Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 55
Текст из файла (страница 55)
(69.!9) то средним значением энергии возмущения йт в состоянии (69.!8) будет )р =~ 9111+из)"-'") (р Гф,"+ чф') л Согласно (69.6) получим (р = йг»чз+ 2(ргт',1)+ йтыт11. (69.20) (69 2!) (69,22) я=соя 0.я' — з!п 0 1!', Ч=з!и 0 " +соз0 Ч' Это уравнение можно рассматривать как уравнение кривой второго порядка аа плоскости (с, 1;). Таким образом, среднее значспнс йг сеть квадратичная форма от амплитуд (с, Ч), представляющих состояние гр. Введем теперь вместо системы координат $, т! новые координаты $', 1!', отличающиеся от первых поворотом иа угол 0: ЗЛМЕ'1АНИЯ О СНЯТ1Ш ВЫРОЖДЕНИЯ 293 э 70! Подставляя в (69,!6), получим тр = ь чу'1'+ Ч'тр" гр",=соха тК+з)па.т),",, (69.23) (р ( гр(к!рт,рч 1„ !Р; т = ~ трэн йт гр", дх =- еы (69.24) Поэтому среднее зпачеиие (Р в состоянии гр представится теперь в ином ниде; )1Р=~ гр*(Р~Рдх-еть' +еац' (69.26) является кривой в1орого т.
с. в новых перемспиых ", и' средняя энергия порядка, отиессииой к главным осик (рис. 62]. Таины образом, задача о нрнзедгнии матрицы совпадает с геометрической зада~ей о лринедгнии к вой второю порядка [отиссеиие к главным осям). В более обцгсм случае й и т! комцлекспы, поэтому полного совпадения задач иет, по аиалогия сохраиястся, если Е и т! и в этом случае рассматривать как координаты точки. Ф к диаюнальному виоу каноническому аиду кри- ф 70.
Замечания о снятии вырождения Л1ы показали, что при включении воз- ~/ мущення вырождение, свойственное невозмущенной системе, снилтается: сливагощнеся- уровни расщепляются. Чем обусловлено это расщепление? Для ответа на этот вопрос обратимся прежде всего к причинам вырождения. Мы видели, что, например, уровни электрона в поле центральных спл вырождены 2(+! раз (еслн не считать сппнового вырождения).
Это вырождение обусловлено тем, что энергия электрона в поле центральных сил не зависит от ориентации момента импульса относительно поля. Математически это выражается тем, что гамильтониан в этом случае обладает симметрией вращения, именно, гамильтониан а -- "-'т <.ни> 1, иие~+Р1 !те.ц 2(х Рис. 62. Геометрическая иллюстрация приведения к диагоиалыюму виду матрицы второго ранга. остается неизменным при повороте системы координат, когда координаты л, у, г переходят в х', у', г'.
В самом деле, прн Относительно функций ч", и гр", матрица (й' должка быть диагоиальиой. 2(ей. стввтельио, 1гл, к1 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИ11 повороте х1 -+ п1 -(- гх = х'1-1- у'-1- г" (70.2) последнее равенство вытекает проще всего из того, что У1= (7)1 так как у есть векторный оператор, а квадрат вектора не меняется прп повороте. Таким образом, Й' (х, у, г) = Н' (х', у', г').
(?0.3) Если наложенное возл1ущение не обладает сферической симметрией, то энергия электрона будет зависеть от ориентации момента и произойдет расщепление уровней. Вместе с тем для оператора 7! расспство (70.3) уже не будет нл1еть 11еста. Этот пример показывает, что наличие вырождения связано с той цли иной симметрией поля, а снятие вырождения — с нарушением этой сим11етрни. Приведем еще пример. Пусть мы имеем осциллятор в плоскости х, у, обладающей одинаковыми частотами ы, для колебаний по ОХ и по 01". Уравнение Шредингера для такого осцнллятора имеет внд — — ~ — +,) + —" (х1+у') Ч'= ЕЧг.
