Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 60
Текст из файла (страница 60)
60. Столкновение частицы В с атомом А по классической механике (случай отталкивания). Для этого рассмотрим, как протекает столкновение, если применять законы классической механики. На рнс. 60 изображен атом А с центром в О. Вокруг него проведеиз сфера радиуса а, вне которой силы между атомом А н падающей частицей В малы. Эту сферу мы будем называть сферой дейс т в и я 1). Частица В, двигавшаяся первоначально вдоль оси ВЕ, попадая в эту сферу, будет претерпевать отклонение так, как показано на рис. 60 (приведен случай отталкивания А и В).
Опустим из центра атома перпендикуляр на первоначальное направление движения частицы ВЛ. П»сть длина этого перпендикуляра есть р. Его называют па р а и ет р он удара (или и ри цел ь- ') Эта сфера ве всегда может быть определена. Например, для закона Кулона ()=сопзыг нн о какой сфере говорить не приходится. Сферу действня можно определить лишь в том случае, когда силы достаточно быстро убывают.
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ Л!ИКРОЧАСТИН 323 ным расстоя вием). Частица, имеющая определенный параметр удара, отк.юнится на вполне определенный угол О, так что р=р(О), 0=0(р). Частицы, имеющие параметры удара между р и р+ч(р, отклонятся нз углы, лежащие между О и О+НО (угол ф мы сейчас ис рассматриваем, предполагая сферическую симметрию полн атома А). Если представить себе поток первичных частиц, проходящих через площадку в 1 смз, то нз ннх отклонятся на углы О, О+с(0 те, которые проходят через кольцо, образованное кругзмн радиуса р и р+с(р.
Площадь этого кольца есть 2прбр (рнс. 60). Поэтому на угол О, О+г(0 отклонятся все тс частицы из первичного потока, которые пройдут через площадку 2лрдр (рис. 60). Стало быть, величина 2паг(р н есть эффективное сечение для отклонения па угол О, О+г(0. Выражая с(р через ч(0, найдем дифференциальное эффектноное сечение а(0)=р„-. г(р (77.4) Таким образом видно, что рассмотрение малых отклонений методами классической механики бессмысленно. Для рассмотренна лкс отклонений, удовлетворяющих условию (77.5), необходимо соблюдение общего условия прнченилюсти классической механики, илленччо, измснелшя потенциала (/ (г) на протяжении длины волны Л должно быть мало. (7?.6) Пусть потенциал расссивачоплсй чзст~гцы меняется существенным образом на протяжении а, т. с.
а есть по порядку нели шпы область действия потенциала, нли радиус сферы действия. Тогда условие (77.6) л~ожет быть заменено болсе мчггкилл условием Л (ка (?7.7] (см 0 36). Длина залпы Л электронов с энергией в несколько электроновочьт равна, по порядку величины, 10 а см, такого жс порядка н размеры области и, внутри которой сущсстоснпо меняется потенциал а атоме. Поэтому при столкновениях электронов с атомами (77.7) нс соблюдается и необходимо прилчснячь квантовую лчеланику. Прн сталччпавсччиях а.частиц (Л 10 'з см) с атомом )словис (77.?) выполнено и лчожпо ограничиться классячсским рассчотрснисм задачи. Однако прн столкновениях а- ~астнц (нукчопов, вообще тяжелых чзстиц) с ядром, для ноторога радиус сферы действия а !О 'з см, опять имеем Л а, т. е.
необходимо квантовомеханичсское рассмотрение задачи. Рассмотрение столкновения лишь с однлм атомом, вместо рассмотрения столкновения с совокупностью атомов, образующих газ нлн жидкое, нли, наконец, твердое тело, само по ссбс является абстракцией, пригодной далека нс вссгда. Рассматривая лишь одпп ато!т, мы предпочзгзелч, что часчпню до столкновения с атомом движстся свободно.
В этом — самая сущпосп Это классическое выражение для а(0) пс вссгда будет применимо к микростолкновенням, Действительно, ошибка в определении параметра удара Ьр должна быть меньше самого параметра р. С другой стороны, определение р с точностью Ьр вносит неопределенность в нлчпульс, псрпсндикулярпый к пер. й воначальцому движению Ьрл -, а следовательно, и неопределснность бо ' йрч я в угле отклонения аО = .
=- — (р — первоначальный импульс частицы). р брр Огсчода, имея в виду, что О >00, (з> Ьр: 0> —, й= Л р' 2п (77.5) ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ 324 1ГЛ. ХН! а„= Е! а (в, О, гр) Ж. (77,8) и, 3иак ()а показывает, что при интегрировании мы исключаем малые отклонения (О О„).
