Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 31
Текст из файла (страница 31)
е. По функции ф в <Е»-представлении). Поэтому совокупность всех величин Е„,„следует рассматривать как оператор Х в «Е»-представлении. Эту совокупность можно расположить в виде квадратной таблицы основы тсории првдстлвленил [Гл. у[! Обратимся в качестве примера к «р»-представлению. В полной параллели с (39.2) и (39.'3) имеем ф (х) = ~ с (р) фр (х) ь(р, ср (х) = $ Ь (р) трр (х) с(р, (39.2') (39.3') Умножая это уравнение на фр (х) н интегрируя по х, в силу ортогопальпости функций трр(х) найдем ~Ь(Р) б(Р' — Л) Ир=~с(р) г(Р ~~К'";анфис(х, нап Ь (р') = $ Е.р рс (р) с(р„ Е[рр =Ь (Р, Р) = $ фр (х) Ьйр (х) с[х. (39.5') где (39.6') Величины Ерр характеризуют оператор А в «р»-представлении. Опи зависят от двух переменных р' и р, пробегающнх одни и те же значения.
Ер „по-прежнему будем называть м а т р и ч н ы м элементом оператор а Е в «р»-представлении, а всю совокупность значений Е,р — м а т р и ц е й. Ясно, что в этом случае мы ие мо кем изобразить Ь„рр в виде таблицы. Тем не менее и в этом случае р' буделт называть н о »те ром строки, а р — номером столбца. Мы пядям, что в пропзволыюм представлении операторы изображаются матрицами '). В «х»-представлении мы имели операторы в виде дифференциальных операторов, Однако можно показать (см. 9 40), что и в этом представлении операторы можно записать в матричной форме. 9 40. Матрицы и действия над ипми В матрицах мы отличаем среди всех элементов так называемые диагональные элементы. Диагональными элементами называются матричные элементы, помер строки которых ') В са»юм деле, под Е или р можно понимать любую вслн:ину Е, имеюшую дискретный или, соответственно, непрерывный спектр значений.
В обшсм случае под Е или р можно понимать иелтю совокупность независимых, одновременно измеримых величин ь, М, Лт, .... с(р) и Ь(р) суть функции тр и ср в «р»-представлении. Найдем связь между с(р) и Ь(р). Подставляя (39.2') и (39.3') в (39Д), получаем 1 Ь (Р) »Р» (х) с(Р = ~ с (Р)Е»РР (х) с(Р. (39,4') мАТР!!цы и дег!стеня нхд го!мп з 4О! равен номеру столбца, т. е.
элементы вида 1.„„. В случае непрерывного спектра диагональными элементами называют элементы вида (.рр. Если матрица имеет только диагональные элементы, то ее называют диагональной матрицей. В случае дискретного спектра такая матрица имеет вид г.„оп ... о о гчо ... о (40.1) О О О...о„„ Важным случаем диагональной матрицы является единичная магприца 6 с элементами 6 „, равными ( О, гп ~ и, 6„„, = ~ !р',,1р, йх = ~ ~1, !п=п.
(40.2) Эта матрица имеет вид ооо О1ОО ОО1О (40.2') Из определения матричных элементов единичной матрицы (40.2) следует, что единичная матрица остается единичной в любом предс!павле!!ии, ибо равенство (40.2) имеет место для любой системы ортогональных,функций чр„(х). Элементы диагональной матрицы Ь всегда могут быть записаны в виде !'. „=!.пб,„„. (40.3) Часто параду с какой-либо матрицей Л с элементами Е„,„приходится рассматривать производные от пее матрицы. Среди таких отметим сначала комплексно сопряженную матрицу Элементы этой матрш1ы комплексно сопряжены соответству!ощим элементам исходной матрицы: (Еч) „,„= 1.,"„„. (40.4) Далее, пз данной матрицы можно образовать транспоиированну!о матрицу 6. Эга матрица образуется из исходной путем взаимной замены строк и столбцов. Элементы этой матрицы определяются формулой (ь), = !'., (40.5) Если мы возьмем матрицу, комплексно сопряженную транспонированной, т.
е. А*, то мы получим матрицу, которую называют сопряженной к исходной и обозначают через Е,+. Ее 1гл. нп ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ элементы определяются формулой (й )тл — (л )тл — л.ллем. (40.6) В том случае, когда сопряженная матрица равна исходной: 7 =7. (т. е. У.„,=АД,л), (40.
7) она называется ар митовской или самосопряжен ной. Это определение вполне соответствует нашему прежнему определению эрмитовского или самосопряженного оператора (18.7). В самом деле, если оператор Ь вЂ” эрмитовский, то мы имеем для его матричных элементов В.„= 1 ф;л~ф„д, = 1 Ф.(.лфи дх =7.„..
Рассмотрим теперь алгебраические операции над матрицами. Обратимся сначала к сложению матриц. Пусть дан некоторый оператор С, являющийся суммой операторов Л и В. Тогда под суммой матриц Л н В мы будем понимать матрицу оператора С. Легко найти элементы этой матрицы. Имеем С,„л =- ~ флСф„с(х =- ~ фл„Лф„с(х+ ~ ф,'лВф„дх, (40.8) следовательно, С„„,=Л л+В „, (40.9) т.
е. мпгпричныб злсмснгп суммы операторов равен сумме соотвепссаврющих элвмсьииов каждого ио входящих в сумму, операторов. Весьма важным в смысле приложений является правило умножения матриц. Для установления этого правила вычислим матричный элемент оператора С, являющегося произведением двух операторов А и В. Пользуясь определением матричного элемента, получаем С„„-= ~ фиСлйлдх= ~ ф,Л (Вф„) дх. (40,10) Величина В111л сама является некоторой функцией н может быть разложена в ряд по ортогональным функциям фь(х): Вф.=Ему(х), где Ь» = ~ фллВф„с(х =- ВА„. Подставляя это разложение в (40.10), получим Сил =- ~ ф;л Л ~, Вл„фь С(х = )' Вь„') ф",';Л~РА с(Х = ~~л ВелА А. в А А мАтРицы и дянстаия нлд ними ь «0) Следовательно, Сс,~ =,,~~ АыьВ»«. ь (40.
