Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Такой путь применения 5-матрицы широко используется в современной теории рассеяния частиц. Матричные элементы оператора 5 (Е 1,) определяют вероятности переходов из одного квантового состояния в другое. Допустим, что в начальный момент времени 1=1, некоторая динамическая величина Е имела определенное значение Е = Еп. Это означает, что при 1=1, оР(х, (о) =грп(х), где грл(х) есть собственная функция оператора Е, так что Еор„=-Е„ор„, В соответствии с (44.1) в этом случае волновая функция к моменту времени 1 будет равна ф (х, 1) = 3 (1, 1,) рп (х). (44.8) С другой стороны, согласно общей теории (2 22), вероятность найти Е=Е в момент времени 1 будет равна квадрату модуля коэффициента ст(1) разложения функции ф(х, Г) по функциям грл(х). Этот коэффициент равен с (() = ~<ро„(х)'Ф(х, 1) о(х= = гр~(х) 5 (1~ (о) грл(х) о(х=Зтл(1~ 1о), (44 9) т.
е. амплитуда с (1) равна матричному элементу унитарного оператора 5, взятому между состояниями п и т. Отсюда следует, что вероятность найти Е = Е в момент (, если в момент 1 = l, Е = Е„, будет выражаться формулой Ртп ((, (о) =-)ст (() ('=-15тп (Е (о) ('. (44 1()) Эта вероятность называется вероятностью к в а н т о в о г о перехода из состояния Е=Еп в состояние Е=Е . ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ )гл, щг )74 В квантовой статистике широко используется так называемый принцип детального баланса. Согласно этому принципу вероятность перехода из состояния и в состояние пг равна вероятности перехода из состояния т в состояние и за тот же промежуток времени. На самом деле этот принцип имеет весьма ограниченное значение.
Он верен лишь В пергом приближении теории возмущений. Он верен также в некоторых специальных случаях, например, когда силы, действугошие между частицами,— цептральные. Принцип детального баланса был бы верен точно в том случае, если бы матрица 3 была бы эрмитовой. На самом деле она есть матРица УнитаРнаЯ; поэтомУ величина ', 5м„)в, вообще говоРЯ, не равна величине ! 5„м1в. Отсюда не следует делать заключения о необратимости квантовой механики. Известно из классической механики, что если силы не зависят от скоростей, то изменение скоростей всех частиц на обратные ведет к тому, что все движение воспроизводится в обратном порядке.
Можно' доказать, что при этих же условиях и в квантовой механике имеет место совершенно такая же обратимость. Именно, вероятность за время 7 перейти из состояния, характеризуемого импульсами частиц р'„р.',', ... (состояние а)„в состояние с импуль- СаМИ Р„Рсо ... (СОСТОЯНИЕ (>) РаВНа ВЕРОЯтиастн За таКОй жЕ отрезок времени перейти нз состояния, характеризуемого обращенными импульсамн — р„ — р„ ... (обращенное состояние (3), в состояние с импульсами — р",, — р.',', ... (обращенное состояние а) '). Из краткого очерка унитарных преобразований видно, что весь маспематическисс атсарапс квантовой механики может быть гфорлсулссрован на язьске операторов, предеспавленных в форме матрссй и на язьске унитарных преобразований. й 45.
Гайзенберговское представление и представление взаимодействия в квантовой механике В этой книге почти повсюду принято такое описание квантовых систем, в котором операторы с., сопоставляемые классическим динамическим переменным, не зависят от времени. Всю информацию о временном развитии системы несет волновая функция гР (х, 7), явно зависящая от времени и удовлетворяющая нестационарному уравненшо Шредингера (28.3). Такой способ описания называется шреди нгеровским предста вле- ') См. но этому поводу работу автора, ЖЭТФ )7, 924 (!947), где подробно рассмотрен этот вопрос.
глнзвнвввговсков пгвдстлвлвнив $45! 175 н нем операторов Е и волновых функций ф(х, 7). Аналогом ему в классической механике является метод Гамильтона — Якоби, в котором основную роль играет функция действия 8(х, (), подчиняющаяся уравнению Гамильтона — Якоби (см. 9 35). Помимо этого в классической механике широко используются лагранжев и гамильтонов подходы. Оказывается, что им также можно сопоставить квантовые формализмы. Построение квантовой механики в рамках лагранжева подхода рассматривается в конце книги в 9 138 (так называемая фейнмановская формулировка квантовой механики). Что касается канонических уравнений Гамильтона, то, как было показано в 9 32, эти уравнения имеют место и в квантовой теории (см.
