Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Действительно, энергия, которую имеет электрон в нормальном, иевозбуждеииом состоянии атома, есть Е,. Для того чтобы атом был иоиизоваи, нужно, чтобы энергия его электрона была больше О, поэтому наименьшая работа, которая будет затрачена иа иоиизацию атома в нормальном его состоянии, есть 1=0 — Е, = — Е,. (49.26) г) В классической механике это следует из того, что кинетическая энергия Т ) О, и если сг ) О, то и Е - О. В квантовой механике положение совершенно такое же: Е= — ~ ф'Рзфио+ ~ф'Уф Ио. 29 Первый член есть кинетическая энергия и обязательно положителен, так как положительны собственные значения оператора Р'.

Если У~О, то и Е~О. ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ ао1 Приведем еще другой образец потенциальной кривой, свойственный двухатомным молекулам АВ. При больших расстояниях атомы А и В не взаимодействуют, поэтому можно положить (7=0 для г=ОО. При меньших расстояниях атомы притягиваются и, наконец, на малых расстояниях они отталкиваются из-за отталкивания ядер и электронных оболочек при проникновении одного атома в другой. Поэтому потенциальная энергия имеет вид, приведенный на рис. 29. Для Е) 0 мы имеем опять непрерывный спектр. Вероятность ие (г) остается конечной и при г — со: атомы А и В могут находиться как угодно далеко друг от друга (диссоциированная молекула).

При Е ~0 получается ряд дискретных уровней Е„Е„..., Е„. В этом случае ю(г)- 0 при г- сО. Атомы находятся близко друг к другу и образуют молекулу АВ. Для диссоциации молекулы, находящейся в нормальном (нижнем) состоянии, нужно затратить работу диссоциации Р: Р= — Е,. (49.27) Заметим, что по классической теории эта работа равнялась бы Р' = — (7 м, где (7 ы означает наименьшую потенциальную энергию, Р меньше Р' на величину нулевой энергии— во~о Из приведенных примеров видно, что, зная потенциальную энергию (I (г), не производя решения уравнения Шредингера, можно сделать вывод о характере энергетического спектра.

$50. Движение в кулоновсквм поле Самой простой задачей атомной механики является задача о движении электрона в кулоновском поле ядра. С такой задачей мы встречаемся в атоме водорода Н, в ионе гелия Не+, в двукратно ионизоваином атоме лития 1.!е+ и тому подобных ионах, называемых в о д о р о д о п о д о б и ы м и. Обозначая заряд ядра через +е2, где е — элементарный заряд, а Š— номер ядра в системе Менделеева, мы получим, что потенциальная энергия электрона в поле такого ядра по закону Кулона будет равна (7(г) = — —,. хее (50.1) Чтобы найти квантовые уровни для рассматриваемого движения электрона, нужно решить уравнение Шредингера для радиальной Функции )т.

Полагая и (50.2) мы получим для и, как было показано в 9 49, уравнение (49. 10), 202 микрочестицы в поле потенциальных сил (гл.шп Подставляя туда (1 из (50,1) и понимая под р массу электрона, получаем следующее уравнение Яэ Фи М 1(1+1) Ее' — — — -+ — — и — — и =Еи. йи игн 2и гз Г (50.3) где а= —, = 0,529.10-'см, Е,= а, - — — — 13,55зв. (50.5) аэ р~4 ф Подстановка (50.4) в (50.3) приводит к тому, что в уравнении не будет содержаться атомных постоянных р, е, Й. Именно, вместо (50.3) получаем й~и ( 2Я 1 (1+ 1) М ) р -- +(е+ — — — )и= О.

В соответствии с проведенным в предыдущем параграфе исследовании аснмптотического поведения функции и мы будем искать и в виде и(р)=е '1(р), и=~~ — е, (50.7) где 1(р) — новая искомая функция. Подставляя и(р) из (50.7) в (50.6), мы найдем уравнение для функции) (р). Именно„после несложных вычислений получаем Ф~ л) (22 1 (1+ 1) ДоЯ йр ) р ри — — 2а- -+( — — — )7=0. (50.8) Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по степеням р.

Из общей теории мы знаем, что конечное при г=О решение уравнения (50.3) таково, что ряд по степеням г должен начинаться с члена г"'. Из (50.7) тогда следует, что конечное в нуле решение (50.8) должно начинаться с р'"'. Поэтому 7(р) будем искать в виде 7(р) =рим ~ а,р', где а„— пока неизвестные коэффициенты ряда, Рассматриваемый нами случай соответствует притяжению (см.

рис. 28). Поэтому согласно общей теории движения в поле центральных сил мы будем иметь непрерывный энергетический спектр для Е~О и дискретный для Е(0. Мы поставим себе задачу найти этот дискретный спектр и соответствующие собственные функции )т. В целях удобства решения введем вместо г и Е безразмерные величины р= — и е= —, е Е (50.4) и Е,' движение в кзлоновском пола 203 Ряд (50.9) должен быть таков, чтобы функция )с (г), которую мы можем теперь, согласно (50.2) и (50.7), написать в виде )с (р) =', '"' (50.9') не возрастала до со при р-э-со. Для нахождения коэффициентов ряда а, подставим (50.9) в (50.8) и соберем одинаковые степени р. Эта подстановка дает '~',(а„+![(и+1+2) (и+1+1) — Е (1+1)1+ + а„[2Š— 2а (ч + У+ 1)1(р'+ г = О.

