Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Как было показано в 9 80, эти полюса соответствуют или связанным состояниям, если 1пт!с~ О, или резонансным состояниям при 1т)т( О. Предположим для простоты, что в рассматриваемой системе нет связанных состояний и что амплитуда рассеяния А()т) исчезает на бесконечно удаленном полукруге в верхней полуплоскости !ш )т) 0'). Для аналитической функции А (к) можно написать формулу Коши А(г)= —. ~ (81.11) где С вЂ” замкнутый контур, содержащий точку г. Пусть точка г расположена в верхней полуплоскости. Тогда в качестве контура возьмем всю действительную ось — ОО(г(+ОО и полукруг бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости.
Устремим теперь точку г на действительную положительную ось. Так как, по предположению, А (г) исчезает при 1г(-~ОО, то в результате получим + от А() ! ят '1 А(г')гтя' 1л,) я — а Интеграл в формуле (81.12) вычисляется в смысле главного значения. Для реальной части А (г) из (81.!2) получаем следующее выражение: + оо ОЕ А (г) оо — 1- У ~ ! ! 1а ) (81.18) ') См., например, А.
И. Бань, И. Б. Зол ьпович, А, М. Переломов, Расссянис, реакнин и распады в нсрслятнвисгской квантовой механике, чНаукаь 197!, гл. 3. !) Зги прсдположсния исобязатсльиы. Онн приводят к наиболее простым диспсрсионным соотношениям. теОРия столкновеипп !гл, хп. ЗОО Рассмотрим случай, когда рассеяние частиц вызвано нх поглощением.
Тогда фазы рассеянных волн тп чисто мнимые, так что т),=1~, (см. (81.1)). Чисто мнимой является и амплитуда А (О): А (8) = — ~ (1 — е оа,),1о (81) 1 Н. о Такое рассеяние называют днфракцнонным. Особенно простой случай реализуется, когда поглощение внутри сферы взаимодействия полное, т. е. рассеяние происходит на черном, абсолютно поглощающем шарике радиуса тс'. В этом случае р,=со для 1( Ю1л и ~, = 0 для 1) )г1Х.
Интегрирование в (81.16) теперь выполняется в конечном виде лл А (8) ь ~ 1о(01)1о(1=-о — 1ь 048), (81.17) о где 1,(г) — функция Бесселя первого порядка. Стало быть, сечение рассеяния равно а(0) = -, 1';(ИВ). (81.18) В функции от угла 0 оно щмеет внд кривой с резким максимумом прп 0=0 и слабыми минимумами и максимумами вдали от О. В более общем случае днфракциопного рассеяния, зная из опыта сечение п(8), можно получить информацию о распределении коэффициента поглощения у(г) в окрестности поглощающего центра.
Действительно, поскольку амплитуда А (8) теперь чисто мнимая величина, то А(0) =1Р й(8) и она может быть найдена из измерений рассеяния. Формула (81.16), на основании известного свойства ортогональностп функций Бесселя пулевого порядка ~,1о(ах) Уо(бх) дух=6(а — О), (81.19) о допускает обращение, Умножнм равенство (81.16) на lо(81'), где à — некоторое фиксированное значение числа 1, и проинтегрируем результат по Ог(0 от 0 до сю (это допустплю, поскольку в возникающем интеграле существенны лишь малые углы О).
Воспользуемся далее формулой (81.19), положив в ней х=В, а=-1, 6=1'. Тогда получим (опуская в результате штрих у числа 1): 1 — е ч=; $ А (8) lо (81) Оо(0=0~ Р п(0) 1о(81) ОЛ (8! 20) о о На рис. 69 показан путь частицы внутри сферы взаимодействия. Если коэффициент поглощения частиц в функции расстояния г й ап опщин сл».чдп рассеяния. днспсрсионныс соотношения зб! от центра есть у(г), то + «и 2рз= ~ у(г) т(х, (81.21) где интеграл взят по прямолинейному пути при заданном 1, т.
е. при заданном параметре удара р =- 1), '). Интеграл (81,21) легко преобразуется к виду (),= ~ у(г), р=)й. (81.22) 1т га — рз р Зная из опыта р„можно численными методами найти коэффициент поглощения частиц у(г). Дифракционное рассеяние наблюдается в случаях, когда имеется сильное неупругое взаимодействие, а длина волны рассеивающихся частиц мала в сравнении с радиусом взаимодействия. Дифракционное ра сеяние наблюдается, например, при рассеянии нейтронов на ядрах атомов при условии хм!;Й. где )с— радиус ядра ()с =ге Ач, г,= = 1,2 10-"см, А — атомный вес ядра). Прн параметре удара А' 8.
р -..гс нейтрон «запутывается» в ядре, которое является, таким образом, для него черным телом. Дифракционная картина имеет место также при Рассея- ряс 69. Пиопные лучи внутри нуклона. ННИ ПИОНОВ На НуКЛОНаХ (СР' При вмчиелеиии измеиеиия фазы луча А'В' РИС. 13). ПРИ достаточНО бОЛЬ- иптегрирпавиие идет вдоль АВ при заданиям параметре удара р. шой энергии пионов преобладаег неупругое рассеяние, при котором пионы теряют свою энергию, порождая новые пионы.
Картина упругого рассеяния в этом случае близка к картине дифракции на черном шарике. К лучшему согласию с опытными данными приводит чисто мнимый гауссовский потенциал гт У (г) = !'аЕВ (81.23) Здесь Š— энергия пиона, и — некоторый численный коэффициент, а — радиус нуклона (а 1,2. 1О " см) е). ') Прямолинейный путь можно использовать, поскольку дифракционное рассеяние сосредоточено в области малых углов. з) Д.