11) с,оо с» о 0 (40.12) с„ Таким же образом представим и функцию ~р; ь,оо ь,оо (40.13) ь,'„о Теперь легко видеть, что (39.3) может быть написано в виде матричного произведения ~р=Еф„ (40. И) где <р есть матрица (40.13), ф — матрица (40.12), а Š— матрица (39.7), В самом деле, например, Ь есть элемент т-й строки и первого столбца матрицы (40.13). Он должен получиться, согласно (40.11), путем перемножения элементов и)-й строки матрицы (39.7) на элементы первого столбца матрицы ф (40.!2).
Но это как раз и дает уравнения (39.5). Сопряженную волновую функцию с;, с„', ..., с„*, ... можно записать в виде матрицы, сопряженной к (40.12), именно, в виде матрицы с одной строкои: с' с» ... с. ! « "' л о о .„о (40.12') В (40.11) заключено правило умножения матриц: гипобы получил)ь матричный элемент С„,„матрицы, прсдсп)аелтощей произведение опериторое А и В, нужно элементы и)-й строки матрицы А умножить на элеменп)ы и-ео с)полбца матрицы В и см>жщпь.
Правило сложения матриц (40.9) и правило умножения матриц (40.11) позволят по данным матрицам операторов А, В, находить матрицы, представляющие различные функции от А, В,... Кроме того, правило умножения позволяет в несколько иной форме представить формулу (39.5), выражаю)цую результат действия оператора А иа волновую функцию. Именно, эту формулу можно рассматривать как матричное произведение. Для этого запишем волновую функцию в «Е»-представлении в виде матрицы с одним столбцом ОснОВы теОРни пРедстАВленип ~гл.
Рп С записью волновых функций в виде матриц (40.12) мы встретимся в теории магнитного мол1ента электрона, Заметим еще следующий результат из правила умножения матриц. Матрица С', сопряженная к произведению С двух матриц А и В, должна писаться в виде С' = (Л В)+ = В Л"'. (40. 15) В самом деле, элементы С;,„по определению сопряженной матрицы равны С, ". Из (40.11) имеем С~к = Скк1 — — У, 'ЛкАВАкк, =, , 'В~АЛ»к = '~„'(В')~А (А')Ак. А А А Совершенно аналогичным путем (заменяя суммы на интегралы, символ 6 „на 6 (р' — р)) получаем соответствующие формулы для непрерывных матриц. Именно, вместо (40.2) имеем единичную матрицу 6 = 6 (р' — р). (40.2") Элементы диагональной матрицы запишутся в виде г, Р=~ (р') 6 (р' — р).
(40.3') Свойство самосопряженности выразится формулой УР'Р ~РР ' С,,=~А,,-В;,Лр". (40.11') Приведем примеры непрерывных матриц. Рассмотрим сначала оператор координаты х в «рк-представлении. Согласно определению матричного элемента имеем р'к . рх 7 е -~-' а х;Р = ~ фе хфр дх = — „~ е " хе " с1х = 2па з ~ ~Р' — Р~ к ~ 7 2 а ) е " ох= — 1йа — 6(Р' — Р). (40.16) Далее, по формуле (39.5'), определяющей действие оператора Е., данного в матричной форме, на волновую функцию имеем Ь (р') = ~ хр рс (р) Йр = — (й ~ — 6 (р' — р) с (р) сКр.
(40.7') Матричный элемент суммы двух матриц Л и В будет равен Ср р — — Арр+Вр р, (40.9') а матричный элемент произведения двух матриц А и В будет равен МАТРПЦЫ Н ДЕНСТВПЯ НАД НПМП 161 Производя здесь интегрирование по частям, находим 6(р') =1 — И6(Р' — р)с(Р)1+ +И ~ 6(Р' — р) д~ бр, или (40.17) д дР т, е. оператор х в «р»-представлении может быть дан либо в виде матрицы (40.16), либо в виде дифференциального оператора И вЂ” (40.17).
Последний результат нам уже знаком (ср. 9 13). д др Оператор х в своем собственном представлении может быть изображен диагональной матрицей х, „= х'6 (х — х'), (40. 18) а оператор любой функции У (х) — матрицей У„, =- У (х') 6 (х — х'). (40. 18') В самом деле, по формуле (39.5'), заменяя там обозначения Ь на ~р, с на ф, р на х, получаем «р (х') =- ~ У„„ф (х) йх = ~ У (х') 6 (х — х')»р (х) дх, или «р (х) = У (х) ф (х), (40.19) т. е. действие функции У (х) в «х»-представлении сводится к умножению ф(х) на У (х), Результат опять-таки известный. Подобным же образом оператор Р может быть дан в матричной форме Р... =+ И 6 (х — х').
(40.20) Имеем г д «р (х') = ~ Р„ хт (х) «(х = И ~) д 6 (х х ) ф (х) «(х. Интегрируя здесь по частим, получаем ~р (х) = — И вЂ” »р (х), (40.2! ) т. е. матричное представление (40.20) оператора Р эквивалентно д дифференциальному Р = — И;. дх' На основании формул (40.18) и (40.20) любой оператор, данный в виде 7. ( — И, х) = ЦР, х ), можно написать в дх' и и ОСНОВЫ ТЕОРРН1 ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
