Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 63
Текст из файла (страница 63)
мого для освешення света '). 9 80. Точная теория рассеяния. Матрица рассеяния Обратимся теперь к точному решению уравнения (78.1'): ~'Ф+й'Ф= )г(г)тр (80.1) Это уравнение отличается от уравнения (49.2), подробно рассмотренного в отделе общей теории движения в поле центральной силы, только множителем — 2)ь)йз и порядком расположения членов.
Поэтому собственное решение уравнения (80,1), принадлежащее энергии Е=йвйз!2)ь, квадрату. момента импульса М'=йа) (1-)-1) и проекции момента Мс=йпт, согласно (49.4), будет р - (г О. ф) =- )~ (г) 1' (О, р)* (80,2) причем, если положить )тг=и,уг, то из (80.1) получим уравнение для и~.' ггтнг I в (((+01 —,, + ( Ав — —, (иг = )г (г) иь (80.3) совпадающее по существу с уравнением (49.10). Общее решение уравнения (80.1), принадлежащее энергии Е=йзйз(2)с, может быть написано в виде разложения по ортогональным функциям рь„(г,О, р): со Ф=ч-! ф(г, О, сР)= ~ч~ ~ Сг Рг(г))гь (О ~Р) (804) с=в ж=-г Представляя решение в форме (80.4), мы тем самым ищем его в виде суперпозиция состояний, отличающихся значением момента импульса (число (), н его проекции на ось 02 (число лг).
з) Разумеется, что зтн же замечааня полностью относятся также к опре. делению р (г) 'через интеграл (79.23). точнля теоюш илсссянпя. матрица илссеянпя 337 а а01 р(», В)= » Сд,(г)Р,(созе). 1=о (80.6) Дальнейшая задача заключается в определении амплитуд С,. Рассмотрим, каково будет асимптотическое выражение для функции (80.6). Согласно (49.16') Р! (г) при г-ь со имеет вид А Для удобства дальнейших вычислений целесообразно положить п) ст!= — --+т)! и выбрать такую нормировку для функции )с!(г), 2 что А =1!й.
Тогда и! мп (йт — -+ч!) г )с! (г), (80. 7) Прн таком выборе нормировки асимптотическое выражение для функции ар(г, 6) получает вид . и! ал! ОЪ 1 са — « — + !и! — м«+ - - - !и! 1 а «р(г, 8), =~~~ С!Р (созб)~ ~, — ', ~,(80,8) 1=о Теперь следует выбрать С! так, чтобы (80.8) совпало с (80.6). Для этого разложим плоскую волну еа'=е»'"" по полиномам Лежандра. Это разложение имеет вида) «О . и! е'"а= 'р (21+1)е ' ф' -л —,7!+ !«(йг)Р!(соз8), (80.9) ! =- 0 где У1, 1,(/гг) есть фУнкциЯ БесселЯ поРЯдка 1+а/а. Физически это разложение означает представление плоской волны в виде супер- позиции стоячих, сферических волн, т. е.
разложение по состояниям с различным моментом импульса относительно начала координат ') См. (25.16). а) См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей матсматикн, т. П1, ч. 11, «Иаукю, 1969, с«р. 558. Для задачи рассеяния нам нужно, как было обьяснено в 9 78, найти такое частное решение, которое асимптотнчески имело бы вид (80.6) т. е. представляло бы наложение первичной, плоской волны н волны рассеянной. Это решение обладает симметрией вращения около оси 02 и поэтому не зависит от угла «р.
Частное решение, не зависящее от !р, получится из (80.4), если там откинуть все члены суммы с т ~ О. Так как )»!а (8, «р) только множителем отличается от полн- нома Лежандра Р,(сов'8) '), то мы можем представить искомое решение в виде ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [гл, х! с! 338 (точка г=0). Каждый член суммы (80.9) есть сам по себе решение уравнения (80.1) при (с(г)=0, т. е. для свободного движения, принадлежащее заданному моменту импульса (число 1). При больших г имеем /с+ с,(йг), = огс — з(п 'кг — — ).
Г2 . С д1с (80,10) Полагая еще А (О) = ~~~~~ —,.-'- Р (соз О), (80.11) с=о мы можем представить асимптотическое выражение для ф(г, О) (80,5) в виде р(г, О), дс . ДС4 сд .д мк — с — — мс+ с — ') = ч'.Рс(с 88) (21+1)е* ~' . — ' .
