Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 51
Текст из файла (страница 51)
(64.!6) где под Ч' следует понимать столбец =Л:! (64.!6) Обратиисн теперь к доказательству формул (64.10) н (64,11), Уравнение длп собственник функций .Р имеет снд 2)0 СОПСТВС!!НЫИ МГХА««««ЧГСК!«Г! «! ЫЛП«ИТ!«ЫП ЫОМГ««ТЫ ЕГЛ. Х Пользуясь (64.4), (59.13) н (59.!2), находим уравпсппс (64.15) в раскрытой форме М ~ '~+ 4 Е!'-~ 0 1 )~ф')+2(М.«-2 ~10)™««2 ~ Е О)+ -' й'-'Вй!='-'!ф:! Производя здесь умножение и сложение матриц, получаем мм~ 4- 3» ф,~-ям«ф,-рд(мл — ма)ф, Ми)«э+ — йэ«Ы — Нй,Ф..+Л(Мл+ М,) „', 0 Уеф, 0 = Утфв 0 (64.18) и, наконец, сравнивая элементы, получаем два уравнения Маф + 4 Мф +Лмгф +й(М Ма)ф зфз (6439) Мзф,+ 4 йафэ — йМ«фз+Д(М„+(Ма)ф«е У~фа. (64 Л9') Эти уравнения легко решаются, если поло«кать (64.20) р,=оУ! (О, р), рэ=ЬУь „(О, р), где У (О,«р) сферическая функция, а а и Ь вЂ” неопределенные коэффициенты.
Тогда имеем Мзф,= йзЕ(Е+1) фо М,ф,=йтф (64.2!) М~«««Ъ= йэЕ (1+1) фз, М«фа= й (т+ 1) фа (64.21') н, далее, (Мл — «Мг) )'гщ — — — и )««(Е+«л) (Š— ш+!) У«, „, г, (64.22) (Мх+ ЕМз«) 1 г„= — й )~(Š— и) (Е -'Г «в -«-1) 1 г, „, „,. (64.22') ««.«~«т — ~ ~.— ги«««'!««: ««=«, 3 4 (64.23) 3 е(еб П ) л! 1~ «)«'(1.Г««н-).1) (е — л«) а=15, (64 23') 4 где (64.24) Чтобы зти уравнения имели отличные от нуля решения, необходимо, что. !) См.
дополнение У, формулы (33), (34). Эти последние два равенства получаются из свойсгв сферических функций '). Подставляя ф, и ф, из (64.20) а уравнения (64.19) и пользуясь (64.21) и (64.22), после сокращения первого уравнения па Г«эУ«„„а второго на йеУ«, и+, получим свойства пОлнОГО ь>оментл нь>Пульса 271 бы их определитель равнллсл нул>а. Это даст нам уравнение для определе- нна а> 1(!+1)+ — + т — )> — )/(1+т+1) (1 — т) 3 3 — ф (1+ >и+ 1) (1 - и) 1 (1 -1-1) + — — т — ! — 7> 4 = О. (64.25) Отсюда находим два корня (64.26) Сравнивая зто с (64.24), получасы искомые сабстаенныс знвченпя,1'! (64.27) (64,27'1 (64.28) ° / 1 — >и ~/ 2(л 1 ~т +! и для собственного значения (64.27') (64.28') ° / 1+и+! 21 ) 1 ~! же!' Решения, как мы видим, вырождсиы.
В саман деле, при заданном 1 можно брать разные числа т=О, ш 1, -е 2, ..., ->- 1, а собственное значение lа от и не зависит. Причина этого аыро>кдснил заключается в том, что прн заданной абсолютной величине вращательного момента уз возможны его различные ориентации в пространстве. Чтобы п этом убедитьсл, покажем, по решения (64.28) п (64.28') являются также собствениьви функциямв оператора /,— проекции полного момента а иа 02. Действительно, уравнение для собственных функций оператора /а есть ~зф=у,ф. (64.29) цли, в раскрытом виде Первое значение отвечает сап>кению орбитального и сливового момснтоп, а второе — вычитанию их.
