Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Интеграл по б, напротив, медленно меняется, если М мало. Поэтому этот интеграл можно рассматривать так же, как мы делали в $ 7, как амплитуду группы ф(х, (). Повторяя в точности все рассуждения 2 7, мы найдем, что максимум амплитуды («центр» группы) перемещается с групповой скоростью, равной (55,20) Отсюда следует, что средний импульс такой группы равен = "--~Ж). (55.21) Пользуясь выражением для Е (55.11), мы можем написать выражение для среднего импульса в группе состояний в (ьй зоне 234 микяочастицы в поля потянцилльных сил [гл. щп около на= а в следующем виде: аа р= — И ~ Е/ тз(п(тай).
и (55.22) ла~ Отсюда видно, что на границах зоны (й=.+ — ) средний импульс — а) р=О. Легко непосредственно убедиться из вида функций ф/а(х) (55.13), что в этих случаях мы имеем стоячие модули рова н- ные волны. Для значений й Ф лп/а средний импульс вообще ие равен нулю. Следовательно, состояния с определенной энергией в периодическом поле суть состояния со средним импульсом, вообще говоря, не равным нулю.
Если ограничиться в ряде (55.11) двуми первыми членами (т=О и гп=!), то получим Е(й) =Ета+Ецсоз(йа). (55.1 1') В центре зоны (около й = О, см. рис. 43) можно разложить (55.11') по степеням й, тогда найдем Е/(й) =Е,,+Е,,~1 — — '," + ...). (55.1Г') Для свооодного движения энергия равна яч,а Е, = сопя!+в (55.11"') 2а (см. 2 7). Поэтому (55.1Г) можно переписать в виде Ий~ Ег (и) = сопя!+ —,, 2па (55.23) где р* есть так называемая эффективная масса ! Еда' 1 / УЕ;Я1 а' »' ~ ль' /а-о' Соответственно импульс равен р =- —.
йй, (55.24) (55.25) Е/(й) =Ем — Ел ~1 — 2 + ...), ~~2 т. е. отличается от импульса свободной частицы коэффициентом р/р*. Подобным же образом можно представить энергию и на краях зоны (а = +. л/а). Возьмем, например, окрестность точки й = + л/а. Положим й=л/а — $. Тогда соз (а/г) = соз (л — $а) = — соя (аа). В этой области движение электрона в перноднчнском пола ззб т. е Е, (и) = сопз1+ —;„, $ = —," — lг, (55.23') где )ьэе есть эффективная масса на краю зоны.
Из (55.24) следует, что т. е. эффективные массы в середине и на краю зоны имеют противоположные знаки. Доказанные в этом отделе теоремы имеют исключительное значение в современной теории металлов '). Не имея возможности входить в детали этой обширной в настоящее время теории, мы ограничимся самыми краткими замечаниями. Теорема о движении группы в периодическом поле показывает, что в периодическом поле электрон движется с неизменным средним импульсом, вообще говоря, не равным нулю (это впервые было показано Ф.
Блохом в 1927 г.). Поэтому омическое сопротивление металла может быть вызвано только тем, что реальный металл не является средой с идеально периодическим полем. Отступления от строгой перноДичности полЯ вызывают РассеЯние электРонных волн 1«Р)а(х)1 и приводят к изменению среднего импульса электрона р)а, чем и вызывается омическое сопротивление. Эги отступления от периодичности обусловлены двумя причинами: 1) тепловыми колебаниями атомов металла, 2) наличием посторонних вкраплений в кристалле н случайными микродеформациямн. По мере уменьшения температуры металла уменьшается амплитуда колебания атомов, а вместе с тем уменьшается рассеяние электронных волн, и следовательно, падает сопротивление.
В хорошо приготовленном кристалле вторая причина может играть малую роль, поэтому сопротивление металла будет стремиться к нулю (или очень малой величине) по мере понижения температуры'). По классической теории, оно должно было бы возрастать («замерзание электронного газаз). Построенная на основе этой качественной картины количественная теория омического сопротивления металлов приводит к хорошему согласию с опытом. Отметим еще одно интересное обстоятельство.
