Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 49
Текст из файла (страница 49)
2 Величины и,= ~~р*,ф, дхе(у Йг, 1 газ = ~ ф!фз лх ф пх (61.15) я суть вероятности найти электрон со спином з,=+ — или со а спином з, = — — соответственно. Средняя плотность электрических зарядов р, и средняя плотность электрического тока 3„ согласно (61.12), будут равны р, = — еЧг "Ч", .1,='— '(Ч ЧЧ-тЧЧ 1+ — 'А(Ч Ч), ~ гм,р (61.16) ви не р, и 3, не описывают полностью всех источников электромагнитного поля в случае электрона.
Нужно учесть еще магнитный момент электрона (61.1), создающий магнитное поле. Из (61.1) и общей формулы (60.12') получаем выражение для средней плотности магнитного момента (иамагничения !): 1(х, у, г, 1) = — — ', (Ч'+аЧ"). (61.17) или в(х, у, х, 1)=Ч'+Ч', 3=~ (Ч"ЧЧ'+ — Ч"ЧТ) — — 'АЧ'"Ч". (61,12) Эти формулы показывают, что вероятность местонахождения электрона и плотность токов аддитивно слагаются из двух частей, каждая из которых относится к элеКтронам с одной определенной ориентацией спина. Формула для нормировки вероятности имеет вид ~ (ф,"фт+ фаз) дх ду дг = 1 или ~ Ч""Ч' Фх ду пг = 1.
(61.13) Величины 5 Е»» РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 259 Согласно уравнению максвелла для магнитного поля имеем уравнения го1Ж= —" Яе»11»Г В=О, В=Ж+4П1. (61.18) Из этих уравнений и определится магнитное поле, создаваемое электроном, находящимся в состоянии Ч', если под 3, и ! подразумевать (61,16) и (61.17). Вводя в первое уравнение (61.18) вместо Ж индукцию В, получим Г01 В = — (Зе+С Г01 !).
(61.18') Таким образом, вместо намагничения ! можно рассматривать ток, эквивалентный этому намагничению, именно, ,1, = с го1 ! = — — го1 (Ч'+ОЧ"), т(!Т,1, = О. (61,19) еа 2»» Полный электрический ток, соответствующий и Орбитальному, и спиновому движению, есть 3; = ' — ~Ч'~ЧЧ' — Ч%Ч')+ '-- А (Ч»'Ч") — — го1 (Ч'аЧГ). (61.20) е 2р рс 2и Для вычисления компонент спинового тока 3, следует воспользоваться формулами (60.14), (60.14') и (60.14").
й 62. Расщепление спектральных линий в магнитном поле Рассмотрим атом с одним валентным электроном, находящийся во внешнем однородном магнитном поле. Электрон атома будет подвергаться одновременно действию магнитного поля и электрического поля ядра и внутренних электронов. Это электрическое поле будем считать центральным и потенциальную энергию электрона в нем обозначим через У (г). Внешнее магнитное поле направим по оси ОА и возьмем векторный потенциал А в виде А»= — 2 У Ае — — + 2 Х, А,=О. (62.1) Магнитное поле по формуле Ж=го1А получается правильное: Л =Л „=О, ерш,=Л. (62.9) Подставляя эта значение А в гамильтониан (61.4), получаем уравнение Паули дч' а» »ае» дЧ' дЧ" '» (й — = — — Ч'Ч'+ У (г) Ч' — — АУ8 (х — — у — ) + дг 2И 2Ис 1 ду дх ) + —,ср! А(х +у ) Ч" + — (о,с'с ) Ч".
(62.3) 2бв сОБстВенный мехАннческнй н мАгннтный мОменты ~гл. х Членом, содержащнм о2( я прн малых полях, мы можем пренебречь '). Далее, оператор д дт . д г'й~у — — х — ) = — рй — =М дл др) д<р (62.4) есть оператор компоненты орбитального момента. Обозначая еще через Йо чтя+(г ( ) 29 (62.5) гамнльтоннан электрона в отсутствие магнитного поля, мы получаем (й-,- = Й"Р+ — „(М,+йо,)Ч".
