мы написали ряд по косинусу. Общий ряд Фурье содержит как косн«усы, так и синусы. Однако легко видеть из (55.7), что замена й на — й не может изменить коэффициентов уравнения (55.7). При такой замене они опять перекодят свми в себя. Поэтому Е должно быть четной функцией й. от минимального значения Е; до максимальиого Е"„во второй— от Е; до Е;.
Интервал Е от Е", до Е; ие реализуется и образует з а п р е щ е н и у ю з о и у. Таким образом, спектр состоит из отрезков непрерывного спектра (полос) от Е„' до Е;, от Е; до Е," и т. д. Как правило, запрещенные области суживаются по мере увеличеиия номера зоны, вплоть до слияния в непрерывный спектр в пределе )=ОО. Общий вид собственных функций может быть также легко получен. Каждому собствеииому значению Е = Е) (й) принадлежит определенное решение системы (55.7). Данному зиачеиию Е)(я) принадлежит с) (й) с вполне определенным значением я, либо отличающимся от него иа целое число 2п/а. Если мы хотим записать с)(я) в виде одной функции, то мы можем это сделать с помощью 232 мик»очлстицы в полк потенциальных сил 1гл.гпп б.функций следующим образом: с~»(й') =с~(й') ~~1 б (й+ — — А').
(55.12) +оо +оо 2пп,) е~» " — оо л = — оо Производя здесь интегрирование по й', получим ф» (х) = ~~ св (й+ — "), (55,13) Вынося здесь е'»" за знак суммирования, получим ф,„(х) = ем"им (х), (55.!4) где им(х) есть некоторая периодическая функция х с периодом а: иу» (х+а) =и,»(х). (55.15) ф,»(х) в уравнении (55.14) есть собственная функция оператора эйергии в «х»-представлении, относящаяся к собственному значению Е~()г), т. е. к 1-й зоне и волновому числу, равному й.
Она представляет собой плоскую волну (е""), модулированную в п«акгп периодичности потенциальной энергии. На рис. 42 изображена действительная часть такой функции (пунктирная кривая). Точками иа оси ОХ отмечаны положения ядер атомов (полюсы функции У(х)). Около этих точек функция ф~»(х) близка к тем, которые свойственны изолированным атомам, Из решения (55.13) непосредственно следует, что состояния с определенным значением энергии ((ЬЕ)«=0) суть (как и всегда при наличии поля) состояния с неопределенным значением импульса р, Именно, в состоянии с энергией Е~()«) возможны значения импульса р, равные + 2лп) п=О, + 1, + 2, ..., (55.16) с вероятностью 2па~ ~+ а)~ (55.17) Это и есть решение, принадлежащее собственному значению Е~(Й) и взятое в «р»-представлении (так как й'=р'/М).
Отсюда получим ф в «х»-представлении: + оо «г» « «р~»(х) = ~ сэ (Ф ) юг = У'2п $ м1 движение электгонл в пегиодичиском полк 233 для р„й(л+ — р Среднее значение импульса р в состоя2лл '1 нии фм, вообще говоря, ие равно нулю. Докажем теперь теорему о движении группы волн в периодическом поле, подобную теореме о движении группы волн в отсутствие поля Е 7). Зависимость от времени функций фть(х), как представляющих стационарные состояния, будет гармоническая е~ (А) с частотой в= †: и я;им Фм (х, 1) = ф,э (х) г (55.1б) Образуем из этих состояний группу, ограничиваясь функциями, принадлежащими одной определенной зоне (1).
Соответственно этому предположению индекс 1 опустим совсем. По определению группы имеем и+ аь Ф(х, () ~ с(л) е'" '1и„(х) г(й, (55.19) где М-малый интервал. Полагая й = йо+ б, в (й) = а (йо) + ~ — ) б + и считая с(й) и иь(х) медленно меняющимися функциями й (в области й,.+ Лй), мы получим вместо (55.19) ф(х, 1)=с(Ц) и„,(х)е"ь "- и' $ е'~' ('в) '1 Нб. (55.19') Вынесенные за знак интеграла множители являются быстропеременными функциями х и г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