(50. 10) Чтобы ряд (50,9) был решением уравнения (50.8), нужно, чтобы (50.10) было удовлетворено тождественно при всех значениях р от 0 до со. Это возможно лишь в том случае, если коэффициенты при каждой степени р равны нулю, т. е. когда а„„[(ч+(+ 2) (о+1+ 1) — ((1+ 1)!+ +аз[22 — 2а(ч+(+1)) =О (50.!1) для всех значений ч. Эта формула дает рекуррентное соотношение между а„и а,ьт'. 2а (ч+ (+ 1) — 22 а, а„в=О, 1,2, 3, .... (50.12) Первый коэффициент а„ конечно, произволен, так как уравнение однородно. Даа ему какое-либо значение, найдем из (50.12) а,; по а„ найдем а, и т.

д. Вычисляя все аг, мы получим искомое решение в виде ряда по степеням р. Нетрудно видеть, что полученный ряд будет сходиться при всех значениях р, но при больших р растет столь сильно, что е аэ) — — при р~-со будет стремиться к бесконечности '). Таким р т) Полагая л= —, э=21+1, перепишем (00.12) в виде г а' 2сь '1 2 (ч + — ) — !ь а+з —— +! + + а„. а„„2а Отсгодз видно, что отношение — -> — при ч -э со.

Далее, мы можем взять ат э+1 талое т=ч', что з.1-1 ч'+ — — (ь 2 1 ч'+з-(-1 2 где е ~ О, — (! + е) С 1. 1 2 (тэчннвя с этого знзчения ч, коэффициенты а, рестут быстрее, нежели козф- 904 микрочАстицы В пОле пОтенциАльных сил (гл.уи! т. е и= (50.13) Ясно, что при этом условии не только а„е„но и все после"Г+ дующие коэффициенты обращаются в нуль, ибо все они пропорциональны а„„. Таким образом, (50.13) есть необходимое и достаточное условие, чтобы решение ) (р) обращалось в много- член, а вместе с тем функция )т(р) оставалась бы всюду конечной. Полагая п=п,+1+1 (50.14) и подставляя в (50.13) значение а из (50.7), получим тт е= — —.

(50.14') Имея в виду выражение Е через е (50.4), мы получаем, что конечные и однозначные решения т( существуют лишь при следующих значениях энергии электрона: г еар ! Е йдэ лэ' (50.15) фицнеиты ряда, определяемые рекуррентной формулой Ряд же с этими коэффициентами дает ( (о) =санте Р, Поэтому / (р) растет быстрее й (р), и, следовательно, функция (50.9') будет стремиться к со при р -+ со. образом, как это и следует пз общей теории $ 49, конечное при р=0 решение не будет, вообще говоря, конечным прн р=со. Однако решение будет заведомо конечно и при р=со, если ряд оборвется на каком-нибудь члене. Тогда ) (р) будет многочленом и )с будет стремиться к нулю при р — !-ОО. Такое решение будет собственной функцией уравнения„так как оно конечно во всем интервале от р=0 до р=со и однозначно.

Легко видеть, что обрыв. ряда на каком. нибудь члене, например, номера и = п„может произойти лишь при определенном значении параметра уравнения и. Действительно, положим, что коэффициент а„, еще не равен нулю. Чтобы следующий коэффициент а„+, обращался в нуль, необходимо, чтобы 2а (и, +1+ 1) — 22 = О, ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ у Е» ф = е» ~ (е-»$»). Тогда под многочленом Е»($) понимают многочлен Е» ($) = — „, Е, Я. (50.20) (50.21) где число п принимает, согласно (50.14), значения л=1, 2, 3, ..., В,=О, 1, 2, 3, ....

(50.16) Число а определяет, как мы видим, энергию электрона и назы- вается главным к ва итов ым числом. Полученная формула для квантовых уровней Е„электрона, движущегося в кулбновском поле, найдена впервые Бором на основе полуклассической квантовой теории. В этой теории, где квантование носило характер искусственного рецепта, приходилось специально оговаривать невозможность значения В=О.

В кван- товой механике это значение исключено само собой, так как 1 принимает значения О, 1, 2, ..., а и, есть номер члена ряда (50.9) и имеет наименьшее значение О. Прежде чем перейти к подробному рассмотрению полученных квантовых уровней Ел, рассмотрим еще вид собственных реше- ний )с(р). Для собственных решений а= Е)п, поэтому формула (50.12) упрощается: 22 л — (!+ +В пл+1= л ( Ь!)(2! ! 12)пч (50.16') Вычисляя один коэффициент за другим и подставляя их в (50.9), получим ! (р)! 1 — !) (л-! — 2) (2ер 1» 1(р) к а»р1»1|1 1$(2!+2)1, л )+ 2! (2!+2)(2!+3) ( л (л ! !)(л — ! 2)...! (22Р1'~! + +( 1) л ! (21-)-2) (2!+3)...(2!+л~+!) 1 л Г Отсюда видно, что целесообразно ввести новую переменную: = — = — г 22р 22 (50.18) л ла Объединяя все постоянные множители в один фактор й(„„мы получим из (50.9'), что функция )с,1(р), принадлежащая кванто- вым числам п и 1, будет равна 1 Р„Ъ=Д7 !с ' $'Е"А' (В), (50.19) где через Е~'++1' обозначен многочлен, стоящий в фигурных скоб- ках в формуле (50.17).

Такое обозначение связано с принятым в математике. Дело в том, что многочлен в (50.17) выражается через производные многочленов Лагерра, которые определяются форм лой 206 микрочАстнцы В пОле потенциАльных сил 1гл.уп1 Полагая здесь й=п+! и э=2!+1, легко убедиться, что мы получим многочлен, заключенный в квадратные скобки в (50.17). Формулы (50.20) и (50.21) легко позволяют вычислять функции )т г. Множитель У„, в (50.19) мы будем выбирать так, чтобы функция )т'„г была нормирована к единице: ') К„'ггз г(г = 1.

Характеристики

Список файлов книги