Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 57
Текст из файла (страница 57)
!) Беа поля мы имели гамильтоннан, обладающий сферической симметрие!!, При наличии поля'сще остается симметрия вращения вокруг направления поля. ' и",— Е ВГ!е О О ~ Й'„Е) Е О О Ла (Е) =1 О О Е."-Е О О О О Е',; — Е~ =(Е." — Е)а[(Е" ,— Е) — )Р;!) =О. (73.О) Огсюда находим корин Е„Е„Е„Е„которые равны энерпш возму!ценных уровней: Е! = Е"-+ ~'ге Ее = Е! — йуга, Еа = Ел = Еа. (73.10) $ тз! Рлспчвпленпи спсктРллы!ых л!!и!!и Атома ВодогодА зо5 В результате вместо Одной спектральной лшпш, отвечающей переходу Е",,— Е", (переход изображен па рисунке стрелкой а), мы получим три линии, отвечающие переходам: (о) Еа Е! -~ Е!, (6) Е, и-и Еа, (с) Еа -а Е",.
Это и есть явление расщепления спектральных лшиьй в электрическом поле. (Закчетим, что ради простоты мы рассчитали расшепи аа 6 пава Рис. 54. Расщсплсиие уроаии п=2 атома во- дорода в электрическом поле. ление первой липин ультрафиолетовой серии Лаймапа, на самом деле Штарк изучал расщепление линий серии Бальмера (видимый свет).) Из (73.10) и (?3.8') следует, что разнш!а ?АЕ в уровнях энергии Е, и Еа равна беоа, т. е. ЛЕ 3 10 ао зв, если Е дано в в?сл!. Расщепление маленькое, даже для 8=10! в/слч, ОЕ=З 10-' эв, а разность Е.",— Е", 10 эв. Вычпсл!пя теперь волновые функции тр в нулевом прибл!Окенпи, относящиеся к уровням Е„Ее, Е, и Е,. Для этого нужно найти амплитуды с„пз уравнений (?3.6').
Подставляя в (73.6') Е= Е, =' = Е,=Е."„находим, что са н с,чьО, а с,=се=-О. Следовательно, для иесмещенных уровней наиболее общее состояние описывается функцией ар г. с!!ар,"! + саар!, Е = Е,"; (?3.11) с, и с, произвольны (вырождение пе снято). Подставляя в (73.6') Е=-Е,=Е",+ В'та, получаем с,=с,=О, с! =Ос Поэтому урови!ОЕ, отвечает волновая 'функция тРА = —,- ('(а!+ Фа) Е! = Еа+ Отта. 1'2 (?3.!2) Подобным жс путем вычисляем для Е=Е,: си=с,=О и с, =- =- — Са.
П ВОЛИОВаЯ фУНКЦНЯ ИМСЕт РШД тра = -- —. ® — т)а!) а Еа = Еа — 1а'те. )а2 (?3.12') ЗОО пРОстейшие приложения теОРии Возмушснип 1гл. хи ( ! Множитель = взят из соображений нормировки «р! и «ра к еди- 1' 2 нице.) Таким образом, при наличии поля о волновые функции стационарных состояний ') будут «р,, «р, и «ра=«Р», «р«=«р1. Мы предоставляем читателю самому убедиться, что, как и должна быть по обшей теории, матрица возмущения )Р' в новом пред- ставлении Ю ар =Ен. ~ «ра»х«рр«(О (73,13) будет диагональной матрицей Зев э ΠΠΠΠ— Зеав О О а О О О О О О О (73.14) 9 74.
Расщепление спектральных линий в слабом магнитном иоле Рассмотренная в 9 62 теория расщепления спектральных линий в магнитном поле является далеко не полной, так как не учитывает мультиплетнай структуры спектральных линий. Введем теперь в рассмотрение и эту структуру. Гамильтониан Й атомного электрона, находящегося в магнитном поле, согласно (62.6), равен Й Йа 1 ' (М +йа») = Йе 1 = (М.-1-2в ) (74,1) (при этом мы отбрасываем члены с о72"а, считая их малыми). Й' есть гамильтаниаи в отсутствие внешнего магнитного поля Йо = — — 7« = (7 (г).