(32.2) и (32.2')). Однако в принятом нами шредингеровском представлении эти уравнения не описывают эволюцпо операторов во времени, а определяют дХ лР новые операторы — и — через Х, Р = — !й'Р и Й. лу ю Гайзенберг еще на первом этапе развития квантовой механики (!927 в 1929) применил метод канонических уравнений Гамильтона для нахождения квантовых операторов как функций времени и для определения собственных значений оператора энергии Й. Для этого он использовал представление операторов в виде (42.!2). Уравнения Гамильтона (32.3) и (32.2') в этом представлении записываются следующим образом: (45.1) (45.2) Матричные элементы операторов Р и Х зависят теперь от времени согласно (42.12).
Задача заключается в нахождении матриц Н, Р(!) и Х(рн удовлетворяющих этим уравнениям и дополнительным условиям '(Х, Р„1=1, (У, Р„)=0 и т. д, В матричной форме эти скобки принимают вид !Х, Р„~! „=6 „, (У, Р ~) „=0 и т. д., причем умножение операторов Х и Р, представленных в матрич- ной форме (42.12), должно выполняться по правилу умножения матриц (40.11). !?б ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. Чн В подавляющем большинстве случаев решить дифференциальное уравнение Шредингера оказывается значительно легче, чем найти решение матричных уравнений (45.1) и (45.2).
Однако в квантовой теории поля область применения гайзенберговского представления более широка. Поэтому мы сформулируем здесь связь представления Гайзенберга с обычным шредингеровским. Прн этом будет использован аппарат унитарных преобразований по времени (см.
$ 44). В некоторый момент времени ге операторы в обоих представлениях должнь! совпадать. Пусть это будет при 1, = О. Волновую функцию в этот момент обозначим Ф (х): Ф (х) =ту(х, О). В момент времени 1 эта функция, согласно (44.1), может быть и представлена в следующем виде: ! тР(х, 0=5(1, 0)Ф(х), где О(1, 0)г е и . (45.3) Далее возможны два пути. Можно взять операторы ?. не зависящими от времени и пользоваться при вычислении матричных элементов волновыми функциями ф (х, 1). В результате получим шредингеровское представление.
Другой путь состоит в перенесении всей временной зависимости на операторы с помощью преобразования ?. (1) = Йл (1, О) У",5 (1, О). (45.4) В этом случае волновые функции Ф (х) не зависят от времени. Такое представление операторов н волновых функций называется гайзенберговским представлением. Дифференцируя (45.4) по времени, получаем уравнение движения для гайзенберговских операторов "— '„,"' ='— '„"'+1Й. ? (()1 (45,5) где [Й, Е (1)~ = —,.д (1. (1) Й вЂ” Й1.
(1)) — квантовая скобка Пуассона ! (31.5). Уравнение (45.5) формально совпадает с (31.?). Однако смысл этого уравнения теперь иной: оно не служит определением нооо вого оператора —, а описывает эволюцию гайзенберговского опеш' ратора ?. (1) во времени. Эквивалентность обоих методов вытекает из равенства матричных элементов операторов в шредингеровском и гайзенберговском представлениях ').
Действительно, в представлении Шредин- з) В этой связи следует подчеркнуть, что матричные элементы операторов определяют физически наблюдаемые величины, поэтому не могут быть различ. нымн в эквнвалентнык представлениях. ГАизенверговское предстАвление Й = Йв+ Я7 (х, (), причем уравнение Шредингера с гамильтонианом Й, Нотр„= Е„тр„ решается точно, а оператор 1т'(х, () является малым возмуще- нием').
В этом случае волновую функцию ф (», 1), подчинякдцую- ся нестационарному уравнению Шредингера с оператором Й = =Йе+)Р'(х, т), целесообразно искать в виде тр(х, г)=е " Ф(х, (). (45.6) Действительно, подставляя (45.6) в уравнение гй ' =(Й,+)(г(х, ())ф(х, (), получим (л ' =)г(х, г)Ф(х, (), (45.7) где О(х, ()=е' )Р (х, г)е ') Например, Йе описывает свободное движение частицы, а Ег (», 0 описывает воздействие слабого внешнего поля. гера матричный элемент Ем оператора Е дли любых двух состояний тра (х, () и тра(х, 1) равен Е =1чч (х ()М (» 0 (х. Выражая здесь тр1 (х, г) и ф,(х, () через Ф;(х) и Ф,(х) с помощью (45.3), найдем 4в=~Ф,"(х) Я+(г, О) ЕЗ(т, О) Ф, (х) г(х = = ~Фг (») Ь(1) Фа(») И»=Етт(().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
