Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Часто, делая еще более грубое приближение, пренебрегают зависимостью эффективного номера 2'(г) от г и берут какое-нибудь наиболее подходящее постоянное значение для ль =у — у(ге), (52.8) Однако такое прнближение очень грубо и не ведет к хорошим результатам'). Полученная нами потенциальная энергия (г'(г) = = — еьг(г) для валентного электрона водородоподобного атома принадлежит к классу рассмотренных в 9 50 (полюс порядка 1)г). Так как У(2, то мы имеем дело со случаем притяжения. Отсюда следует, 'что энергетический спектр водородоподобного атома будет состоять из непрерывного спектра (Е) О), отвечающего ионизованному атому, и дискретного (Е ( О), образующего совокупность квантовых уровней атома. Мы не будем заниматься решением радиального уравнения (49.5) для этого вида потенциальной энергии.
Оно может быть решено лишь численным интегрированием. Ограничимся лишь изложением результатов. Самым существенным обстоятельством является то, что энергия Е зависит в этом случае не только от главного квантового числа и, но и от, радиального и,. Это нетрудно понять. В уравнение (49.5) для функций )т, из которого определяются и квантовые уровни Е„, входит орбитальное квантовое число 1.
Поэтому Е будет, вообще говоря, зависеть от числа 1. Кроме того, значение Е зависит от номера собственной функции уравнения (49.5), т. е, от радиального числа п,. Таким образом, в общем случае собственные значения Е зависят от двух квантовых чисел, п, и 1, или так как п = п,+1 + 1, то можно сказать, что они зависят от п и Е Следовательно, полная нумерация уровней и собственных т) Конечно, применимость или неприменимость того или иного приближения зависит еще и от того, какую степень точности желают получить.
216 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ 1ГЛ. тп! функций будет такая: тР„, (г, 6, эР) =)тэы(г) )хсиы 1=0, 1, 2, ..., л — 1, — — (52.9) и=1, 2, 3, ..., случае кулоновского поля. То, что в кулоновском поле энергия зависит лишь от и, есть специальная особенность этого поля, которая имеет свои основания '). В случае кулоновского поля числа пе и 1 входят в выражение энергии в виде суммы л=л,+1,+1.
Таким образом, в кулоновском поле, как уже н отмечалось, имеет место вырождение («(в-вырождение), заключающееся в том, что энергия при заданном главном числе и пе зависит от величины момента импульса (1). В общем случае центрального поля У(г) зто «В-вырождение снято, и термы с одним н тем же главным квантовым числом и, но разными орбитальными числами 1 имеют разные величины. На рис. 36 приведены уровни для одновалентного атома калия. Как видно, например, главному числу а = 2 принадлежат два уровня 1=-0 (а-терм) и 1= 1 (р-терм). В случае водорода эти уровни сливаются вместе.
Что касается магнитного квантового числа и, то оно, как уже объяснялось, определяет ориейтацию атома и поэтому энергия атома (в отсутствие внешних зависеть от этого числа. а не Е„как в Рис. 36. Снятие «1э-выроис денни в одновалентиых ато мах. Приведены ерн первых уровня атома налив уровни ар, Еэ, слнваюыиеся в водороде, в иални раэделеиы. в пространстве, полей) не может $ 53.
Токи в атомах. Магнетон Вычислим плотность электрического тока, текущего в атоме, если электрон находится в стационарном состоянии, с определенным значением проекции момента импульса М,=йлт. Волновая функция такого состояния равна фиги (г, 6, ср) = )т~м (г) Рэ (соз 6) и ') См. В. А. Ф о к, ДАН, № 2, 169 (1936]. ТОКИ В АТОМАХ.
МАГНЕТОН 219 Согласно (29.11) плотность электрического тока в состоянии фл, будет выражаться формулой !'еа Л = — 9 — „(фл 'рЮе — ф."!л~Тфль») (53.2) (мы берем перед е знак —, считая заряд электрона равным — е, е 4,778.10-те ед. СГСЗ. Удобно найти вектор д в сферических координатах г, 9, !р. Для этого заметим, что в сферической системе проекции оператора градиента т суть —, — —, д 1 д ! д де ' ! д!! ' / яп З йр' Следовательно, проекции вектора д на радиус, меридиан и широту равны соответственно Гае !' дтл!л! л д4!л!л! ~ .7,= — —,-~~фл,. д„/— фл- — „", 1=0» (53.3) (53.4) йзе !' дфлгт л д!ел!л!1 е" м е Первые два результата получаются сразу, если вспомнить, что р,'"'! и );!„! суть действительные функции переменных 9 и г, а по- / сдедний следует из того, что лр„! пропорциональна е!"э.
Таким обра- ! зом, в стационарных состояниях ! / проекции тока на радиус и мериди- ', '~ , , /7 ан равны нулю (что очевидно и из геометрических соображений; если, например, 7, ~ О, то заряды будут ! / либо растекаться, либо накапливать- -- , !,~.
! /уд ся) н ток течет вдоль широтных кругов (рнс. 37). Это течение вполне соответствует среднему току по клас- ! ! снческой механике для совокупности ! ! ! орбит, имеющих один и тот же пол- // ный момент импульса ййе и одну н / ту же проекцию этого момента М, // на ось ОЕ. / / / Теперь, основываясь на формуле найти магнитный момент Ие атома. Але и ~ цр л Я"'" Сила тока /1!, протекающего через площадку !(О, направленную в меридиональной плоскости (рис.
