Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 33
Текст из файла (страница 33)
1") а вместо (42.8) (42.8') (42.8") Что же касается остальных формул этого параграфа, то они Связаны специально с энергетическим представлением. Введение в рассмотрение непрерывных матриц, как видно из изложенного в Я 39 — 42, позволяет сделать матричный способ записи операторов совершенно единообразным, так что все возможные представления операторов и волновых функций становятся совершенно равноправными.
Поэтому матричный способ записи операторов особенно удобен при рассмотрении общих вопросов теории. При решении же конкретных задач особенно употребительно координатное представление. Объясняется это тем, что энергия взаимодействия в нерелятивистской теории зависит только от координат, кинетическая же энергия есть простая функция импульса ~ †). В силу этого в координатном представлении мы ! р»1 12т)' получаем уравнение Шредингера в форме сравнительно простого дифференциального уравнения второго порядка. Однако при приближенном решении задач другие представления могут иметь преимущества перед координатным.
й 43. Унитарные преобразования Рассмотрим преобразование какого-нибудь оператора 6 от одного произвольного представления к другому. Пусть в первом представлении оператор С изображается матрицей б', элементы которой нумеруются собственными значениями Е = 1ь ..., Е,», ..., Е,, ... оператора Ь («Ь»-представление). Во втором представлении пусть тот же оператор С изображается матрицей 6", элементы которой нумеруются собственными значениями М =: = М„М„..., М„, ..., Мв, ... оператора М («М»-представление). Для определенности мы предполагаем, что А н М имеют дискрет- ую4ТАРныв ЫРсоа!'АЗОВАиия 169 » 43! ный спектр. Если оператор С дан первоначально в 4мъ-представд ленни )6=6( — И вЂ”, х) и собственные функции операторов А дх' и М суть >р4(х), ф»(х), .
° ~ <рл(х) <рт(х) ° ° ° н Ч>! (х), 49»(х)~ ° ..., 4Ра(Х), ..., 4Ра(Х), ..., СООтВЕтСтВЕННО, тО МатРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕН- ты оператора 6 в «1.»-представлении определяются формулой Слгл = $ >Рл4 (Х) С ( 4й д Х) >Рл (Х) 4(х~ (43.1) а в <М»-представлении Саа = ~ Ч>ал (Х) С ( — 4д д-, Х) Ч>В (Х) 4(Х. (43.2) Спрашивается, какова связь между матрнцей 6' с элементами С„л и матрицей 6" с элементами Саа? Разложим собственные функции оператора М по собственным функциям оператора С: Ч>а (Х) = ~~Ф4 (Х) Чла <ра (Х) = ~~<Рт (Х) Чтла~ (43.3) причем ~ла = ~ >Ра (х) 4рв (х) 4(х~ акта = ~<Рт (х) 4ра (х) 4<х. (43.4) Подстановка (43.3) в (43.2) с учетом (43.1) дает Сап = ~~ ~ Бт«Стл ела' (43.5) Совокупность величин ола можно рассматривать как матрицу 3, строки которой нумеруются собственными значениями величины !., а столбцы — собственными значениями величины М.
Наряду с матрицей 3 рассмотрим сопряженную матрицу 5", элементами которой являются (~ )ат ~та~ (43.6) так что я+=я« и, следовательно, строки матрицы нумеруются собственными значениями М, а столбцы — собственными значениями 1,. На основании (43.6) формула преобразования от С„л к 6аа (43.5) может быть написана в виде С„= ~ ч: (Ю )„„С.„З„,, (43.7) или, на основании правила умно>кения матриц, в матричном виде 6" = о 46'3.
(43.8) Таким образом, матрицу 5 и сопряженную ей матрицу 5 можно рассматривать как матрицы, с помощью которых совер- ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 1гл. чп 1ТО ~,~~ 5та5лвбтл = бав~ т л (43.9) или ~ 5«л5»В = ба1Ь л т. е. в матричной форме 5+5 = 1. (43.10) (43.11) Подобным же образом, разлагая функции»Р„(х) по функциям 1РВ(х), можно УбеДитьсЯ, что ~5„5<", — — 6 „, (43.12) а т.
е. (43.1 Г) Матрица, удовлетворяющая условиям (43.11) и (43.11'), называется ун итар ной. Так как произведение 5«на 5 или 5 на 5+ дает единичную матрицу, то 5+ есть матрица, обратная 5, т. е. 5+ — 5-1 (43.13) Заметим, что унитарная матрица не являглия эрнатовской, так как для эрмитовской матрицы вместо (43.13) мы имели бы 5'=5. На основании изложенного мы можем сказать, что преобразование оператора от одного представления к другому совершается с помощью унитарной матрицы 5 с элементами (43.4). Само преобразование (43.8) называют унитарным.
Формулу (43.1) можно также рассматривать как унитарное преобразование от координатного представления к «Ьнпредстав"/ . д леиию. Для этого достаточно написать оператор 6~ — 1㻠†, х) в матричной форме. Тогда вместо (43.1) получим 6 „= ~ ~»р;"„(х') 1»„,ф„(х) йхйх'. (43.1') ПОЛаГая 5", =»Р* (Х') И 5л„=-»Р„(Х), МЫ ПрнасдЕМ ПрЕОбраЗОВание (43.1') к виду (43.8). Таким образом, волновые функции лр" (х), »р„(х) суть не что иное, как матричные элементы унитарных матриц 5' н 5, преобразующих от координатного представления к «Т.»-представлению. Выше (9 41) уже было отмечено, что задачу о нахождении собственных значений любого оператора можно рассматривать шается преобразование оператора от одного представления («1.») к другому («М»), Матрица 5 обладает важным свойством.
