Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Получаем 2А А сЬр(г) е'к'= ~) р(г) гзйг ~ байр ~ е'х"нмз1п8г(6 Ъ Ъ о Вводя переменную соз6=6, легко выполняем интегрирование по $ и ~р и получаем ЙО р (г) е'"' = 4п ~ '" (, ') р (г) г' д~. 5 Кг Ъ Подставляя (79.9) в (79.8) и (79.7) в (79.3), мы находим оконча- тельное выражение для А (8); А(8)= — а —, 2 — 4и (() р(г)г'Д . (79.10) Имея в виду, что К =4й 3!и -- = — з(п— ,Е 4РЧА .,В 2 а' 2' где Π— скорость частицы, и обозначая (79.11) находим окончательно А (8) = — 2"', (Я вЂ” Е (6)) созес'-2, (79.12) Величину Е(6) называют атомным фактором. Эта величина, как мы видим, определяет рассеяние электронов по углам.
Заметим, что эта же величина определяет и рассеяние рентгеновских лучей. Из (79.12) находим дифференциальное эффективное сечение для упругого рассеяния электронов с энергией Е в область угла 8: О (6) = з,~ (2 — Г (8)) созесА 2 (79.13) ТЕОРИЯ СТОЛКНОВПП!П 1гл, юи Чтобы эта формула стала более конкретной, сделаем простое предположение о плотности ер заряда электронного роя. Именно, предположим (это соответствует выводам квантовой механики), что р экспоненциально спадает с увеличением расстояния от центра атома (79. 14) р=рое где а — «радиус» атома.
В целом атом нейтрален, поэтому (Р~(п=~; (79.15) 2 отсюда находим ро — — — „,. Следовательно, е г р= — е аппо (79.16) Вычислим теперь атомный фактор СО СО г (а)=-4п ~ Р(г) ~ ' г'е(г=~,~,. ~ е ~'з(пь ьай, а а где $= 74'г. Последний интеграл легко вычисляется: =2. ) (! 1 геепе)е' 2! а Отсюда .р (е) (1 +4ееоеяпе — ~ 2/ (79.17) и, следовательно, е(ееле 1 ,е (81-1,, (1+ 4ееао е!по — ~ 2/ (79, 18) Для быстрь!х частиц йа~1, поэтому в (79.18) для не слишком малых углов рассеяния можно пренебречь вторым членом выражения в скобках по сравнению с единицей.
Тогда получается е",е'2' 0 О (а) = — 'созесе 4!Пое 2' (79.19) Эта формула совпадает с формулой для упругого рассеяния частиц с зарядом е и массой )о в кулоновском поле ядра с зарядом Ле. Впервые опа была получена Резерфордом еще на основе классической механики. Совсем иной результат получается для малых углов рассеяния.
В то время как из (79.19) при а=-0 получает п(0) ==со, из (79.18) следует, что при 8=0 О(0) =сопз1. 8 ьп Рлссгянис лтомдми выстиых здияженныч мшсиочлстнц ззз То обстоятельство, что для больших углов рассеяние получается таким, как в кулоновском поле голого ядра, может быть наглядно истолковано таким образом. Большие отклонения получаются за счет частиц, пролетающих близко от ядра, благодаря чему на них поле роя электронов не действует. Малые отклонения получаются, напротив, при далеких пролетах частиц. В этом случае заряд ядра почти полностью экранируется отрицательным зарядом электронного, роя. Тогда поле очень сильно отличается от кулоновского. А, Рассеяние а-частиц Для а-частиц заряд г =+ 2е, масса р=-4рн= 6,64 10 заг, где рн — масса атома водорода.
Если атомный вес атома А гораздо больше 4, то мы можем непосредственно применить наши формулы к расчету рассеяния а-частиц атомами. а-частицы, излучаемые радиоактивными элементами, имеют скорость о 1Оз см/се!4. Поэтому из (78.2) получаем волновое число « — 10'е — 10" см-'. Размеры атома а 10' см. Следовательно, «а 10', так что вплоть до очень малых углов (з(п -.-10м — 10-'"1 можно пользоваться формулой (79.19) вместо (79.18). Таким образом, для а-частиц имеем оп (8) = — „, созеса— (79.20) ( -- .-) 8 1~ для з)п --=-и — -!.
На рис. 62 изображено число рассеянных «ц). а-частиц для разных углов 8 при рассеянии на золоте. )гй' Как уже упоминалось, формула (79.20) была впервые получена Резерфордом нз ф '. "," гч классической механики путем ~'-.. ' су,." йд рассмотрения гиперболических орбит а-частиц в кулоновском поле атомного ядра. Эта формула послужила в свое время ключом к откры- Рис. 02.
Рассеяние а-частиц при прохоис- тИЮ ядсриОй СтруктурЫ атома денни золотой фольги в 0,001 .им тол- Цспвей. и носит название ф о р м у л ы сплошная припой изобРажаеч 0 44! а полйРных е з Е р ф О р д а (1911! Так коопдпиачакх. числа на лучах дают наблюдаеКан ВПЛОТЬ дп СаМЫХ Ма ное июло Рассеянных часчии. ОЛ вЂ” иапраа- ление падающего пучка. лых углов 0 экраннрованне заряда ядра роем электронов не играет роли (Р (8) О), то формула (79.20) есть квинтовая формула для рассеянии а-частиц в чисто кулоновском поле точечного заряда Ле. Таким образом, рассеяние в кулоновском поле оказывается одинаковым по квантовой и по классической механике. ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕИИИ 1гл.
