Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 40
Текст из файла (страница 40)
о Полная собственная функция, согласно (49.4), будет равна произведению )!„1 на собственную функцию оператора момента импульса, т. е. г„ „ (г, 9, р) = гт'„ (г» т (9, р). (50.23» Энергия Е„, как следует из (50.!5), зависит лишь от главного квантового числа п, Если это число задано, то нз (50.14) вытекаег, что число 1, которое называют орбитальным'), может иметь лишь такие значения: 1=0, 1,2, ..., и — 1 (п,=п — 1, и — 2, ..., 0). (50.24) Далее, как мы знаем, магнитное число т при заданном ! пробегает значения т=О, .+. 1, .+-2,,....+-1, (50.25) Подсчитаем теперь, сколько различных волновых функций принадлежит квантовому уровню Е„.
При каждом ! мы имеем 2!+1 функций, отличающихся числом т. Но ! Пробегает значения от О до п-1, поэтому полное число функций будет л-1 ~, (2!+1) = и'. г=о Таким образом, каждому квантовому уровню Е„принадлежит и' различных состояний. Мы имеем дело со случаем пз-кратного вырождения. $ 5!.
Спектр и волновые функции атома водорода Подставляя в формулу (50.15) значения универсальных постоянных е, )г и й, мы можем вычислить квантовые уровни электрона, движущегося в кулоновском поле ядра номера Е. На рис. 30 приведены эти уровни для атома водорода (Е = 1). з) Число 1 называют орбитальным квантовым числам по тай причине, чта в старой боровской теории ано определяло прн заданной знергни форму орбиты; и называют магнитным квантовым числам по той причине, что оио играет существенную роль а магнитных явлениях (см.
44 74, тб, 129, 1ЗО). % ЬП СПЕКТР И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА 207 Числа по вертикали слева дают энергию уровней в электроновольтах (знергия отсчитывается при этом не от О, а от нижнего уровня Ет). Как видно, по мере роста главного квантового П 10,~5 Рис. 30. Схема хваитовмх уровней атома водорода.
числа п уровни располагаются теснее, и при и=Со Е =О; далее идет область непрерывного спектра Е.> О, соответствующая иоиизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна , 1 — Е, = ае — — 13,55 за. (51.1) Чтобы понять значение чисел, нанесенных иа правой вертикали, напомним, что частота света от, излучаемого при переходе нз уровня Е,ц в уровень Е„тм, согласно квантовой теории света, 208 микрочлстицы В поле потенциальных сил 1гл. ч!и определяется из уравнения Бора ').
й<о = Елпл — Ел Гмс (51.2) Величина тх = — ~ = 3 27. 10га сек-з 4лда (51.4') называется постоянной Рндберга — Ритца и впервые была вычислена теоретически Бором. В спектроскопии величину термов Е чаще указывают не в частотах — „, а в волновых числах, показывающих, сколько длин волн Х укладывается в 1 ем. Если циклическая частота света есть оз, то обычная частота т= —.
Эту-то 2л частоту н измеряют обычно в 1!Х, так что спектроскопическая частота (волновое число) равна обыкновенной частоте т, деленной на скорость света е: 1 е ы тспептР = Х С 2†„ СМ Постоянная Ридберга — Ритца в-волновых числах равна й 'И 109737,30 см-з. 4лФс (51.4") Термы водорода в этих жс единицах равны — п=1,2,3, (51.4"') Числа, нанесенные на диаграмме уровней атома водорода (рис.
30) справа, дают величину спектральных термов в обратных сантиметрах. Линии, соединяющие уровни, по своей длине пропорциональны энергии кванта света, излучаемого или поглощаемого прн переходе электрона между этими уровнями. Указанные на этих линиях числа дают длину волны Х света в А. з) Это будет доказано. Пока мы опираемся на нзлонсенное в 4 2. Подставляя сюда энергию Ел,„из (50.15), получим (51.3) Эта формула (при о=1) дает частоту света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода. Величина — "' называется с п е к тралл ьным термом. Разности термов дают частоты.
Для атома водорода терм равен (51.4) % $1! СПЕКТР И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА 209 Все частоты, относящиеся к переходам, кончающимся одним и тем же нижним уровнем, образуют так называемую спектр ал ь н у ю с е р и ю. Отметим наиболее важные серии водорода. Переходы на уровень 11=-1 (нижний) образуют серию Ла/)мана.
Частоты серии Лаймана вычисляются по формуле /1 !1 (51.5). Среди этих спектральных. линий линия а = 2 имеет наибольшую длину волны Х = 1215,68 А. Она находится в ультрафиолетовой части спектра. Переходы на уровень и = 2 соответствуют излучению видимого света. Совокупность этих спектральных линий образует серию Б альмер а. Частоты этой серии суть т=)р~ — — „—,), л=З, 4, ... (51.6) Формула (51.6) была найдена Бальмером в 1885 г. Иа основе анализа эмпирических данных о спектре водорода. Впоследствии эта формула сыграла исключительную роль в расшифровке спектров и послужила пробным камнем для квантовой теории атома.
Спектральные линии серии Бальмера обозначаются буквами Н„(п=З), Нв(п=-4), Нр(л=5) и т. д. Кроме серии Бальмера и серии Лаймана, на диаграмме приведены и другие серии, соответствующие переходам на уровни а = 3, 4 и 5 (серии Ритца — Пашена, Брэккета и Пфунда, соответственно). Линии этих серий лежат в инфракрасной области спектра. Спектры водородоподобных ионов Не+, 11 ' и т. п. имеют такой же вид, как и рассмотренный спектр водорода, но все линии перемещаются в область более коротких длин волн, так как в этих случаях постоянную Ридберга следует увеличить в Е' раз.