Несмотря иа то, что опыты Толмэна твердо установили, что проводимость металлов обусловлена движением электронов, оказалось, что в некоторых ') Мы должны были бы обобщить этн теоремы на три измерения. Однако это обобщение тривиально сводится просто к увеличению числа переменных (х, у„з вместо к, дю Лз, Л вместо л), и все теоремы сохраняют свою силу. з) Это уменьшение сопротивления металлов не следует смешивать с явлением «сверхпроводимости», которое заключается в резком, скачкообразном исчезновении сопротивления некоторых металлов при понижении температуры. микгочлстицы в полк потвнцнхльных сил 1гл.
ч и Согласно (55.21) получаем ~р Л1И ЛЕ1 И <~аЕ Ла Й ш~» сй) а йя й' С другой стороны, работа, произведенная полем за ! сек, равна ДЕ НЕ Ла е е1 ЛЕ ~п да Ф а <й ~й еЖ и Имея в виду, что, согласно (55.23'), й"-Е сРЕ ~~2 АР сЦ~ ~~~* " мы получаем — = еЖ вЂ”, Ыр Р Д~ ~~~Э (55.26) Обычное положение дел таково, что р* положительно. (Это видно же из того, что с уменьшением величины периодического поля -~-0, т.
е. при переходе к свободному движению, и*-~-р). Но из (55.25) следует, что р" = — р*(0. Следовательно, согласно (55.26), электрон, находящийся на краю зоны, движется так, как если бы он имел заряд е'. т. е. заряд, по знаку противоположный заряду е(так как — „„(О). и металлах знак эффекта Холла таков, как если бы проводимость была обусловлена положительно заряжениымн частицами. Эта аномалия полностью объясняется с точки зрения квантовой механики.
Можно показать, что если проводимость металла обусловлена электронами, находящимися на краю зоны, то дело будет обстоять так, как если бы это были не электроны, а положительно заряженные частицы. Представим себе, что на электрон, находящийся на краю зоны, действует электрическое поле'8. Сила, действующая на электрон, равна е8. Эта сила вызовет изменение среднего импульса, которое по теореме Эренфеста равно —, =ей. Ыр И1 Глава 1Х ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ МИКРОЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ $ 56. Произвольное электромагнитное поле 8 = — — — — Ч)г ! дА дг (56.1) ле =го1 А. (56.2) Гамнльтониан для этого случая приведен в у 27 и равен (27.9) гт' = — Ре — ~ (АР)+ — 'б(ч А+ — 'Аа+еУ+(7, (56.3) 2р рс 2рс 2рс' где У вЂ” силовая функция и присоединена на тот случай, если помимо электромагнитных сил имеются еще и другие силы.
Мы не будем сейчас искать стационарные состояния, так как в произвольном электромагнитном поле они не всегда существуют. Ограничимся установлением уравнений движения и нз них выведем некоторые общие заключения. Для установления уравнений движения мы можем опираться на общую теорию, изложенную в з 32. Согласно (32.2) и (32.2') дело сводится к вычислению квантовых скобок Пуассона для координат х, у, г и импульсов Р„, Р„, Р„причем под оператором Й следует понимать гамильтониан (56.3) ').
') дальнейший расчет аналогичен классическому, рассмотренному и дополнении Ч1. Рассмотрим теперь движение частиц с зарядом е и массой р в произвольном электромагнитном поле. Пусть напряженность электрического поля есть е, а напряженность магнитного поля Ж. Эти напряженности мы выразим через скалярный потенциал )' и векторный потенциал А: МИКРОЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ (ГЛ. 1Х Следовательно, — = [Й, х]= — ~Є— е А»», (56,6) Эти операторные уравнения в точности совпадают со второй группой классических уравнений Гамильтона (см. дополнение Ч1, формула (1О')), если под Р понимать величину, а не оператор. Вторая группа уравнений получается несколько более слож- дР» ным путем. Вычислим — .