37), равна (53,6) 220 михгочАстицы В пОле ЛОтенциАльных сил [Гл. КО| Магнитный момент, создаваемый этим током, равен с(У1, = — = ПБ Х„Я до (53.7) где Я вЂ” площадь, обтекаемая током сУ. Эта площадь равна пг'з)пе0 (см. рис. 37). Поэтому Чтобы получить полный момент У1„следует просуммировать магнитные моменты по всем трубкам тока.
Тогда получим У1, = — — ~ 2ПГ з 1и 0 с(о ~ Ф„! (53.9) Но 2пез(пзс1О есть объем трубки. Так как внутри трубки величина ~~Р„е постоянна, то интеграл в (53.9) есть просто интеграл от ~ф„, 1е по всему объему. Этот интеграл в силу нормировки равен 1, следовательно, проекция магнитного момента на ось имеет значение У1,= — Я = — У1 ле, В ю (53.10) где У)в= — =9 27 1О м -е— (53.11) Я, е М 2ас (53. 12) и в точности совпадает с отношением этих величин о классической теории для заряда — е с массой р, движущегося по замкнутой орбите. Заметим, что, поскольку ось Ос, ничем не выделена, такое же отношение получится и для проекций 9Я и М на любое направление. Поэтому (53.!2) следует толковать в том смысле, что отношение вектора магнитного момента Зое к веке тору М механического момента равно 2рс' т.
е. она имеет квантовое значение, равное целому числу магнетонов Бора У1в (см. 2 3). Знак минус обусловлен отрицательным зарядом электрона. Произведенный расчет показывает, таким образом, что в состояниях с М, ~ 0 в атоме течет электрический ток. Этот ток создает магнитный момент (53.10), так что атом представляет собой в целом магнитный диполь.
Отношение проекции магнитного момента У1, к проекции механического момента М, равно квлнтовыв тговнн двтхлтомнон молвктлы 221 ф 54. Квантовые уровни двухатомной молекулы Обратимся к молекуле, образованной нз двух атомов А и В с массами тх и глв. Потенциальная энергия в функции расстоя- ния между атомамн г пусть будет г'(г). Эта энергия имеет вид, приведенный на рис.
38. Мы ограничимся рассмотрением только Г относнтелы1ого движения атомов А и В. Из классической механики известно, что относительное движение двух частиц с энергией взаимодействия У (г) происходит, как движение материальной точки с приведенной массой р: й=т,+,— "'ч+и(.), (54.2) где г есть расстояние между атомами, а углы 9 и гр (входящие в М') определяют направление линии, соединяющей А и В.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний будет таково же, как и (49.2), Волновую функцию можно опять искать в виде "т(г, ч, гр) =Р(г) ),„, (ч, гр), и (54.3) причем для и будем иметь уравнение — э-,, л,в + ~ з„,, +(у(г)т и =- Еи. (54.4) ЛМ (1+ 1) Член можно рассматривать как дополнительную потензи2 циальную энергию, так что всю потенциальную энергию для — = — + -„— (54А) 1, а в поле центральной силы У(г), а общее поступательное движение— как свободное движение материальной точки с массой тл + + та, Такое же положение вещей имеет место, как будет доказано в Э 104, и в квантовой механике.
Опираясь на это обстоятельство, мы можем написать оператор полной энергии для относительного движения атомов А н В в виде 222 микиочдстицы в пОле пОтенциАльных сил [гл. чш движения по радиусу можно определить в виде (р,( ) =и( )+ — ', ам(1+0 и переписать уравнение (54.4) в виде Ла леи — — — + йг", (г) и Еи. 2м лга (54.5) (54.4') )(' г (г) )~ г (гг)+ 2 лгз (» ' гг) ' 1 лаа»г(г) (54.7) причем (54.8) График функции йгг(г) для разных 1 изображен на рис. 39. В отсутствие вращения ((=0) В'а(г)=У(г), и мы имеем случай, рассмотренный в 2 49 (рис.
29). Если вращение не сильно (( невелико), то %'г(г) все еще не сильно отличается от (7(г). Последняя кривая лишь несколько искажается. Если, наконец,! очень велико, то кривая ))гг (г) принимает вид, приведенный на рнс. 39 (случай (~Р1). Мы знаем, что для (=О молекула имеет дискретный спектр при Е =0 и непрерывный при Е'->О. При сильном вращении )Рг(г) всююи) ду положительно. Тогда из доказанной в 2 49 теоремы следует, что Е = 0 и, следовательно, спектр будет непрерывным.
Молекула будет т диссоциировать на атомы А и В. Эта )у (у диссоциация является результатом действия центробежной силы, которая , )~г $ развивается при вращении молекулы. ф Рассмотрим случай, когда вра- щение невелико, так что В'г мало рис. зв. связь кол лакая и вра. Отличается от (г (г) — по крайней мещения в двухатомаой молекуле. ре в области минимума У(г) (г=гг). Разложим Яуг(г) по степеням отклонения от положения равновесия г — го Положение равновесия г, зависит от ( и определится из минимума В'г(г): — — — (+ =О. (54.6) лг гГ» ига Отсюда находим г= гь Далее имеем 3 м1 квлнтовые хеовни двхххтомнои молвкхлы 22З Введем обозначения: (" (-, Фчг!! д,~ )... )нв) ргг = 7ь х г — го (54.9) Обозначая через Е' величину Е' = Š— У (г!) —— Уй (!+!) 2/с мы перепишем уравнение (54.5') в виде Юсиа 1 — --+ — ро1)х'и= Е'и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