хп1 Б. Рассеяние электронов На рис. 63 изображены кривые рассеяния электронов в Не, вычисленные теоретически, и результаты измерений Даймонда. Весьма замечательным обстоятельством является возможность определить из наблюдений над рнс, 63, упругое рассеяние в ге- рассеянием электронов распределение электрического заряда в д — теоретическая кривая с учетом атоме.
В самом деле, наблюдаЯ акраиировання,  — резерйгордовское рассеяние, с — рассеяние рентгенов- рассеяние элЕктронов для раЗных снего излучения такой ме длннм. Крестики — результатм измерения дай- скоростей о и углов 0, мы помонда. лучаем О(0) — дифференциальное эффективное сечение, а из (79.21) находим тогда атомный фактор г (0), который есть функция числа К= — з)п — (см.
(79.11)). Соответственно этому будем рассмат2нр . В Я 2 ривать г" как функцию К. Из (79.11) имеем Кг" (К) — = ~ ззп(Кг)р(г) гг)г. о Отсюда по теореме Фурье получаем (79.22) 4пгзр (г) = — ~ КР (К) з(п (Кг) г)К о (79.23) (причем мы воспользовались тем, что КР (К) есть нечетная функция К), Определяя атомный фактор г" (К) из опыта, мы находим нз (79.23) р (г). Величина р (г) есть средняя плотность электрического заряда в атоме, создаваемого роем электронов. Таким об- Для электронов р-10-" г, так что борновское приближение применимо лишь для электронов с энергией в несколько сот электрон-вольт. Для 500 за скорость электронов о = 1,3 10' с41/сек, А=!,3 10' см ', т.
е. йа 1. 7 Поэтому пренебрегать атомным И фактором в (79.18) нельзя. Эффективное сечение О(0) в этом случае равно о (0) = — [д — г' (0)]з созесе —. аа в 4мзоа 2' (79.21) 4 тэ) РАссеяние АтОмАми БыстРых зАРяженных микРОЧАстиц 333 разом, эта величина может быть получена из опыта. С другой стороны, эту же величину можно вычислить теоретически, так как вероятность того или иного положения электрона в атоме определяется через волновую функцию ~ тр,в. Как мы уже 4~Р"~ отмечали, атомный фактор Р(К) может быть также определен из опытов по рас- / сеянию рентгеновских лучей, у н, и Это опять позволяет найти р.
Ъ Весьма интересно срав- 1 нить предсказание квантовой 1 механики с результатами опыта в отношении такой дели- 'ч катиой величины, как распределепие среднего заряда вяутри атома. Опыт превос- р Рр ()нт т)А ходпо подтверждает теорию. На рнс 64 в качестве 11ллю Рис. 84. Плотность электРического за. ряда в Не как функция расстояния г. страции мы приводим вели- э 1 — по рассеянию влснтронав; 2 — по рассея. ЧИН)' 4ярГ ПО НЗМЕрЕННям нню рснтгсоовсннх лучей. 2 — теаретнчесная рассеяния рентгеновских лучей н электронов в Не и теоретическую кривую для этой же величины, которая получается из волновой функции тр для Не (см. 9 122).
Замечательно совпадение максимумов и экспонеицналь- НОГО СПаДанИЯ Р ПРИ Г-ь ОО. Зная плотность электронов внутри атома, мы можем с помощью (79.2) определить энергию взаимодействия (7 (г) между атомом и рассеиваемым электроном. Таким образом нз опытов по упругому рассеянию частиц может быть определен характер действующих на эти частицы снл. Еще более непосредственно этот нее вывод следует нз формул (78,24), Амплитуда рассеянных воли А (6) зависит от 6 только через вектор К (78.23), поэтому ее можно рассматривать как функцию К, т. е. А=А(К). Обращая тогда интеграл Фурье (78.24), найдем (У(г) = — — ' — Т 4 4 е ' 'А (К) б)тле(К2 г(Ка. (79.24) и (2)а.') \.) Поэтому, зная нз опыта А (К], мы найдем У(г), т.
е. энергию взаимодействия. При этом нужно имезь в виду еще следующее. На опыте мы ие определяем непосредственно А (К), а определяем эффективное сечение о (6)=) А (К),-'. Поэтому, зная о(6), мы аюжем найти А (К) только в том случае. если амплитуда А (К) действительна.
В противном случае фаза амплитуды А (К) остается неизвестной. Как вилно из (78.24), А (К) будет действительна, если (/(г) = =.=(/( — г), в частности, для центральных сил. таалее, обращение интеграла (79.24) требует интегрирования по Кю Ку, Ка от — со до +со. Стало быть, для нахождения У(1) лпа должны з11ать рассеяние длп бесконечно больших импульсов рассеиваемых частиц (так как О ~ К == 2руа=4л1Л). Ограничиваясь (гл хгн тсоппя столлновпнни пмпульсом р (знергней Е =рт(2р), мы можем вычислить лишь часть интеграла (79,24): гв +— ь (/(г)= — — — ь Зх ч е ' гл 0С) с(К х(К, йК .
(7924') — гкг (2п)з ~~~ ." У зп Если отброшеннзя часть ннтеграла мала, то вместо истинной потепднальной зпергпн (7(г) мы получаем сглаженную (7(г), т. е. нз опыта по рассеянню частнп с нмпульсом р, следонатсльно, с дланей волны Х=2пл/р, нельзя сделать вывода об нзмсненнях (/(г) на масштабах порядка ь, так как в интеграле (79.24') отсутствуют гармоники е '"' с К) 4п/ь=зруй. Это есть выражснне хорошо нзвестного факта, согласно которому нельзя получить нзображенне деталей объекта, размеры которых меньше длины волны, прнменяе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