Блохинцев ()96!). Опыты, произведенные а последние годы на ускорителе в Серпухове, показывают медленный (логарифмический) рост радиуса а с ростом энергии пиона. Теория упругого рассеяния получила существенное развитие в работе А. А. Логунова н А. Н. Тавхслидзс, которыо ввели понятие «квазипотенцнала», пригодного в релятивистской области ()963). тсогчгя столкновения ггл, юг г 352 Б.
Эйкональное приближение До сих пор мы ограничивались рассеянием, которое вызвано поглощением рассеиваемых частиц. Более общий случай рассеяния можно описать с помощью комплексного потенциала и(г) =и,(г)+ и,(г), где У„У, — действительные функции переменной г. В соот- ветствии с формулой (36.20) это означает, что мы рассматриваем частицу, вызывающую рассеяние, как оптическую среду с ком- плексным показателем преломления л (г) = ггг (г)+(гг, (г), где л, есть его действительная часть, а л, — мнимая. Коэффициент пог- лощения среды, как нетрудно вывестп, равняется у(г) =й,ао (г). При достаточно короткой длине волны х мы можем рассчи- тать фазу г)„пользуясь эйкональным приближением, т.
е. фор- мулой (36.22), если интегрирование вдоль луча (к„ко) производить при заданном параметре удара р = 1х. Воспользовавшись опять сферической симметрией задачи, не- трудно преобразовать (36.22) к виду '1г = )го ~ 1л (г) — 11 (81.24) 1 ео — гго о Таким образом, эйкональное приближение (2 36) может быть применено для вычисления фаз парциальных волн в оптической модели частицы. В. Резонансное рассеяние При взаимодействии сложных систем с частицами могут наблюдаться резонансные явления, т. е. при определенной энергии частицы Š— Е, наблюдается иногда огромный рост сечения. Подобное положение является, например, весьма типичным для взаимодействия нейтронов с ядрами (ср. рис, 4). Рассмотрим в качестве важного примера резонанс в з-состоянии.
В этом случае волновая функция может быть написана в виде е '"' егы Ф ()= — — 5— (81.25) где 5,— элемент матрицы рассеяния для 1=0. Ясно, что в случае резонанса 5, сильно меняется в зависимости от Й (от энергии частицы). Оказывается, что можно выразить 5, через величины, мало меняющиеся вблизи резонанса, Для этого выразим 5о через логарифмическую про из водную от волновой функции на поверхности системы (например, ядра), т. е.
при г=)х'. Предполагается, что для г= Я взаимодействие уже практически отсут- зон оыцин слзчли гАссеяння. диспегсионные соотношения ззз ! Е, 1«то (")1 1 ( я еоо» Е = — (х ' ', = ) (Е), (81.26) гЕо (») о = Л 1 — зоеи» где слева написана логарифмическая производная от функции «ф„(«), х=И, а ?(Е) — значение этой производной как функции энергии, выраженное через внутренние параметры системы (например, атомного ядра).
Отсюда -и» (» «) 1(о (81.2?) ,= — е где положено «(Е) =?о(Е) — (л(Е). Если при некотором значении Е=Е„(о(Е,) =О, то наступает резонанс. Действительно, в этой области значений мы можем положить ~о(Е) =((йе) е (Š— Е„), И(Е) =-Ь(Е,).
(81.28) Вводя обозначения Г'=— 2»й ( ЕЕ)е=е» Гг 2~ (Е») ( еЕ)е=е» (81.29) найдем, что Ео равно 1 2 --( — Го+Г) — (Е Е) я со ма, о =-— — — (Г'+ ГО -$-1 (Š— Е„) (81.3О) Подставляя в формулы для упругого сечения а" =- а," = — „", / 1 — Ео 1о и неУпРУгого а'"=а'„"= — о(1 — 15о!о), полУчаем и Г'Г' ео (Š— Е,)'+ Го/4 ' (81.31) Го о а"= — ",, +2е""з(пИ »о (à Š— Е„+ 2- В этих формулах Г=Г'+Г'есть полная пол у ширина (81.32) резо- ствует. Поэтому производная может быть вычислена с помощью асимптотической функции фо(«), с другой стороны, она опреде- ляется внутренними свойствами системы.
Поэтому ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЯ 1гл, хп1 н анс а (при ~ Š— Е„)=Га2 сечение падает в два раза). Величину Г' называют частичной полу шириной упругого рассеяния, Г" — частичной полу шириной реакции (неупругого рассеяния). Амплитуда упругого рассеяния складывается из двух членов: резонансного рассеяния (член, обратно пропораГ1 циональный (Š— Е,+- — )) и п о те н ц и а л ь н ог о рассеяния (член, пропорциональный з(пИ1).
Эта часть рассеяния не зависит от внутренних параметров ядра, а только от его размеров )т' и от энергии частицы. Формулы (81.3!) и (81.32) были выведены впервые Брейтом н Вигнером и описывают рассеяние вблизи резонанса. Они аналогичны известным из оптики формулам для рассеяния вблизи резонансной спектральной линии. На рис. 4 были приведены резонансы в сечении для взаимодействия нейтронов с ядром кислорода. Каждый из показанных там максимумов, если вблизи нет соседних, может быть удовлетворительно описан формулами Брейта — Вигнера. Заметим, что резонанс является типично квантовым явлением. Как видно из формул, при Е = Е, полное сечение а,аа М 4Л Ге 1 ГааЗ + 1а' Г л Г может принимать огромные значения )а(Г, Г), во много раз превосходящие размеры сферы действия ядерных сил ( лй').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