ПеремиожаЯ фУнкции 1Г„*(х) и «РВ(х) и интегРиРУЯ РезУльтат по х, на основании ортогональиости собственных функций мы получаем » м1 энитлгныв пгговглзовлния, млтгицл глссвяния 171 или в раскрытом виде ,У~ 8ааОаа —,У~ Оа»8ла (43.15) Если матрица О„в диагональна, то 8ааОаа —,~'~ Оа»8»а. (43.
16) Так как собственные значения О„„нам неизвестны, то нам следует опустить индекс а, и мы получим 8 О=-~~6 „5„, (43.1?) л что совпадает с уравнением (41.4), если положить 0=?., 5„=с„, Отметим одно важное свойство унитарного преобразования; унитарное преобразование оставляет неизменным сумму диагональных элементов матрицы. Зту сумму называют следом (или лшпуром») матрицы и обозначают так: Яр О =,'У, 'Ол„.
(43.18) л Из (43.7) имеем ХО-=ХХХ(8') О 8-=ХХО-Х(8') а а ы л а л а =,У,,У, О .б =,У', О„„, (43.19) ~л л л т. е. след матрицы есть инвариант унитарного преобразования. Этим свойством часто пользуются в приложениях. 9 44. Унитарные преобразования от одного момента времени к другому.
Матрица рассеяния Изменение волновых функций с течением времени может быть также рассмотрено с помощью унитарного преобразования. Пусть »г(х, 1,) есть волновая функция в момент времени 1„ а ф (х, 1)— та же функция в момент времени О Положим »г'(» 1) =о (»»»)Ф(» го) (44.1) как задачу о приведении матрицы, изображающей оператор, к диагональному виду.
В терминах унитарных преобразований эта задача может быть формулирована так: найти унитарное преобразование 8, которое преобразовало бы матоицу оператора О к диагональному виду. Чтобы найти это преобразование, умножнм уравнение (43.8) слева на 3. Пользуясь (43.! 1'), получим ЯО" = О'8, (43. 14) !72 1гл. чн основы таогии пгвдстлвлгнии где 5 ((, (о) — есть унитарный оператор.
В простейшем случае, когда гамильтониан системы О не зависит от времени, оператор 5((, (о) имеет вид с 5 ((, го) — — г (44.2) Действительно, вычисляя частную производную по времени от функции (44.2), найдем 'л лу = 'й —,~~ 'Р(х го) =Й5 (( го)ф(х, 7о)=Йф(х, г), (44.3) Следовательно, ср (х, 1) удовлетворяет временному уравнению Шредингера.
Далее, из (44.!) и (44.2) следует, что соблюдено начальное условие ф(х, 1) =ф(х, (,) прн 1=1о. Наконец, из эрмитовости оператора Гамильтона вытекает унитарность оператора 5 (с со). 5 (1 (о)=е" ' =е" ' =5 '(Г го). (44 4) Разобьем интервал времени 1, 7о на меньшие интервалы гг — го 1з — 1ы, ( — !».
Тогда формулу (44,1) можно записать в виде "тс'(хс Г)=~((с 7л) 5(Гы Гыд) ° ° ° 5((ы 11)5((ы со)Ч'(х (о) (44 б) Следовательно, движение квантовомеханического ансамбля можно рассматривать как последовательность унитарных преобразований. Важный специальный случай преобразования (44.1), имеющий особенное применение в теории рассеяния частиц, возникает, если начальное состояние задано не при го =О, а прн (о = — со, а конечное состояние ф (х, () рассматривается при ( = + со.
В этом случае (44.1) запишется в виде ф (х, + со) = Яф (х, — оо), (44. 6) где явно отмечено, что го= — со и оператор 3 определен формулой 5= 5(+ — ) = Вгп 5 (1 (о). (44.?) ! +со Ь вЂ” со Этот оператор называют мат р и цей р ассе я н и я.
Его особое значение в теории рассеяния частиц (см. 2 80) вытекает нз того обстоятельства, что в теории рассеяния начальные состояния задаются обычно в виде воли, представляющих удаленные друг от друга частицы, которые потом встречаются (время от (о = = — со до (=0), взаимодействуют около момента (=О и затем рассеиваются„уходя опять вдаль при 1 — +со. По определе- о оп юштлРные ПРЕОБРАзовлния.
млтРнцл Рлсссяния 173 нию (44.7) матрица рассеяния как раз и преобразует состояние, заданное при 1= — со, в состояние, возникающее прн 1=-+ сэ. Заметим, что простота выражения (44.2) является в покато. рой мере иллюзорной, Это выражение может быть просто применено к внячислениям только при условии знания собственных значений Е„оператора Й и его собственных функций фп(х), т.
е. в том случае, когда найдены решения стационарного уравнения Шредингера, что далеко не всегда просто сделать. Чаще встречаются с такой ситуацией, когда оператор Н можно разбить на две частицы: основную Й, и малую, добавочнУю часть Ф, так что Й=-Йо+ )У'". ПРедполагаетсЯ, что собственные значения Е„и собственные функции оР„(х) «невозмущенногоо гамильтониана Н, известны. Тогда (44.2) можно разложить в ряд по степеням малого <возмущения» Ф и получить приближенное выражение для оператора 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
