Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 35
Текст из файла (страница 35)
При этом мы воспользовались унитарностью оператора Я: 3+ = 3 '. Частный случай перехода от представления Шредингера к представлению Гайзенберга был рассмотрен в Э 42. Гамильтониан Й был приведен там к диагональному виду, поэтому оператор 5(1, О) оказался равным с ™б„, Помимо шредингеровского и гайзенберговского представлений находит применение, особенно в квантовой теории поля, п р едставление взаимодействия. Суть его заключаетсявследующем.
Пусть гамильтониан Й имеет вид ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ~гл. уп 178 есть оператор энергии возмущения в представлении взаимодействия, а Ф(х, 1) — волновая функция в том же представлении. Так как возмущения йг(х', 1) и Р(х, () считаются малыми, то преобразование (45.6) и (45.7) позволяет перейти к медленно меняющейся волновой функции Ф(х, г) (при У=О Ф(х, г) попросту постоянна). Таким образом, в представлении взаимодействия и операторы и волновые функции явно зависят от времени.
При этом изменение операторов во времени определяется «свободным» гамильтонианом Нв.' = [Нв Рвв (Г)1 > а возмущение В'(х, () обусловливает временную зависимость волновой функции «>> " ' =й>„(х, 1)Ф„(х, 1). В $ 83, где рассматривается теория квантовых переходов под воздействием слабого возмущения, используется переход к представлению взаимодействия. Это преобразование выполнено — 'й,в там в энергетическом представлении, поэтому операторы е А Екк сводятся к числам е й 46. Матрица плотности Пусть оператор 1. дан в координатном представлении в виде матрицы (... Среднее значение Е в состоянии >(>а (х) будет (ср. (4!.2")) Х, = ~ ~ йх' бхв)в (х') Ь„,»Ра (х).
(46.1) Если из чистых ансамблей, характеризуемых волновыми функциями ф„образовать смешанный ансамбль такой, что каждое чистое состояние будет представлено с вероятностью Р„то среднее значение Е в смешанном ансамбле будет (ср. (22.18)) Е =,У> Ра7« =,У> Ра~ ~ г(хг(х'в(>а« (А') 1 к'к>(>а (х) (46 2) а а (при условии ~~~»Р, = 1). Равенство (46.2) можно переписать в следующем виде: Х =~) «(Х'«(Хркк(кк> (46.3) где р,к равно Ркк' = ~Х~~ Рафа (Х ) фа (Х) (46.4) а млтницл плотности 179 ~ =,У~ ~'~,~~~~ Росам(топал~ (46.6) а т л т. е. рлм =,У~ Расатоал а (46.7) где с„„суть амплитуды в разложении лра(х) по ~р„(х). Стало быть, в этом представлении имеем Х-ХХр 1- а Вр(р() (46.8) Диагональный матричный элемент матрицы р имеет смысл вероятности (нли плотности вероятности).
Действительно, полагая в (46.4) х'=х, найдем р„„=~ч~Р,~лР,(х) ~а=и(х), а (46.9) т. е. плотность вероятности для координаты х в смешанном ансамбле. Подобным же образом нз (46.7) получаем р,„= У',Р,~с,„~а=в„, а (46.10) т. е. вероятности найти в смешанном ансамбле значение М =М„. Рассмотрим теперь, как будет меняться оператор р с течением времени. Матрица (46.4) определяет р для какого-то момента времени, который мы можем принять за начальный (1=0).
Смешанный ансамбль, описываемый этой матрицей, есть набор Независимых систем, каждая нз которых находится (с вероятностью Р„) в одном из чистых состояний ф,(х) =тр,(х, О). Система, нахолившаяся в момент 1=0 в чистом состоянии фа(х, О), в момент ') Зтот оператор оыл паслен Нейманном (см. 1. Ч. Иептапп, 0о11. )Чеонг., 1927). Оператор р, представляемый матрицей с элементами р„„(46.4), называется оператором плот ноет ит). Выражение (46.3) есть не что иное, как сумма диагональных элементов оператора рЕ. Поэтому мы можем написать (46.3) в виде ~=5р (р(.). (46.5) В другом представлении, разлагая-ф, (х) по собственным функциям ф„(х) некоторого оператора М, имеющего дискретный спектр собственных значений М„М„..., М„, ..., получим из (46.2) 180 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 1гл.
уи 1)0 будет также находиться в чистом состоянии зра(х, 1), которое можно найти из уравнения Шредингера зй — "' = ~ Н„зр,(х", 1) г(х" (46.11) или для сопряженной функции зр'(х', () из сопряженного урав- нения (46.11') рет' (() = Х Р Ф(Х 1) Фа (х 1). (46.4') Дифференцируя это уравнение по времени и выражая с помощью (46.11) и (46.11') производные волновых функций через оператор Гамильтона, найдем — = —.а ~ Нкх"Рл-х дхл —; —, ~ Рзз-Нх".к еЬ" (46.12) (при этом мы воспользовались тем, что Н„*» =Н„-„) или в операторной форме ~,= — 1Й, р|, (46.13) где 1Й, р| есть квантовая скобка Пуассона. Это операторное уравнение позволяет определить оператор р для любого момента времени, если он известен при 1 = О.
