Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Поэтому в этом представлении пз (74.12') получаем з~о пяостепшие ПРилажвния теОРии возмущении !Гл. Хи (индексы получаются циклической перестановкой), Пользуясь правилами перестановки компонент момента 8 64), легко дока'- зать, что 2„7, + ?„уа + ?!у. = О, (74.17) ,?!у„.— у!,?.=!й!ух, 2" у„— у„У.= — !й!у„Х,у,— у.?.=0 (74.18) (из последних равенств вытекают еще и другие путем циклической перестановки х, д, г). Если теперь взять три проекции орбитального момента М„, М„, М и три координаты х, у, г, то нетрудна видеть, чта для них имеют место совершенно аналогичные алгебраические равенства, именна, М „х+ М,,р+ М,г = О, М„.х — хМ, = !г!!г, М.!? — 1!М, = — !й!х, М„г — гМ.- = О.
(74.17') (?4.18') Сравнение (74.17') н (74.18') с (74.!7) и (74.18) показывает, что структура матриц /„,?!!,,?. в отношении у„, у„, у, такова же, как и структура матриц М„, М,, М, в отношении матриц х, у, г. В 4 90, Б показано, что единственные отличные от нуля матричные элементы х, р, г имеют вид х! !, !, у!,! д-!, г! !, ! (где 1 — орбитальное числа). Диагональные элементы х„, у!!, гн равны нулю. Но 1 есть как раз номер собственного значения М!. Таким образом, диагональные матричные элементы х, !?, г равны нулю в представлении, в котором М~ диагонален, Поэтому должны равняться нулю и диагональные элементы у„у„, у, в представленни, в котором Р диаганзлен, т.
е. матричные элементы (у..)?т., ?а'. = 0 (ух)!и!., !ии = 0 (у;)!ы., !и!. = 0 (74 19) ! ! ! ! ! Так кзк, кроме тога, !'„, Уа, 1, каммутируют с Р, то нх матричные элементы, не равные нулю, имеют вид ( ?х)! и ., /м ( ?ц)/ы ., /м . (?2)!и! ., /ы .' (74.20) 'г !' г !' 'г Из (74.19) и (74.20) следует, что матричные элементы 4 вида !,!! „,. равны нулю (в чем легко убеждаемся, образуя ф из у и ? по правилу умножения матриц). Таким образом, в интересуюшую нас матрицу возмущения, элементы которой относятся к одному и тому же значению полного момента,/, оператор Я не дает никакого добавления.
Иными словами, все элементы матрицы К, образуются за ! ! счет части Ф, не содержащей О, т. е. за счет оператора (74,21) З 74! РАСШЕПЛСНПЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛНННН В МАГННТНОМ ПОЛЕ 311 Так как l„й4е, ве, .7е коммутируют друг с другом, то их матрицы могут быть одновременно приведены к диагональному виду. Вместе с тем приводится к диагональному внду н матрица гь г~;, г м»еу/3 т =-Я Рис. 55. Расщепление уровней "-5»г 'Р» и 'Р, в слабом магнитном поле оператора Ф' (с элементами )Р';„) '!. Чтобы получить ее диаго) !! нальные элементы, достаточно подставить вместо /„Ме, в' и )е собственные значения этих операторов. Имея в виду, что У,=йто Р=-йе)(!+1), Л4'=йЧ(1+1), ) (74.22) мы получаем 1Г=йа,т (1+! '+' ' '.+.'+ ' '+ ).
(74.2З) т. ~~ 2! (!+ !) Эта формула и дает раацгплгние в слабом магнитном поле квантового уровня, характеризуемого числами !', 1; поскольку 1 речь идет об одном электроне, 1,= —. Обозначая теперь поправку В" к энергии уровня Е„» через ЬЕ!! ., мы можем написать l (74.23) в виде /л Елл ! — — йОгт)Ы, (74.24) ппостепшие приложения теопни Возмушени>1 (гл. х!г 3(2 где л означает «множитель Лаиде» п равен 1 ! б+ )) (((+ ()) (а ((г+ () + 2/ (1+ 1) (74.25) Тик как ту пРобегает все значениЯ от — 1 до +1, то, как видно пз (74,24), каждый уровень Е„л расщепляется в слабом магнитном поле иа 21+1 уровней. На рис. 55 приведена схема расщепления уровней: Еиз 1=---, 1=-0), Рие,) =--,, (=-1 и аРп>л ) =,, (=1~.