(62.6) Из этого уравнения следует, что, поскольку мы пренебрегаем.ру', постольку член, выражающий действие магнитного поля, может рассматриваться как потенциальная энергия ЬУ магнитного днполя е с моментом Щ= — — (М+йо) в магнитном поле Ж: 2рс с»У (ео зт«1) 2 (М + йо 2рс й(ы будем искать стацнонарные состояния. Для этого представим волновую функцию в виде ,ег Ч" (х, у, г, () =Ч" (х, у, г)е (62.8) где Š†энерг стационарного состояния. Подставляя ее в (62.6), найдем ЙоЧг+ (М +йо. ) Чт Ез7' (62.6') Возьмем представлеяне, в котором матрица о, днагональна («з,»- представление); тогда (62.9) н, стало быть, уравнение (62.6') распадается на для трт н тря порознь: ~т+ 2рс ( «+ О зйя + 2рс (М« — й) тйз = Етуз.
дра уравнения (62.10) (62.10') т) Как будет показано в й 129, пренебрегаемый член определяет слабые диаыагннтные явления. 4 еа( РАсщепление спектРАльных линии В магнитном пОле 2а( Решение этих уравнений получается тотчас же, если заметить, что в отсутствие магнитного ноля мы имеем два решения Ч'„'г =(догм), Е=Е„"г для спина в,=+ —, (62.11) а Ч'пг =~„„~, Е=Е„'а для спина з,= — —, (62.1Г) Мл!мт ' причем Фаь =Ещ(г) Угм(а, гр) (62.12) Так как М,тр„ьа — — йтчр„,„, то эти же решения суть решения уравнений (62.10) и (62.10'), но только принадлежат другим и 7 и 0 т.-г — — -т ! т 0 т=-г' в,-слуг ; й|г В явяв /Ж'0) 5а Леля (М0) Рнс. 46.
Расщепление а- и р.тернов в сильном магнвтном поле (с учетом спина). собственным значениям. Подставляя (62.11) и (62.1Г) в (62.10) и (62.10'), получаем два решения Ч лап, Е= Епам =Еи~+ и (т+ 1), 3„= + 2 р (62.13) Ч"аьп, Е=Еп!т=Ейа+ 2 (т 1)~ з«= 2, (62.13 ) 2рс т. е. волновые функции (поскольку пренебрегли членом с ойг ') не изменяются: атом не деформируется магнитным полем. Энергия же начинает зависеть от ориентации момента относительно поля, т. е. от магнитного числа т: совпадавшие в отсутствие магнитного поля уровни теперь расщепляются (снимается «т»- вырождение).
На рис. 46 дано расщепление з- и р-термов. Расщепление р-герма получается из (62.13) и (62.13'), если перебрать возможные значения т при 1= 1 (т. е. т= ~- 1, О). Расщепление з-терма ((=-О, и= О) получается линга благодаря спину электрона. Эго— сОБстВенныЙ мехлническии и мьгнггтныи мОменты ггл. х важный результат теории спина: как раз это расщепление наблюдали Штерн и Герлах в своих опытах, Влагодаря расщеплению уровней увеличивается число возможных переходов, а вместе с тем и число наблюдаемых спектральных линий. Это явление носит название простого эффекта Зев мана (в отличие от сложного, см. 2 74). Как будет показано в й 90, Б, при оптических переходах число гп может изменяться только на г-1 или О. Кроме того, спиновый магнитный момент очень слабо взаимодействует с полем световой волны.
Поэтому идут в расчет лишь те переходы, при которых спин не меняется. Этн переходы изображены иа рис. 46 линиями (а, Ь, с) и (а', Ь', с'). Частоты этих переходов вычисляются по формуле Ел'!ьл' Ел "г"~л" Ыл'г'ле, л"г"ле' = + —, (лг' — гпл). (62.14) Обозначая частоты в отсутствие поля через ыь, а при наличии поля через ы, мы получаем ы = ыь -1- — (т' — лг"). (62. 15) 2нс Так как и' — тл= г-1, О, то имеем три частоты: одну неиз- еЯ" мененную и две смещенные на .+- —.
2ггс ' Это расщепление на три линии (нормальный лгринлет Зееаана) как раз таково, как оно получается из классической теории эффекта Зеемана. В классической теории, как известно, явление Зеемана объясняется прецессией орбиты в магнитном поле с частотой, равной частоте Лармора Ог= — '.