(70.4) Ги (УЧ д~Ч~ ив-"„ 2И ~ дх~ ду-') 2 Гамильтониан в этом уравнении остается неизменным при пово- роте системы координат вокруг оси Ол. Таким образом, он обладает симметрией вращения. Согласно сказанному следует ожидать вырождения. Оно действительно имеется. В самом деле, уравнение (70.4) решается сразу разделением переменных: Ч' (х, У) = 1Р1(х) 1Э1(У), 1 (70.5) 1+ 2. Подставляя (70.5) в (70,4), обычцыл1 путем получаем два уравнения (?0.6) — — —,'+ ~ ' д1ф1= Е1Я,„, 2и ду- '2 (70.6') Эти уравнения для осцилляторов имеют известные функции и известные собственные значения, именно, ф,(х)=фп,(х), Ег=лиР(п1+ 2~, п1=0, 1, 2, ..., (70.7) 1~ ф1(у)=.1)м (У)~ Ез=йыо~,лз+ 2-), л1=0, 1, 2, .
(707') ЗАМЕЧАНИЯ О СНЯТИИ ВЫРОЖДЕНИЯ 0 70! Отсюда Ч'оеч (х, у) = »р„, (х) ор„(у), Е„„, = йво (и, + и, + 1). (70.8) Введем «главное квантовое» число п = и, + по+ 1, по = п — и, — 1. (?0.9) 1р' здесь — возмущение. В рассматриваемом примере решение воз- мущенной системы монсет быть получено точно. Дело, очевидно, сводится к замене в (70.7') во на в,. В результате решение полу- чит вид Ч',,, (х, у) = »р„, (х) ор„ (у), а во аоо» Е Ив=По!оп»+Лв»п»+ 2 + (70.8') или Ч', „, (х, у) = »до, (х)»Р„„,, (у), Псо„пв, (70.10') Ео, о, — лво!!, +йв,(п — и,— 1)+ — 2-"+ — 2 — '.
) Как видим, уровни с различным значением числа и, и одним и тем же и будут иметь разную энергию. Один уровень Е„нсвозмущенной системы расщепился на уровни Е„, Е„,, Е„,, (числом и). Вырождение снялось. Резюмируем вывод из этих примеров. Если гамильтониан Йо(х, у, г) остается ннварнантным (неизменным) по отношению к некоторому преобразованию координат (х, у, г-~-х', у', г'), то собственные значения Е' вырождепы. Если возмущение нарушает указанную инвариантность, то, хотя бы частью, вырождение снимается.
Тогда Ч"„„, (х, у) = 0Р,, (х) 0Р„„, ! (у), Ео = йвоп, и == 1, 2, ... (?0.10) Каждому уровню Е„будет отвечать п функций (п, = О, и, = 1,..., и, = и — 1). Следовательно, вырождение действительно имеется. Допустим теперь, что возмущение йг заключается в изменении ко~ициента упругости для колебаний вдоль оси 0)'. Тогда частота колебаний по осн ОУ" изменится. Пусть она будет равна в,. Гамнльтониан возмущенной системы тогда получит вид ,,х, !' (д' + д'1+ Яв)х' + ИИЬ» 2!? ~дхо гдяо/ 2 2 2 ( Глава Х11 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕН ИЙ й 71.
Ангармонический осциллятор Гармонический осциллятор является идеализацией реальных механических систем. Действительная потенциальная энергия частиц никогда не представляется функцией — зх"; а изображаиы1 2 ется гораздо более сложной функцией и(х).
Первое выражение справедливо лишь для малых х. Чтобы уточнить выражение потенциальной энергии и(х), мы можем кроме члена ~ "х' учесть еще и более высокие члены разложения и (х) по степеням отклонения х: и(х)= — )"1 "+Лх +.. (71.1) 117 (х) =- Лхз+... (71.2) т) Мы можем считать, что спектр возмущенной системы останется все же дискретным, так как лхз есть поправочный член и он вообще негоден для большик х. Таким образом, из вида поправки (71.2) не следует делать заключения, что асимптотическое поведение 17(х) радикально изменилось, как зто предполагалось в Е 67, где добавочный член Лхз формально рассматривался как пригодный н для больших х. Коль скоро добавочные члены остаются малыми, мы имеем дело с гармоническим осциллятором, несколько возмущенным наличием отступлений от кривой, свойственной идеальному гармоническому осциллятору. Такой осциллятор мы будем называть а н г а р м оническим.