д( дг = [Й> Р»]= — — [АРе Р„]+ 2 [61Ч А, Р»]+ + — „,, [А', Р ]+[ела+У, Р„]. Вычислим все эти скобки, начиная с последних: (56.7) [е(г+К Р„]= — е— (56.8) — [Аг, Р„]= — — — = — — (А — "+ А — "+А — „') ег г ег дА' ее 1 дА„дА дА 2рс' ' " 2рсе дх ус~ ~ " дх ." дх» д» (ае [1. А ] (ае де(РА Гае /д»А» УАе Р.А 2рс ' " 2рс дх 2рс 1 дх' + дудх + дгдх1' е е 1 дА» дАе дА» дх Вычислим сначала оператор скорости — „, 11 — „, — „напишутся тогда по аналогии). Имеем =[О, х]= — [Р', х] — — '[АР, х], (56А) Первую скобку мы уже вычисляли (32.5); она равна Р„(р.
Для второй имеем [А)г, х]=[А„Р„, х]=.,а (хА»Р — А»Р»х) = — [хА„Р, — А„(хР» — (й)] = А . (56.5) пуоиавольнов элвктгомлгнитнов поли Следовательно, дРх дУ ду [дх (Р„с А )+ ф(Р,— —;А,)1 — —,' + д (Рх — Аг) + (56.9) Чтобы получить производную не от обобщенного импульса, а от обыкновенного, равного, согласно (56.6), 9 де =Р дл е (56.10) е длх е дАх нужно из (56.9) вычесть — — ". Для этого вычислим е с М ' Имеем е дА е дАх е (56.11) 1 дАх ду дАе дАк дАх дАх .х ~ е х ееу.
х х е д! дх "' дк ду ' х' дг дк. дАе 1 д (дАх дАх1 д д1ч А д / дА дх — ду '1 ду Подставляя сюда Й из (56.3), находим с [Й, А„) 2 [Ре, А„) — —,[АР, А~). (56,12) Далее, вычисляем зти скобки: [~А А~~=Ах д„". +Ае де+А, дх. (56.14) Отсюда получаем + д (1 ' е А,)1 — 2 7 Ак (56.15) Вычитая теперь — — (56.!5) из — „" (56.9), находим е д.чх ~Фх Но Имея еще в виду (56.10), получаем из (56.16) нех ду е Г ИР д21 !яе р — = — — +ее + — ~Л вЂ” — чу!" — з! — — го! Ж. др дг " сЬ 'а! "ЖЗ знс (56.17) аР ей Операторы скорости — и — не перестановочны с полем М ЕГ И (если оно неоднородно). Поэтому в (56.! 7) лучше произвести симметризацию: ий ! Х ('Р еА) 1('р е ~)чд +Га дЯ"е Отсюда следует, что (56.! 8) Подставляя (56.18) в (56.!7), получаем ФХ дГГ р — = — — +ее + ар дг + — ~Л", — „-1- — „ч2Г", — ч7т"„— „— — „Л „~.
(56 19) е Г ар а'Р ей ей Выражение Р.= ~„~-ЯЛ; "„Р + "„~ 71",) — ~.~ „"„~+ — "~ 77„)~ (56.20) следует рассматривать как оператор силы Лоренца, действующей в поле о, ае на частицу с зарядом е. В самом деле, классическое выражение для силы Лоренца имеет вид е„= ео„+ — '~ ча'; в! — Մ— ',~ Остальные два уравнения для осей ОУ и ОЯ, очевидно, напишутся путем циклической подстановки г, у, г. Переходя от операторного равенства (56.!9) к уравнению для средних значений (для чего умножаем (56.19) слева на !Р' (х, у, г, 1), а справа на !р(к, у, г, 1) и интегрируем по всему пространству), мы получаем теорему Эренфеста для движения в электромагнит- ном поле ~х аи )к — „= — -о — + е8„+ + е [(у.
~П' + ~й' у.) (56.2!) Рассмотрим теперь специальный случай движения в однородном электрическом и магнитном поле. В этом случае Ж и Ж не зависят от координат и поэтому коммутируют с операторами ид Ф 42 †, — и †. В силу этого для однородных полей вместо Ж' М Ж' (56.2!) получаем (56.22) х, Д, 2 суть координаты центра волнового пакета. Сравнение с (56.21') показывает, что в однородном электромагнитном поле центр пакета движется по законам классической механики как частица с зарядом е и массой р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