Именно, согласно (51.3) и (51.4"), частоты для этих ионов будут вычисляться нз формулы (51. 7) Обратимся теперь к более детальному анализу квантовых состояний и соответствующих собственных функций ф„/„, (г, З, 1р) (50.23). Любое определенное состояние, задаваемое тройкой квантовых чисел а, 1, т, представляет собой собственное состояние трех одновременно измеримых величин: энергии, квадрата момента импульса и проекции момента импульса на некоторое направление 03, Все эти три величины имеют в состоянии )р,д„ 218 микеочАстицы В пола пОтенциАльных сил 1гл.юи определенные значения, именно, х'е«и 1 Еь= — —— 2А» и» ' (51.8) (51.13) М,'=й»1(1+1), 1=0, 1, 2, ..., и — 1, (51.9) М,=ат, т=0, .+.1, +'2, ...,:+1.
(51.10) Таким образом, динамическое значение квантовых чисел и, 1, т 3 заключается в том, что главное число и указь«вает величину энергии Е„, орбитальное число 1 — величину ' лд.з(аулуг~ момента импульса М1 и, наконец, l магнитное число т — величину проекции момента импульса М, на некоторое произвольное направг Нг ление Ос. Три величины Е, М), М, впол- 1 не определяют волновую функцию ! и поэтому образуют полный набор величин. Число их, как и ( - должно быть, равно трем, т. е.
числу степеней свободы (ср. $ 14). Квадрат абсолютного значения ф„, (г, О, ф) («координатное предРис. 31. сферические коорхакати ставление») дает вероятность того, что при определении положения электрона в квантовом состоянии и, 1, т он будет обнаружен в окрестности точки г, О, ф. Точнее эта вероятность определяется так: ю„, (г, 8, ф)г»«(гз(п8«(Ойр= =!ф„, (г, О, ф)пг~Нгз!ПО«(8«(ф. (51.11) Чтобы нагляднее представить себе характер этой вероятности, мы приводим на рис. 31 сферическую систему координат. Полярная ось Ос выделяется тем, что она есть как раз то направление, на которое проектируется момент импульса М,=ат.
Обозначая через «(11 элемент телесного угла зйп ОНО е(ф в области О, ф и пользуясь формулой (50.23) для ф„,, мы можем написать вероятность (51.1!) в форме щи«(г, 9, ф)г»йг«И=»«;",~(г)г»е(г)У„„(8, ф)~««(Я. (51.12) Если мы проинтегрируем (51.12) по всем углам Ж), то мы получим вероятность найти электрон между двумя сферами радиусов г и г+с(г. Обозначим эту вероятность через вел(г) юг=Я'„'~(г) г»й. $50 СПЕКТР И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА 21! сти для различных состояний. Числа ие чисел и, 1(п,=п — 1 — 1).
На- /// М Лг и/ гмргдмуядя//.У /// 3/р я й//у-гигруагяии//// // /// 7// 1// дМ-иславии /1 й/ и ригдмяииир/ Поэтому при больших значениях г вероятность шл, (г) будет равна йхг ш„т (г) = /т/'.уе ~ —,',") . (51.15) Отсюда следует, что длина па/2Я есть длина, определяющая размеры атома, так как для г,=э вероятность шли(г) практически равна нулю.
Приведем более подробный расчет для самого нижнего квантового состояния (пнн1). В этом случае из (50.19) имеем )стзв (р) = й/заи (51.16) Следовательно, яхт шзо(т) =й/1аайе "( — ') . (51.17) На рис. 32 даны эти Вероятно на кривых показывают значен пример, 31 означает п=3, 1=1(п,=1). По абсциссеотложено расстояние от центра р=г/а (см. (50.4)). Из графиков можно видеть, что число и, (которое называют радиальным квантовым числом) равно числу узлов волновой функции /т„ь При этом мы имеем не узлы в точках, а узловые поверхности, ибо /г„, обращается в нуль при некотором г=г', а это означает поверхность шара радиуса г'. Стало быть, в состоянии, характеризуемом числами и, 1, имеется и,= =п — 1 — 1 узловых поверхностей, имеющих форму сферы, Выясним теперь значение введенной ранее длины а.
Из вида функций /спи(р) (50.19) следует, что при больших г(р-+со) радиальная функция )с„т принимает вид хг )г„т(р)=й/„,и ( — „~) +... (51.14) Рис. 32. Распределение заряда в иервых состояниях атома водорода, По оси абсцисс отловсеио расстояние г в рвднусак первой боровской орбиты, па оси орди. наг — вероятность найти влектрон в сФернеескаи слое с радиусами г и г + дг, 212 микрочястицы в поли потенциальных сил Егл.шп Максимальное значение этой вероятности получается при р= = лг)а=1.
Отсюда следует, что в состоянии и=1 (Е=-ни=О) наиболее вероятно найти электрон прн = — = — = — 1О-е см. а Яа 0,329 =3=) г= г (51.18) Это есть в точности радиус первой орбиты Бора, величина которого впервые была получена Бором из старой теории квантования в 1913 г. Так как нижняя орбита по теории Бора — круговая, то по этой теории вероятность найти электрон в состоянии а = 1 отлична от нуля лишь на шаре радиуса шнн г=г,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