Найдем квантовые уровни ангармонического осциллятора, считая добавочные члены (71.1) малыми (Л мало). Решим эту задачу методом теории возмушений1, опираясь на уже известные решения для гармонического осциллятора. В качестве возмущения У' у нас фигурируют добавочные члены в выражении для потенциальной энергии ') АЦГАРА!Онпчгскпп осцпллятоР 297 2 гн Квантовые уровни невозмущенной системы (6=0) суть уровни гармонического осциллятора; его собственные значения и функции обозначим через Ей =- йесл ~ п+- ), г)гп (х).
(71.3) В данном случае вырождения нет: каждому уровню принадлежит лишь одно состояние !р"„. Матричным элементом энергии возмущения Ю' будет 11 тп = ~ Фл 1~'грп с(» = 7 (снап хл~п с(х = )и (»2),пл, (71.4) где через (х')тп обозначены матричные элементы для х'. Согласно формуле (6?.10) энергия й-го уровня возмущенной системы во втором приближении равна Е Ел+) (»2) +)2 ~~ ( )пс ( )сп (71.5) Таннг! ОбраЗОМ, ПаМ дОСтатОЧНО ВЫЧИСЛИТЬ Матрццу (Х')тп.
Зту матрицу мы могли бы непосредственно вычислить из формулы (71,4) с помощью функций гР"„(см. (4?.11)). Однако мы поступим более просто. Матрица хпл, пам известна (см. (48.8)). По правилу умножения л!атриц мы можем вычислить из матрицы х „матрицу (х')псп. Именно, (»')слс = ~ »21 (х')сп = Х »21 У,' хс „хл и =.~" ~~п хмхстхп,п. (71,6) с с ~в т Подставляя сюда значение матричных элементов ххо х,, х л из (48.8), получаем (» 4 — ( / ~ (ф '2 ба-г,с+ 2)с 2 62 г,с)Х т Х~~сс .2 61 — г,пс+ ~ 2 бслг тг(ф -2-6т, и+ '~сС 2 бтсг,л) ° (71 7) Ввиду наличия 6 двойной ряд по 1 н т просто суммируется, и мы получаем (Х")Ь,= ( — ) (~С а 62-2,п+ ~l а.аОА-!,п+ ~/ 9 ((с+ П26 1 1сс !сс+1) ссс+21 !сс+3) 6 ~ (?1 8) Ого!ода следует, что (хл)!с =гг, и поэтому поправка к Е» в первом приближении рав!ш пулю.
Поправка второго приближения, содержащая сумму по сг, также просто вычисляется, так как из суммы остается, согласно (71.8), только четыре члена: и= л-с-8, и = й.+.1. простейшие приложения теории Возмущении 1гл. хи Кроме того, (х')а„=(х')„а. Поэтому, подставляя (71.8) в (71.5) и принимая во внимание (71.3), находим +Е) Гы ~ ) 4( + Зд)' й=0, 1, 2,...
Это и есть искомое приближенное выражение для энергии квантовых уровней осцнллятора с учетом поправочного апгармонического члена лхз. Легко найти условие применимости нашего приближения. /1!атричный элемент энергии возмущения ). (хз)а„для больших квантовых чисел й по порядку величины, согласно (?1.8), равен ~рюв / Разности уровней Еа — Е„"гзоте. Таким образом, условие применимости теории возмущений (67.!3) сводится к ( я )'/* /г/"- и (71.10) Наше приближение применимо, следовательно, для не слишком высоких уровней, именно, /т((( — ") *+~я . (71,10') Это условие в переводе на язык классической механики означает, что амплитуда колебания должна быть не слишком большой.
Формула (71.9) находит свое применение для вычисления колебательных уровней молекулы, В э 54, рассматривая двух- атомную молекулу, мы ограничились вторым членом разложения потенциальной энерпш (/(х) по степеням отклонения (к) от положения равновесия и соответственно этому получили для молекулы гармонические колебания. Если бы мы учли и следующий член разложения, что, вообще говоря, приходится делать, то колебательные уровни молекулы определились бы формулой (71.9), а не (71.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