Преимущество описания ансамбля посредством оператора р в сравнении с описанием с помощью ф-функции заключается в том, что операаюр р поэволяегп единаобраэно рассматривать каксмешанные, так и чистые ансамбли. Обратимся теперь к тем изменениям в операторе р, которые возникают в результате измерения. Пусть производится полное измерение (измерение величины или набора величин М). Пусть собственные функции оператора М будут гр„(х). Тогда вероятность найти М=М„будет (46.10). После измерений вознйкает новый смешанный ансамбль, в котором новые чистые состояния ~р„(х) ') Олиако Рз могУт изменатьса в РезУльтате измеРеиий. См.
ниже. Здесь Н;~ есть матричный элемент гамильтониана в «хз-представлении. Вероятности же Р , будучи вероятностями начальных данных (Р„ есть вероятность того, что при 1 = 0 система находится в состоянии зро(х, 0) =зр,(х)), конечно, не зависят от времени '). Поэтому в момент 1 .Р О матрица р будет равна МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ й 46) )в) будут представлены с вероятностями пг„, т. е. после измерения ') (46.
14) рхх =,~ Як)агре (Х ) Ч)х (х) и мы получаем совершенно новый смешанный-ансамбле. В квантовой статистике состояния никогда не характеризуются полным измерением, Поэтому там всегда имеют дело со смешанными ансамблями. В силу этого оператор плотности р приобретает особо большое значение именно в квантовой статистике.
С помощью матрицы плотности можно описать не только движение микрочастицы, но и макроскопических систем, а также взаимодействие микросистем с макроскопическими системами, Как известно, в классической статистике ансамбль независимых систем (который обычно называют ансамблем Гиббса) характеризуется плотностью вероятности 0.(р, х) такой, что величина 0(р, х) х )( йр йх имеет смысл вероятности найти систему с импульсом, лежащим около р, и координатой, лежащей около ') х. Согласно теореме Луивилля эта плотность является постоянной, так что "„Р =Ю+1Н, 0)„„=0, (46.15) где )Н, 01,= — — — — — есть классическая скобка Пуассона. до дР дИ дР хл др дх дх др Из (46.15) следует, что дР д дт р (х — хо е )'(р' х) ) р 2 я с(х' (46.! 6) ') Если, конечно, не произведено выбора подсовокупности, скажем, с М=М„. При таком отборе полученный после измерений ансамбль будет чистым (с гр=грл (х)).
') Мы пишем в обозначенинх, соответствуюших ансамблю систем с одной степенью свободы х. Под р и х можно подразумевать совокупность импульсов н координат всех частиц, входиших в систему. Аналогия между (46.15') и (46.13) очевидна. Классический ансамбль Гиббса и квантовый смешанный ансамбль по своему существу (набор независимых систем) тождественны.
Поэтому оператор р по аналогии с плотностью вероятности 0 н называют оператором плотности. Более полно связь между р и Р может быть установлена, если вместо рхх ввести матрицу )) (р, х), строки которой нумеруются импульсом, а столбцы коор- динатой ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ (гл. То( Тогда ')1с (р, х)((р = ) р х б (х — х') г(х' и((х), — (р (х — х'Ь $ )т (р, х) ((х= $ рхх —— ,а (Ххс(х'=ррр —— (о(р), (46.17) где п((х) и и((р) — плотности вероятности для координаты х и для импульса' ) р. Эти формулы совершенно аналогичны классическим: ') Р (р, х) ((р = и(„ (х), ) Р (р, х) ((х = и(„, (р). (46.
18) Более того, можно показать, что матрица Я (р, х) подчиняется уравнению, которое при определенных условиях (гладкость полей и гладкость самой функции 1( (р, х)) превращается в классическое уравнение (46.15')'), Поэтому величина 1( (р, х) вполне аналогична классической вероятности (плотности вероятности) Р(р, х), и ее можно рассматривать как обобщение понятия вероятности на случай одновременно неизмеримых величин (аквовивероятноотьв). Величина же р„аналогична компонентам Фурье от плотности Р (р, х), т. е. величине р(х-хч Ь„, ~ Р(р, х)е " ((р.
(46.19) () Чтобы получить (46.!7'), следует иметь в виду, что -( — „ рх' 4'о (х') —. дх' =си (р). у"йп» 9 Матрица д(р, х) была введена автором книги (см. 7. Р)(уа. ()БАЙ а, 7) ()й4о)), Глава Ч111 ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ й4ИКРОЧАСТИЦ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ й 47. Гармонический осциллятор В этой главе будут рассмотрены простейшие задачи атомной механики, относящиеся к движению частиц в поле потенциальных сил. Если силы не зависят от времени, то основной задачей атомной механики будет задача нахождения стационарных состояний системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