При большем поле: К сложное расщепление упрощается и получается рассмотренное выше (рпс. 46). Это явление упрощения расщепления спектральных линий в магнитном поле при переходе от слабых полей к сильным наблюдается иа опыте, $75. Наглядное толкование расщепления уровней в слабом магнитном поле (векторная модель) Полученная начп формула (?4.23) для расщепления квантовых уровней в слабых >аагпитпых полях может быть наглядно истолкована в терл>янах векторной модели. В магнитном поле квадрат полного вращательного момента гв и его проекция па Л магнитное поле ее являются интсгра- )М лами движения. Вектор же полного мрмепта ( ие является интегралом движсни я. Именно, вектор ) прецессирует Сд вокруг направлении магнитного поля так, как это показано на рпс.
55. Если связь между орбитальным дви- 1 женпсм и спипом велика, то относи- У тельная ориентация вектора спина з и вектора орбитального момента М, сохраняется, но оба они прецессируют вокруг полного момента ). Добавочная энергия %' в магнитном поле равна энергпи магнитных диполей с моментами е е — — М, и — — з и поле Ю: 2ре ре 0 Рис. Еп.
Процессии подлого (р= (Я,Ж) 1 е (з7К) = 1-0с(/.+а ) момента я вокруг иапрлвлс- 2пс ' ре нил магии>лого полл. (75.!) Нам нужно найти сред се значение величины ()т. У, имеет постоянное значение, Напротив, еа есть переменная величина, ТЕОРИЯ ВОЗМУШЕННИ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРЛ з1з $7и поэтому для вычисления среднего значения (Р' нужно вычислить среднее значенпе з„имея в виду, что вектор 5 участвует в двух прсцесснонных движениях: вокруг вектора 3 и вместе с 3 вокруг направления мапштного поля (07). Так как 5~=5соз(М, 5), (75.2) т. е.
57 — 5 С05 (5, .1) С0$ (), ~~). (75 4) Но СОВ(), Р'ь) = — ', 7' (75.5) н пз треугольника со сторонами 3, М, 5 получаем ~У ~па(~, 3) =(~.1) = -(Р— М'+У). Из этих формул получаем 5, =.,-',—., (75 — М*+ 55). (75.6) (75 7) Подставляя 5, в выражение (75.1) для энергии (у', находим )У7 = 07 (У.+ 5,) = Оеl. ~1+ ~~,„~'). (75.8) Если в этой формуле понимать под 7,, Р, М', 5' их квантовые значения (74.22), то из (75.8) мы получим квантовую ()юрмулу (74.23). й 76.
Теория возмущений для непрерывного спектра Мы обратимся теперь к тому случаю, когда невозмущенная система имеет непрерывный энергетический спектр. Обозначим гамильтониан этой систеь7ы через НР, собственные функции, принадлежащие уровню энергии Е, через 7ре. Уравнение Шредингера в этих обозначениях имеет вид Й'7р57 = Ефв.
(76.1) Допустим, что на эту систему действует возмущение Ф'. Уравненне Шредингера для возмущенной системы тогда имеет вид (й +)Р)ф=Еф. (76.2) то пам нужно вычислить среднее значение соз(Ж, 5). Из рис. 56 видно, что соз (Ж, 5) = соз (5, 3) с05 (), 7ь), (75.3) ПРОСТЕГСШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ сГЛ. Х!! Если возмущение таково, что оно не нарушает непрерывного характера спектра оператора Й', т. е. оператор Й имеет также непрерывный спектр, то все действие возмущения сводится к изменению вида собственных функций, принадлежащих уровню Е. Вместе с тем задача теория возмущения сводится в этом случае к нахождению функций >ре, которые прн малом возмущении )у' могут мало отличаться от функции <(>е.