Подставляя значение й в уравнснил (64.23) н решал их, находим а и а, а вместе с тем и сабствснныс функции !64.20). При этом мы еще нормируем их так, что аэч->>з=1. Несложные выкладки приводят к следующим функциям: для собственного аначения (64.27) М!.!Ь1ИИЛ' 1И И! с! !Ч К! ! РХ С!И:Е! РОИ д?з )тля каждого терца Е„! мы !!месм 2(+ ! Ссстояии!1, отличающихся ориеитациеп орб! тальиого молеята; каждое из которых в гвоо очередь распадаезся иа дза сосгояиья, отля'!ающихся спиио.!. Всего 2 (21+ !) состояипй. Таким образом, налицо 2 (21+ 1)-кратиое в! !рождеяие, Вели учесть теперь слабое взаимодействие спика с магнитным полг! орбигпльиых токов, то энергия сослояиия будет заш;сеть сщг от орис;!таци!! спица а относительно орбитальпого момента М.
511:! ие будем здесь излагать ряс !ез этого взаимодействия, так кяк поправка иа взаилюдействие спина и орбитальиого движея!и сказывается таксГО же исря'!ка, как и иоиравка, ирОисхсдящая от зависимости массы электрона от скорости. Поэтому правильиый расчет расщепления уровией требует в этом случае релятивистского уравнения для лзижсиия электрона, рассмотрение которого выходит за рюигч алого курса.
Ограиичиыся качественным анализом этого расщсплеиия и оценкой его величины. Мапштиый момент электроиа он находится в поле орбитального тока Ж!. Вго эиерг!и в этом иоле равна ЛВ =- — (Лвж!). Величину мапшгиого поля ?в! мы можеь! оисиить квк,югпитисе иоле липоля, зквивалситиого ор5итальиым токам, т. с. дпполя с момситом 'Т!Я!. Зто поле равно (31 !Гг) г И! ы~ (65,6) где г есть радиус-вектор, соединяющий диполи ~Я! и ':1)в.
Поскольку иас иитересусг только порядок вел!шипы ЛЕ, то мы !!!! можем считать ?в!"='-.,', гле а сеть длиив порядка виутриа!омы иых расстояний (!О-'см). То!да ЛЕ - — ',,— ' соз (ив, Ж!). (65. 7) Величины ыо1!гатов Э)!и 9!!и ио порядку равны мвгиегоиу Бирс (9,27 !О -" эрг. с, а сок(%7, гГГ), в с1!.!у свойств сивка, з!Оя!сз ирииимать золько;и!а з!!ачсиия ! ! (смотря пс орпситации сш;па; и0лю А, или ирстив се!О), Подставляя в !65.?) ~и!С.тсииыс зиачсиия, исг!)чае!! ЛВ -':! 8 ° 1О !" Орг.. Га асличииа мала в сравиении с разиосгыо энергий мс;клу уров;и!зш, От.и!чающимися числахи! и, /, и исэГсму Розиикакщ!ю исвыс с!ь КГ!Илы!ыс ливии близки друг к другу. В час!!юсти, для упозиии!вГисгося в ~ 57 дуб.!ща 'х!а (ливии 5896 Л и 589и А) Л(! .:",8 1О "эрг.
Таким образом, разлистегл в сриентик!тх т!пнигсы! Ртгнтиного ясл!ен!иа ис стнотенюо к гну!трение!(!),иигнир!нож!у лол!с 274 соьствспныи мехлническггл и млгггггтггыг( мог!снты (гл, х О Рггс. 48. Сло>ксгггге спниового и орбитального моментов н нх препсссия вокруг напраааения полного момента Л. 3 а = рга!' (! + 1), (65.9) а проекция 3 иа произвольное паправлеипе ОЯ имеет значения У,=-йтг; (65.10) при этом (65. 11) если спииовой момент параллелен орбитальному, и (65.