ь« 21» (74.2) Учитывая мультиплетную структуру спектра, мы должны дополнить этот гамильтаииаи членами энергии взаимодействия спина с орбитальньам движен!«ем (они, как объяснялось в 9 65, абуслов- !) Точнее «почти стационарных» (Ср. 44 99, 1011. Отсюда следует, что полученную картину расщепления уровней мы можем пояснить еще и так: уровни Е, и Е« не смещаются потому, что в состояниях «ра и «р« электрический момент равен нулю. Смещения же уровней Е, и Е, определяются тем, что в состояниях «р! и «р, момент равен Зае8 и — Заве«соответственно, т. е. в первом случае он ориентирован против поля, а во втором случае — па полю.
й ти РАсщепление спектРАльных линии В мАГнитнам пОле зот ливают структуру спектров). Далее, напомним замечание в 2 65, согласно которому поправка на зависимость массы электрона от скорости (релятивистский эг)хрект) такого же порядка, как и взаимодействие спина с орбитой. Все эти дополнительные члены в энергии электрона, обусловливающие мультиплетную структуру, обозначим через д, д . дй фо Фо[х у, г, з, — И ., — И вЂ” — И -~.
(74.3) дх' ду' дг7' Мы не будем раскрывать явно вид этого оператора и ограничимся указанием аргументов, от которых он зависит. Появление в [)го операторов импульса электрона ясна уже из того, что внутреннее магнитное поле двп создаваемое орбитальным движением электрона, зависит от скорости электрона, а следовательно, и от его импульса '). Таким образам, полный гамильтониан должен быть Написан в виде и Но 1 фо+[[7 ф ' (М +2аг) (74 4) Мы будем различать два случая: первый, когда магнитное пале настолько велико,' что энергия электрона ва внешнем пале [[у гораздо больше энергии В'о, обусловливающей мультиплетное расщепление, и второй, когда энергия ва внешнем поле [[у гораздо меньше энергии %'о (малые магнитные поля).
Уточним понятие «сильного» и «слабого» поля. Заметим, что энергия 1Ро, которой мы пренебрегаем по порядку величины, равна разности энергий уровней в дублете (см. рис. 46). Обозначим эту величину через г»Ел — -- Е„'я — Е"„и . (74.5) Расщепление, создаваемое магнитным полем, равно, согласно еа (62,13), па порядку величины --о~".
Поэтому рассмотренное 2г!с в 2 62 приближение соответствует условию 2' —,'2 >) ~бЕЛ ~. (74.6) Если, например, ЛЕ;;=5,3 10" эра (линии 0» и [ге в [»[а, см. рис. 49), то (74.6) дает 22") 5 10' эрсгпед. Напротив, слабое ') По закону Био и Совврк зто поле равно е г где г = — [ог) —, где т — снорость электрона, в г — радиус-вектор, проведенный от влектронв к точке, где нвблюдвется поле двь пРО/.теош!н! пР!!ложшн!я тгОР!и! возмун!Пнн! !Гл.?и в виде ! 1Р л//т., п//т// л//' лн' Г I (74.10) поле "6' определяется из неравенства В'-- 1Г, т. е. -'-'- пух" ' ЬЕ/1. (, ау~ ..
1 !"-ЛЕ// ~, (74.?) В первом случае (сильныс поля!) мы можем пренебречь величиной У' по сравиешио с 11п. Тогда мы получаем слу шй, у/ке рассмотренный ь Ч 62 (простой эффект Зеемана). В случае счабых волен' расстояние уровней в мультиплете ЬЕ;; гораздо больше ел г! ° ' поэтому в нулевом приближешш мы можем пренебречь энергией электрона во внешнем поле 11Р ио сравнешио с Ф" и рассматривать в качестве гамильтоннаиа иевозмущениой системы Р/ Оп+ )У/о (74.8) а Ф вЂ” как возмущение.