/+"— ". '. (8012) С=о Сравнивая (80.12) почленно с (80.8), находим .дс С,е с"с=(21+1)е ', Ссе ' ' =(21+1)+Ас* ~ (80.13) (80.13') откуда 9 Так как ~ Рс(оооо) с(0=в 4к (21+1) ' 4д Рс (сао О) Ре (ооа О) с(0 = О (1Ф Р). А, =- (21+ 1) (е'" — 1) . (80.14) Стало быть, амплитуда рассеянной волны А (О) равна А (О) = —. ) (21+1) (е~'дс — 1) Р, (соз О). (80.15) С=О Искомое эффективное сечение, согласно (78,10), есть попросту ! А (О))о: и (О) = — „, ~~ (21+ 1) (е ск' — 1) Рс,(соз О) .
(80.16) с=о Полное эффективное сечение для упругого рассеяния будет равно ') ос= ~ о(О) с(()=ог ~Р (21+1) з(почс. (80.17) с=о 4 80) ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ззв Отсюда мы видим, что как дифференциальное, так и полное сечение вполне определяются фазами рассеянных волн т)н Часть полного сечения аз = й-. (21 + 1) з(п' т), (80.18) есть эффективное сечение для частиц, обладающих квадратом момента импульса МЯ=Й»1(1+1) относительно центра сил. Эффективное сечение а, часто называют «парциальным». На рассеяние можно распространить систематику термов, принятую для дискретных состояний, Тогда говорят об «з»-рассеянии (1 О), «р»-рассеянии (1 =1) и т. д. «з»-рассеяние сферически симметрично, «р»- рассеяние обладает симметрией днполя.
Проводя параллель с классической механикой, можно сказать, что рассеяние 1-го порядка соответствует частицам, проходящим на расстоянии р, от центра сил (р, — параметр удара), причем (80. 19) где р — импульс частицы, ).— длина волны'). В квантовой механике состояние с определенным моментом ие соответствует какому-либо определенному параметру удара р.
Однако радиальные волновые функции Я,(г) имеют максимум около г=рн на рис. 65 заштрихованы области, где )с)(г) заметно отлично от нуля. Как следует из (80.16) и (80.17), для определения рассеяния достаточно знать фазы рассеянных волн Ч. Для нахождения их требуется найти решение уравнения (80.3) с асимптотическим поведением (80.7). Задача эта не является простой. В общем случае необходимо численное интегрирование»).
Если число существенных фаз невелико, то разумно представить экспериментально определяемое сечение а(8) через эти фазы. Такой способ анализа опытных данных называется фазовым анализом. Как видно из формулы (80.18), максимальное параиальнае сече4а ).е ние равно;-';(21+1)=-„-(21+1). Если фаза тн мала, то а,= = —; (21+1) т)г. В том случае, когда все фазы ти к,' —, целесообразно применять метод Бориа и вычислять (или определять нз опыта) непосредственно А (8). Рассмотрим теперь парциальные волны, принадлежащие орбитальному моменту 1, на больших расстояниях от рассеивающего з) По классической мекаккке М=рр, р=М/р. ') Только для кулаковского поля ряд (80.!8) суммяруется в коке«ком виде я ведет к формуле Резерфорда.
З4О 1гл хи! ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ центра. Из (80.8) видно, что такую парциальную волну можно представить в виде суперпозиции первичной, сходящейся волны ( 2) + (а.— "-,'-) Г и рассеянной, расходящейся волны Г ( 2) ( 2)1 ! (з(+1) Р! (соя э) ! 2 е е 2)т ,'2 ~ à — Э! (80.20) причем .ч, е2'и! (80.21) Очевидно, что величина 3! определяет отношение амплитуды расходящейся волны к амплитуде сходящихся, первичных волн, Рис. 6о. Радиальные волновые !гулянии. а) «ы рассеяние, р«о, б) «р».рассеяние. Звштрияанвиы области, тде я! (т) ваиетиа ат- лиеиа ат нуля.
имеющих заданный орбитальный момент 1 и заданную энергию яе>)а Е = —. Иначе говоря, она преобразует волны, приходящие из — со в волны, уходящие в +со, и поэтому является частным видом матрицы рассеяния для парциальных волн, общее определение которой было дано в э 44, В рассматриваемом теперь случае она имеет диагональный внд е2(ч! ( )бн' ' 8 (80.22) и, в отличие от определения, данного в 5 44, не содержит явно моментов времени 1, га по той причине, что в этом параграфе мы пользуемся стационарным методом решения уравнения Шредингера, считая волновую функцию пропорциональной мпо>кн- ! — — е (! — т.> телю е В.
