Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Действительно, в этом случае, согласно (30.8), произвольное состояние ф(х, () может быть представлено как суперпозиция стационарных состояний с постоянными амплитудами с,: где ф, (х) суть волновые функции стационарных состояний, а ń— соответствующие значения энергии. Волновые функции ф,(х)— это собственные функции оператора энергии Н. Они определяются, согласно (30.4), из уравнений Шредингера для стационарных состояний Задача о нахождении стационарных состояний есть вместе с' тем задача о нахождении спектра энергии Е. Особое значение этой задачи для атомной механики заключается в том, что в противоположность классической механике квантовая механика приводит во многих случаях к квантованию энергии, т.
е. к дискретному спектру ее значений Е„Е„..., Е„, ... Эти значения часто называют квантовыми уровнями или уровнями энергии. Если система (например, электрон в атоме, молекула и т, и.), обладающая таким спектром энергии, подвергается извне слабому !84 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. ЧП! рз на)з О= — '+ — "х'. 2р 2 (47,!) Здесь р„— импульс частицы, )з — ее масса, х — отклонение от положения равновесия, а шо — собственная частота (циклическая) осциллятора.
Заметим, что гармонический осциллятор, поскольку речь идет о механических колебаниях, является идеализацией, так как значение потенциальной энергии (У = ~ ' к' означает, что по мере 2 удаления от положения равновесия сила неограниченно возрастает. Во всех реальных случаях, начиная с некоторых значений амплитуды, появляются заметные отступления ОФ гармоничности, а при больших значениях х сила взаимодействия стремится к нулю (а У— к постоянной величине). Однако для небольших амплитуд колебаний х вполне можно пользоваться представлением о гармоническом осцилляторе.
Теория гармонического одномерного осциллятора имеет большое значение в приложениях, так как подходящим выбором координат («нормальные координаты») движение любой системы частиц, совершающих малые колебания, может быть сведено к движению совокупности независимых осцилляторов '). В квантовой механике под одномерным осциллятором мы будем понимать систему, описываемую оператором Гамильтона Й, равным, !> Если связь между системами сильна, то мы имеем одну целую систему.
Если внешнее поле велико, то уровни в системе заметно меняются. Позтому предположение о слабости связи является существенным. з) См. $ !09. Теория квантовых гармонических осцилляторов находит важное применение в квантовой теории поля. воздействию, то ее квантовые уровни не меняются (точнее, меняются мало). Однако благодаря внешнему воздействию система может переходить с одного уровня на другой, так что ее состояние может измениться значительно.
Вероятности этих переходов мы вычислим позже. Нахождение же возможных значений энергии позволит нам сразу сказать, каковы возможные изменения энергии рассматриваемой нами системы, если между ней и какой-лнбо другой системой нли внешним полем установлена слабая связь'). Так, если найденные уровни энергии будут Е„Е„..., Е„..., Е, ..., то обмен энергий возможен лишь порциями: тзЕ = Š— Е„.
Рассмотрим простейший случай движения частицы в потенциальном поле — гармонический осциллятор. В классической механике гамильтонова функция одномерного гармонического осциллятора имеет вид ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР в полной аналогии с (47.1), ра (47.2) 2р. где Р— оператор импульса, а Х вЂ” оператор координаты'). Соответственно этому гамильтониану уравнение Шредингера в «х»- представлении для стационарных состояний осциллятора имеет вид — 2 — б — а+ 2'"ф=ЕФ.
яа а(аф рма (47.3» Для решения этого уравнения введем безразмерные величины — хе= у —, Л= —. л Г а 2Е (47.4) ха ' рыо воза Обозначая дифференцирование по $ штрихом и рассматривая ар как функцию с, после элементарных преобразований мы приведем уравнение (47.3) к виду фа+(Л вЂ” ВЗ) ф=О. (47.5) Нам нужно найти конечные, непрерывные н однозначные решения этого уравнения в интервале — со с,й с.+со. Такие решения уравнение (47.5) имеет не при всех значениях параметра Л, а лишь при Л=2п+1, л=О, 1, 2, 3, (47.6) причем соответствующие функции ф„равны Еа ф„Ф= Н„Ф, (47.7) где Н„(9) есть полипом Чебышева — Эрмита и-го порядка'), определяемый формулой Н„Д) = ( еь — „; (47.8) ~2чл( )' и прн этом множитель перед еь выбран так, что функция фч(9) нормирована по $ к 1: +аь +Оа ~ ар';($) а($= ') е-Ь'Н.'(Цсбр=1.
(4?.9) а) Может возникнуть вопрос: почему имеет смысл называть систему с га. мнльтонианом (47.2) гармоническим осциллятором) Ответ заключается в том, что система, описываемая гамильтонианом (47.2), излучает н поглощает только одну частоту ыа (см. $90, А) и прн а-ь 0 переходит в классическую систему с гамильтоновой функцией (47Л) (ср.
44 З4, 35). а) Подробности, касающиеся решения уравнения (47.6) и в особенности требования (47.6), изложены в дополнении )Х. 186 миквочлстицы в поля потенциальных сил 1гл.шп (47. 11) где $ =х/хе. Эти функции 'нормированы так, что +со $ ф;(х) о(х=1. Обратим внимание на четность волновых функций осциллятора.