Получающаяся в этом случае картина расщепления уровней и соответственно спектральных линий гораздо сложнее рассмотренной в 2 62. Само явление носит название сложного (иногда говорят а иом аль ного) эффекта Зеемана. Чтобы рассмотреть это расщепление, заметны, что квантовые уровни Е„"/; невозмущенной системы (гамильтониан (74.8)), как объяснялось в Э 65, будут вырождены 2/+1 раз, соответственно возможным ориентациям полного момента Л. При наличии внешнего ноля такой уровень должен расщепляться, так как разным ориентациям ) будет отвечать разная энергия магнитного момента во внешнем поле Ж.,г(ля того чтобы найти это расщепление, мы должны определить собственные значения энергии возмущения 1Р'.
Для этого напомним (ср. э 65), что состояния иевозму!ценной системы с учетом мультиплстностн характеризуются четырьмя квантовыми числачн л, /, /, и/. Поэтому матричные элементы энергии возмущения Ф будут иметь вид %'„лт „,,„,. Если мы л/1т.. л 1/ т ограничимся первым приближением, то, как излагалось в 2 68, нужно пренебречь матричными элементами энергии возмущения, относящимися к разным уровням невозмущенной системы. Так как у нас эти уровни нумеруются числами л, /, /, то в нулевом приближении рассмотрению подлежат только элементы 1" т.тп л//т, л/лл ' (74.9) / 1 ' 1' '/ Пригодность такого приближения обеспечивается малостью мапштногр поля.
Так как матричные элементы от имеют Е/1 порядок величины - — ~п, то условие (74.7) можно переписать йис З 71! РАС1Ц1'ПЛБПЦ1 Щ1ЕКТРАЛЫ!ых Липни В МАГп11тцОМ поЛГ 309 что является как раз условием применимости теории возмущений. Прн этом мы взялп разность эперпш в пределах мультнплета (разные ) и !', по одинаковые и и 1).
Ясно, что для разных п и ! (74.10» выполнено, если опо выполнено для одинаковых и и (. На основании сказанного дело сводится к приведению матрицы У„, „, к диагональному виду. Для этого выразил1 энергию возмущения Ф через проекцию )х на ось ОЯ полного момента 3. Имеем Ц7 =- ~"'~' (Мх-)-2з,) =-Оь(Ух-)-зх), (74.1!) где Оа есть частота Лармора.
Рассмотрим теперь произведение з,)з. Эту величину можно представить в виде ,,)2 =- зх (з„"+ з'„. "+,УД = = ух(зх)х+з уа+З:3.-)+(З„,ух — 1хах) /„+(з,/, — у з„) /„, илп а*7*в - Ух(Ы)+(), (74.12) О = (з,У„ — 1,зх) У + (з,У, — Ухи ) У,. (74.13) Пользуясь теоремой о сложении вращательных моментов, мы можем, согласно (64.9), переписать (74.12) в виде а )а ) (7е )йз+аз) ! д (?4.12') 8 2/2 (Х м + а~)+ (74.!3') и, следовательно, энергию возмущения Ф можно написать в виде Ф = ОА,),(1+ з, )+ 01 -;. (74 14) Матричные элементы оператора Д отличны ат нуля лишь в том случае, когда ! Ф!'.
Действительно, оператор 4 может быть представлен в виде 6=7 Уи — ух) . (74.!6) где Ух = lхз» вЂ” /хаю Ух — — У,зх — Ухзх, Ух = /хза — Уузх (74.16) Если мы возьмем теперь такое представление, в котором )' есть диагональная матрица, то тогда (74.12') можно разделить иа 7А (ибо диагональная матрица ведет себя как обыкновенная величина, а не как оператор).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