! айзенберг (1942) высказал интересное предположение о том, что в релятивистской квантовой механике волновая функция на то'!Нхя теогия Рхссгяння млтпн!зх Рлссея!з!!я 341 малых расстояниях между частицами может быть вообще лишена физического смысла. Физический смысл сохраняется лишь за волновыми функциями на бесконечности. Так как оператор 5 = е!'! (т) — оператор фазы) как раз определяет поведение волновой функции на бесконечности, то Гайзенберг предположил, что оператор фазы з) является более фундаментальной величиной, нежели оператор Гамильтониана Й.
Казалось бы, что без модификации самой теории относительности для малых пространственно-временных масштабов вообще нет необходимости заменять чем-либо теорию, основанную на гамильтонопом методе. Тем не менее идея Гайзенберга об особом значении матрицы рассеяния оказалась исключительно полезной в теории элементарных частиц, так как именно аппарат матрицы рассеяния позволяет обойти некоторые принципиальные трудности в этой теории. Рассмотрим теперь простейшие аналитические свойства матрицы рассеяния, в которых отражаются важные физические особенности квантовых систем.
Матрица рассеяния как функция волнового вектора й может быть аналитически продолжена в комплексную плоскость й при действительных значениях углового момента ( или в комплексную плоскость ! при действительном й. А. Полюсы матрицы рассеяния в комплексной плоскости й Рассмотрим сначала первую возможность, полагая х=й,+!х, до= йей, х=)гп/г)0. Для чисто мнимых значений е (следовательно, для отрица- ач!2 ! тельных значений энергии Е = — ! волновая функция ф!(г, В) 2н ! при г-~со, согласно (80.8)„приобретает вид ( .
Ю о! !р!(г, о) сно>(соээ) -' — ! — +!ч! «~+! — ', -!ч!) (8023) !е э — е 2хг Допустим, что рассматриваемая система имеет связанные состояния при отрицательных значениях энергии Е = Е„Е„..., Е„, ... Такие состояния, как мы знаем, описываются экспоненциально убывающими волновыми функциями е-'". Поэтому для связанного состояния второй член в (80.23) должен равняться нулю, Отсюда следует, что для связанных состояний е '"!=0 или 3! (уг) = е ч! ! ! = оо. (80.24) ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ !гл. х!!! тр(г, 1) тр)(г)ехр~ — Л (Е,— 1-2г)1~, (80.25) так что энергия этих состояний име- ет малую, отрицательную, мнимую до- бавку: Рис. 66, Полгосы матрицы рассеяния 3 в комплексной плоскости переменной я.
Полюсы, соответствующие саяаанным состояниям, отмечены крестннамн, соответствующие ре. аонансам, — отмечены кружками. Е=Е,— ! 2". (80.26) Соответственно этому, в комплексной плоскости и возникают полюсы матрицы рассеяния в точках lг=й,— 1к„к,) О.
(80.27) 2ав При малой скорости распада Г, и и, малы, поэтому Г, —,й,к,. Условия, при которых возникают резонансные состояния, будут рассмотрены в 9 81. Частным случаем резонансных состояний являются «квазистационарные» состояния (см. 9 99). Б. Полюсы и траектории Редже Обратимся теперь к рассмотрению комплексной плоскости углового момента 1. Будем исходить из разложения амплитуды рассеяния по парциальным волнам (80.)5). Заменим в этой формуле сумму по дискретным значениям 1 контурным интегралом (преобразование Зоммерфельда — Ватсона). Для этого необходимо найти такие аналитические функции 8(1, й) комплексной переменной 1, которые бы совпадали в целочисленных точках 1=0, 1, 2, ...
с 9г(й). Не останавливаясь на математических деталях этой проблемы '), будем считать, что такое аналитическое продолжет) Эти вопросы рассмотрены, например, в книге В. де Альфаро, Т. Ред же, Потенциальное рассеяние, амира, !966. Иными словами, матрица рассеяния как функция комплексной переменной й = й,+ 1х должна иметь полюсы на мнимой оси в верхней полуплоскости при й„= »кн, х„)0, Эти полюсы соответствуют возможным связанным состояниям— дискретным уровням энергии. Они изображены на рис.
66. Наряду с полюсами, соответствую!цими связанным состояниям, матрица рассеяния может иметь полюсы и при положительной энергии. Такие состояния называются резонансными. Резонансные состояния нестабильны и распадаются с течением времени, Поэтому зависимость от времени волновой функции резонансного состояния чр„если это состояние возникло в момент времени 1=0, имеет вид й зе) точная тнория рдссвяиия. мйтийцй рдссняиия 343 ние для парциальных амплитуд ог(я), а также для полиномов Лежандра Р,(соя 8) найдено. Тогда амплитуду рассеяния (80,15) можно представить в следующем виде: А (й, 8) = — —., (е""г — 1) Р, ( — соз 8) г((.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