Представим теперь себе поток У частиц В, проходящих через ил~щипку в 1 слв. Прн прохождении плицы г(х этот поток пронижет обьсм (! слб) г(х. Если через л обозначить число атомов в 1 слз тела (газообразного, жилкого или твердого), то в указанном объеме поток частиц В встретит л (1 смз) г(х атомов А. Вероятность сюлкновсния с одним из атомов А одной нз частиц В при прока>клепик слоя г(х равна —,л (1 с»Р) г(х=--асл г(х, гтч 1 с»!» (77.9) Обозначим через У (х) сели !ииу потока неотклонеппых частиц на глубине х внутри вещества, Согласно (77.9) убыль этого потока при прахов!денни слои х, х+г(х будет г(У (х) г(х = — У (х) а,л.
(77.10) Отсюда находим У (х) = У е ачл», (77.11) Стало быть, величина ш (х) и — аюх (77.!2) есть вероятность пройтп путь х без столкновения. Следовательно, срелний свободный путь 1 равен 1 1= а,л ! е аем» х г(х == —. а,л' (77.13) Для того чтобы мы и в само!» деле могли сщ!тать частицу, проходящую путь!, свободно двихгущеися относительно какого-нибудь из атох!ов тела, нужно, чтобы своболный пробег был больше сферы действии а.
Иначе частица все время будет находиться в сфере действия того атома, с которым ей предстоит столкиутьсн. Таким образом, условие применимости теории попарных столкио. вепий как в классической, так и в квантовой механике есть 14ьл. (77.14) Если сфера действия а не ыогкет быть определена, то применение теории попарных столкновений становится по меньшей мере сомнительным (во всяком случае, ллп тех столкновений, длн которых 1 мало), В квантовой механике )словно (77.14) должно быть дополнено еще одним условном специально квантового характера. 14ас интересуют измененнч постановки проблемы о попарпом столкновении. Чтобы оценить, когда такая постановка вопроса возможна, рассмотрим средний путь (свободный пробег), который частица В пробегает без столкновения в соьокупиости атомов, образующих тело. Дли определенности рассмотрим лишь упругие столкновения.
Введем критерий того, что частица В ие взаимодействовала с атомом А (двигалась свободно). В качестве такого критерия булем считать некоторый угол отклонения О„. Если угол отклонении О ( О,, то мы будем считать, что частица не отклоцплась — двнгалась свободно, если . О -- О, то, напротив, будем считать, что взаимодействие имело место. Эффективное а, дли отклонения на углы, большие Ое равгю э ип пгивлижнипып мстод вопил 325 импульса (и энергии) часпщы прн столкновениях.
Состояние с определенным значением импульса р есть волна де Бройля с длиной волны л=йлй(р. Из условия (77.!4) следует, что нам нужно рассматривать движение свободной частицы на протяжении свободного пробега 1, т, е. мы должны иметь дело с группой волн, размеры которой не превышают 1. В такой группе, вообще говоря, (бр)з ~ Π— это состояние с неопределенным импульсом. Чтобы можно было пренебречь этой неопределенностью (н оперировать тогда с моно. хроматической волной), нужно, чтобы 1) Х. (77.15) В случае невыполнения условий (77.14) и (77.15) необходимо рассматривать столкновение сразу со всей совокупностью атомов А или искать особые обходные пути, которые нозволилн бы обойти трудности такой прямой постановки задачи.
й 78. Расчет упругого рассеяния приближенным методом Бориа 11 = — = —, з 2рЕ р' дз дв' (78.2) где р — импульс частицы. Обозначим далее '„Р, У (.) = Р (г). (78.3) т) Напротив, при расчете неупругих столкновений неизбемтно приходится рассматривать структуру атома А, так изк при неупругом столкновении изме. настоя квантовое состояние этого атома. Ограничиваясь исследованием упругого рассеяния, мы можем ие рассматривать внутренней структуры атома ') Л. Действие атома А на падающие частицы В можно в этом случае рассматривать как действие силового центра.
Если атом обладает сферической симметрией, то поле, создаваемое этим атомом, будет полем центральных сил. Имея в виду именно этот случай, обозначим потенциальную энергию частицы В в поле атома Л через (г'(г) (г — расстояние от центра Л до В). Энергию частицы В обозначим через Е. Если считать, что (У(г) =О при г=со, то мы должны взять Е) О, так как нас интересует такой случай, когда частица В с энергией Е движется из бесконечности к атому А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