12) если оии аитппараллельиы. Подобным жс образом квантовое число ту, определюощее проекцшо Уг, есть ( пг! =- пг + т„с г, = (65.13) атома лгожно объяснить происхождение лгульпггггьгегггности спектральных линий. Из изложенного явствует, что для атомов с одним оптическим электроном возможны только дублеты (двойиьге линии) соответственно двум ориентациям спина электрона.
Этот вывод теории вполне подтверждается спектральными данными. Обратимся теперь к нумерации уровпей атома с учетом мультпплетпой структуры. При учете спин-орбитального взаимодействия ии орбитальный момент М, пи спииовый з ие имеют г определенного значения в состоянии с определенной энергией (оии пе кол(мутируют с оператором Гамильтона). По классической мехапикс мы имели бы прецессию векторов М и з вокруг вектора полного момента ): 3 ==М+з, (65.8) как это показано па рпс. 48. Полный кголгеггт 3 остается при этом постояиггызг.
Соответствующее положение имеет место и в квантовой механике. При учете спипового взаимодействия только полный момент 3 имеет определенное значение в состоянии с заданной энергией (ои коммутирует с оператором Гамильтона Н). Поэтому при учете взаимодействия спина с орбитой состояипя следует классифицировать по значениям полного момента 1.
Как было показано в предыдущем параграфе, полный лгомеггт квантустся по тем же правилам, что и орбитальный момент. Именно, если ввести квантовое число 1, определяющее полный момент ), то МУЛЬТ11ПЛГТНАИ СТРУКТУРЛ СПСКТРОО 275 Так как 1, лг — целые, а 1, и пг,— полуцелые, то З 0, 1 З 1=- 2-, 2, 2,, тл.=- — '- -2-, ~ -2, ..., — 1. (65.14) В зависимости от ориентации спина энергия терма будет разлпч- 1 . 1 1 ной, именно, она будет разной для 1'=(+ — и 1'=-~1 — — ~. Поэпгому уровни энергии в эпин) случае следуепг характеризовать значениялги л э)/г г Ь; п=,у, 1нУ./пР рз/я г'ру/г Яру го=а Ю /.д/3 УЛтг,' П=Л 1-7,(=7/У о ! ч ее*э е.* 1 ии ии 1 гл/ Рис. 49.
гйультипдетиаи структура 2р.герма атол1а натрии. Линни 8889.983 А и 8898,939 Л образуют изаестныа дублет нагрни — >лелтые линии Р, и Ро тз.терм дадено отоданпут ат гр.терман, нан эта и должно быть и еодароданодобныа атома» 1«1» — зарождение снипа). главного числа л, значением орбитального числа 1и числом), опре- деляюи(им полный момент, т. е. в этом случае Е=Епу. (65.15) Волновые функции будут зависеть от спиновой переменной 8, и различны для разных 1: Зрпгупг, =Фиглю;(г' 0, тр, З,).
(65. 16) (В ЭТОМ СЛуЧаЕ ПЕрЕМЕИПЫЕ Г, 0, тр И аи НЕ раэдЕЛяЮтСя.) Каац- товые уровни при заданном1, различающиеся величиной), близки друг другу, так как они различаются как раз на энергию взаимо- действия спина с орбитальным движением для двух разных ориен- таций спина. Четверка чисел л, 1, 1, ту может принимать сле- дующие значения: п=!,2,3, 0~1 =.п — 1, (65, 17) (65.17') (65. 17") (65. 17»') 1=1+1, или — 1 ту --= 1.
рта со! Г! и~ ! !! ии ! м! " .х!и!ч! с! и!! и л!х! !и!Ги!и! !к)менты !гл Вели !ииу орбиталыюго момента ! обозиачают в спектроскопии буквами (как мы это )иге иоясиили) з((-=0), р()=-1), г!()==2), )(1=3), ... Глзвиое кваито..ое число л ставят впереди буквы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