Как легко видеть из формул (47.11) и (47.8), четность состояний осциллятора определяется четностью главного квантового числа и. Пользуясь формулами (47.7) и (47.8), выпишем несколько собственных функций вида (47.11) фо(х) = е 1 о, и=О, (47.12) трт' (х) = е ~"1 2 „—, и=1, (47,12') )/2« р'и "о тра(х)= е "' 114 —,— 2), и=2. (47.12") Первая функция не обращается в нуль нигде (кроме х=.+.оо). Вторая обращается в нуль при х=О, Точку, где волновая функ. ция обращается в нуль, будем называть узлом, Третьяфункция обращается в нуль при х=+ — „' и имеет, стало быть, два узла.
'о' 2 Мы замечаем, что число узлов равно номеру функции и. Это свойство справедливо для любого из). Таким образом, главное т) Всегда номер собственной фуикнин ранен числу узлов. Общее доказательство этой теоремы см. у Р. Кур вита и Д. Гильбе рта, Методы математической физики, т. 1, Гостехиздат, 1861, стр о88-386. Таким образом, одного требования непрерывности и конечности ф оказывается достаточно, чтобы параметр Х получал лишь дискретные значения (47.6). Но, согласно (47.4), этот параметр определяет энергию. Сравнивая (47.4) и (47.6), находим, что возможные значения Е„'суть Ео=йезо1и+ ~)э и=О, 1, 2, 3, ... (47.10) Эта формула показывает, что энергия осциллятора Е может иметь лишь дискретные значейия.
Число и, определяющее номер квантового уровня, называют главным квантовым числом. Окончательно мы запишем собственную функцию, принадлежащую и-му собственному значению и данную в «хэ-представлении, в виде хо е 'ф (х) = —.-р= Н„$), р хо гдрмоничнскип осциллятор а) Рис. аа. Волновые функции, а — волновые фрннннв оеннлпнтора дле и = О, Ь Е, б) нолебаннв аанрепленноа струем. ГГ, — ооновноа тон, Ьм ГГ, — йЕРВМЕ Деа Обертона. Обнаруживающаяся аналогия между колебаниями струны и волновой функцией осциллятора не является случайной. Она обусловлена двумя обстоятельствами.
Во-первых, в обоих случаях дело идет об одном измерении. Во-вторых„колебания струны — это собственные колебания. Согласно общей теореме об узлах соб- и огненных функций (см. примечание на стр. 186) число узлов л-2 Г~ 2 Вгнр функции чр„(х) и функции У,(х) должно быть одинаково. Чтобы получить более пол- л-1 ~ г, г "етр пое представление о квантогг гнр вых состояниях осциллятора, мы приводим на рис.
24 потснциальную функцию осциллятора и (х) = †,- х'. атв л Р В Рис. 24. Диаграмма квантовых уровней Еа и потенциальной энергии У (х) для гармонического осциллятооа. По,оси ординат отложена потенциальная энергия, а по оси абсцисс отклонение х. На этом же рисунке горизонтальными линиями изображены уровни энергии Е„(47.10) для разных и. Такие диаграммы, на которых изображается одновременйо энергетический спектр и потенциальная энергия, употребляются довольно часто. Они позволяют произвести простое сравнение с классической картиной движения. Рассмотрим, например, уровень Е,. Согласно классической механике, частица, имеющая энергию Е„ кваннгоесе число равно числу узлов собственной функции. Эти волновые функции изображены на рнс.
23, а. Вид функций ф„(х) аналогичен виду функции У,(х), изображающей колебание закрепленной на концах струны. Для сравнения на рис. 23, б приведена функция У„(х) для основного тона (в=й), первого обертона (п=1) и второго обертона (п=2). 168 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ.ЧШ где о — скорость частицы. Выразим о как функцию х. Имеем (4?.15) х = а з)п во(, где а — амплитуда колебаний Из (47.15) имеем и = аы, соз ЫД (47.16) т. е. опять-таки по (47.15) / хх о=пм0 3~ 1 и.
а~' (47.17) Следовательно, ш„„(х) дх= —,, — а~х --)-а. (47. 18) Эта вероятность изображена на рис. 25. Наибольшая вероятность приходится, как и следует ожидать, на точки поворота А и В. Вероятность найти частицу в области х, х+дх по квантовой механике равна (для п = 1) ш„, (х) дх = ф1 (х) пх, причем ф, следует взять из (47.12').
Следовательно, — хпх~ х~ Их гв (х) пх =е 0 р'д х(х,' (47. 19) График этой вероятности также изображен на рис. 25. Как видно, квантовая вероятность также имеет максимумы около классических 3 l 2Л точек поворота (точно, для Е,=- М~. ОА = ОВ = ~х —, Р®0 могла бы быть обнаружена лишь в области АВ. В самом деле, А и В суть точки„ где потенциальная энергия равна полной. В этих точках кинетическая энергия Т равна нулю, так как Е = Т+(?, Т= Š— У.
(47.13) Точки А и В называются т о ч к а м и п о в о р о т а. Очевидна, ОА = — ОВ есть амплитуда колебания частицы, имеющей энергию Е,. Вычислим вероятность ш (х) дх найти частицу в области х, х + дх по классической механике. Эта вероятность пропорциональна времени Й, в течение которого частица проходит отрезок Йх. Если период колебаний есть Т=2Л/ы„то мы можем положить ш„х(х) д~= — =~~— „—, ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 1) 6' В х Хааа Рис. 26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