Возможен, однако, и другой случай, когда возмущение (у' приводит к образованию разрывов в непрерывном спектре. Тогда в задачу теории возмущения входит не толы<о опредсленне измененных волновых функций, но и определение положения и величины разрывов в первоначально непрерывном энергетическом спектре Е. Оба эти случая мы рассмотрим на простом примере частицы, свободно движущейся вдоль оси ОХ. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид ач.-Ф Е>Ре (76.3) 2>< их= и имеет собственные функции и собственные значения с е Ре Е(р)=2 (с 2йа 2><' (76.4) Возмущенное уравнение напишется в виде — -- -„—, + )Р' (х) >Р .= Ес)>! (76.5) так что %' (х) есть добавочная потенциальная энергия.
Значок штрих у Е присоединен на тот случай, если спектр возмущенной системы изменится. Без всяких ограничений мы можем положить Е'=Е+е, (?6.6) !(> = <ре (х) + и (х). (76.7) Однако, считая возможным применить теорию возмущений к решению уравнения (76.5), мы будем считать, что ( е ~ м" Е, ~и(х) ~((~>)>р(х) !, и будем пренебрегать произведениями е(р', еи, и)у' как величинами второго порядка малости. Тогда подстановка (76.6) и (76,7) в (76.5), учитывая (?6.3), дает «е <С!и — — „—, — Еи = !'е — %' (хД >(>'. (х). (?6.8) 2г! <<хе Представим и (х) в виде суперпозиции невозмущенных состояний +со и (х) = ~ и (р) >)>Р (х) с(р, (76.9) ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИН ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА з)б $ 76) Подставим тепеРь (76.9) в (76.8), Умножим (76.8) на фре (х) и проинтегрируем по х.
Имея в виду, что ) )Рр*)Рр с(х = 6 (р' — р), мы получим ~ — и (р') — Еи (р') = е6 (р' — р) — ))(гр р (76.10) 2)к (уравнение (76.8) в «р»-представлении). Здесь ! (р — р')к Фр р — — ~ 7(7'ре (х) (77 (х) )рр (х) г(х = — „, ~ ТУ" (х) е " г(х (76,11) есть матричный элемент в «р»-представлении. Из (76.10) находим еб (р — р') — аг„, и(р') = (76.12) В точке р'=р знаменатель (76.12) обращается в нуль. Если мы возьмем е ~ О, то мы получим и (р') ск 6 (р' — р), и наше решение ни в коем случае не будет приближением к фр. Поэтому следует положить е=О, т. е.
) р'р 2))йгр'р "( )- — е(р) е(р)--(р+р)(, р) (ЖИ) Подставляя это значение и(р') в (76.9) и (?6.7), мы находим )рр (х) = 'К (х) — ~ е" ', р е Г йг р,р7р'„, (к) Лр' (76. 14) Интеграл здесь перечеркнут, что означает, что при ннтегрировашш мы должны исключить точку р'=р, так как в этой точке формула (76,13) теряет смысл.
К тому же, функция )17' (х) (р' =р) уже выделена из интеграла особо'). Необходнмыл! условием состоятельности нашего метода решения является малость добавка в (76.14), т. е. ))р (х) — )рр(х)! ~Т!7))1(х)(. (76.15) Из (76.13) видно, что и (р') вблизи резонансной точки р = р' будет тем меньше, чем больше р, т. е. чем больше энергия частицы Е. Следовательно, наше приближение пригодно при больших энергиях частицы. !) Точный смысл знака 1 может быть определен следующим образом Определенный таким способом предел носит название гл а в ного зи ач е. ння интеграла. з)б пРОстепшие пРиложения теОРН!! Возмушенип [гл. х[! В пропзведсипом расчете мы считали, что матричный элемент йг р является конечной величиной.
Это будет иметь место в слу- чае, если %'(х) достаточно (У' быстро исчезает при' ,х(-ы со, т. е. для этого возмущение а должно быть сосредоточено в конечной области пространства (рис. 57). В этом слук>( чае, как следует из наших рас- четов, энергетический спектр ! ! остается иепрерывиым '), есьг ли добавок и мал. рис. 5?. Кривые для энергии возмушення Если возмущение Ю' (х) [тг (2). распространяется иа всепрострапство так, что )ат бесконечно, то в первоначально непрерывном спектре могут образоваться разрьшы. В качестве прнмера привсдсм возмущение вида .2КК .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