Квантовая фор- еЯ" мула (62.15) не содержит постоянной Планка й, и поэтому результат должен совпадать с классическим (он не может измениться, если положить я=О). Это совпадение имеет место. Покажем, что и в квантовой механике явление Зеемана обусловлено прецессионным движением момента импульса вокруг направления магнитного поля. Вычислим для этого производные по времени от орбитального н спинового моментов. По общей формуле (31.10) нлгеем — ''=[й, мД вЂ” '=[й, и„[, (62.16) сгМ» [й М -д--=[й, Б 1, — дге=[й, Яе!, —,„, =[й, 5,1.
(62.1?) 2 62! РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 263 Подставляя сюда гамильтониан из (62.6) Й=Йо 1 " (М +до )=Йо+ОуМ,+20узх (62 18) и замечая, что Н' коммутирует с М и з, а М и з коммутируют между собою (так как М действует на функции от 0, ур, а а— Па ФУНКЦИИ От Зх, Зго Зх), МЫ НаХОДИМ уух„зо — = — (эя — зз у ун ул! ! хх ххах Дзг — =О.
лу ЛА„ЗΠ— = — (зз — зз) ЛУ У ау Пользуясь (25.5) и (59.1), получаем ууЛ . уууйд ууМх — = — ОуМю —" — — + ОЕМх, — = О, (62.19) Ю ху х~ уу э —,у- = — 20узуо — „" = + 20уз, —, = О. (62.20) Переходя от этих операторных формул к средним значениям и имея в виду, что Оу есть просто числа, мы находим ууЛх дуууе — = — ОуЛ„, — „~=ОуЛ, —,=О, (62.21) Лтх УУ22 уухх — = — 20уй — ~ = 20ул — = О. ууу 21 ху х~ ху (62.22) ууЛх Л = — — — „ о угу Отсюда Л =А з(п(021+а), Л„= — А соз(021+ух), Л,=сопз1.
(62.23') Подобным же образом из (62.22) получаем зх = В 21 и (2021+ р), е„= — В соз (20у у + р), е, = сопз1. (62 24) Из этих уравнений следует, что проекции орбитального и спинового моментов на направление магнитного поля являются, каждая порознь, интегралом движения. Компонента жс орбиталь- ного момента, перпендикулярная к магнитному полю, вращается с частотой Лармора Оы Такая же компонента спинового момента вращается с удвоенной частотой 202 (в силу аномального отно- щения магнитного момента к механическому, см.
(61.1)). Действи- тельно, из (62.21) имеем Л Лх ЛЛР— = — Оу — „= — ОАЛ, уУУ2 (62.23) ЕВ4 совственный мехАнический и мАГнитный мОменты [Гл х 9 63. Движение спина в переменном магнитном поле В переменном магнитном поле собственный механический момент частицы не будет интегралом движения, и поэтому возможны переходы из одного квантового состояния в другое. Мы рассмотрим в этом параграфе тот случай движения спина частицы в переменном поле, теория которого находит важное применение для измерения магнитных моментов атомных ядер по методу Раби (1933 — 1938). Схема опыта Раби изображена на рис. 47.
Магниты А и С создают неоднородное постоянное поле, так же как и в опыте Штерна и Герлаха, однако направления градиентов полей в магнитах А и С противоположны. Проходя через Рис. 47. Схема опыта Раби по измерению магнитных моментов атомных ядер. 5 — источник пучка частиц Ецелвь д — первое пространство с неоднородным постоянным магнитным полем, С вЂ” второе,  — пространство с пере- менным полем, Р— приемник частиц.
неоднородное поле в А, частица отклоняется таким образом, что не может попасть в приемник Р. Это отклонение выправляется полем в С, которое отклоняет частицу в противоположном направлении. В результате частица достигает приемника Р так, как если бы она двигалась по прямой линии (как в отсутствие полей). Далее в небольшом пространстве В, расположенном между А и С, приложено дополнительное переменное поле Л ,„ способное опрокинуть магнитный момент частицы. Если магнитный момент частицы при прохождении этого поля опрокинется, то отклонение поля в С уже не будет компенсировать отклонвния, вызванного полем в А, и «опрокинутые» частицы не будут попадать в приемник Р.
Частоту переменного добавочного поля от и его напряженность УУ т подбирают так, чтобы вероятность. опрокидывания момента была максимальной, и, следовательно, поток частиц в приемник Р— минимальный. Как будет показано ниже, зная ы и ой „ соответствующие максимуму вероятности опрокидывания, можно определить магнитный момент частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
