Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(67. 4") Отсюда алла и с'„, = Еи — Бал (67.6) Найдем теперь второе приближение; для этого следует учесть члены с ли. Подставим первое приближение (67,6) и (67.6) в (67.1), тогда й»1(юл, — СС»») „'"" „— Е"'бл,и+ (Е,'л — Егил) С„","+ Е» — Сал + ~~ н㠄— „" — "„(+0(),и) =О, (67.7) и и где через 0(хи) обозначены члены порядка Хл н выше. Пренебрегая этими членами, получим уравнение для определения Е'л и с,'-„' (второе приближение). Прп этом уравнение номера пг=-а)г получается в виде ЕМ1 1 Э' ~гал~л» О (67.7') и и Отсюда находим поправку к энергии во втором приближении: (67.8) Ъ и.»и Из уравнений с т лд гг найдем с,',-",': чм ааи 1 '~ 'л'и лг' ~й и лй (679) (Е)л — Еаа) Х 1 (Е)а — Пл) (Е» — Е ) аа Эту процедуру можгю продолжать и дальше, переходя ко все более и более высоким приближениям.
Мы ограничимся вторым тсо!'ия Возмушшьь!и !Гл. хь приближением и выпишем результат. Согласно (66.14), (66.15) и (67.3), (67.5), (67.6), (6?.8) и (6?.9) имеем Еь == Е!Я-)-Хшее -(- )ьз ~ е" ь' -1-О (),з) (67.10) Е! — Ей л'ьь се — — 1, Е!' — Е~д )ьг'!Р иье ььоьь вьеь~те ! 1 О()з) 1и ' (Е! — Еп) (Ее — Еьи) (Е)ьь — Е!)' (67.11) Из этих формул видно, что предположение о малости оператора Ф в сравнении с Й, означает малость отношения ~ ((1, и ~ ль; (67.12) Из последней формулы видно, что поправка к уровням в первом прььб.ььсженьььь равна среднельу знплению энергии воз,иуи!еньья в невозхь(ьа!енно,ьь сосьиоЯии и (ь)е), Из условия пригодности метода теории возмущения (67.13) непосредственно видно, что успех приближенного расчета зависит от того, какой нмеиио квантовый уровень мы рассчитываем, Так, например, в кулоновском поле разности энергий соседних уровней выражаются формулой „ь! 1 ! ь 2п — ! Е;, — Е'„ь = — Е," (-ь — ~ =,, Е",.
(ьиь !и -ь. 1!'Ь иь(и .ь 1)ь при выполнении этого условия поправочные члены в (67.10) и (67.11) малы, и собственные значения Е, оператора Н и его собственные функции с (й) близки к собственным значениям и собственным функциям оператора Й'. Условие (67.12) — это условие применимости теории возмущений. На основании (66.10) это условие может быть записано также в виде ! В' ((1, лапь, (67, !З) где )ьь„,„суть матричные элементы оператора возмущения, Пользуясь (66,4) и (6?.6), а также (67.5), мы можем написать наше решение в «х»-представлении: !Рь (х) = !)ь! (х) + ~ „" 'ь"„ ь(ь,'„ (х) + ..., (67.
14) п - ь Е» = Е! + Ю'яь + " , В'еь, †††~ ьйь':ВР1 ь(х. (67. 1 5) возмршенне В отсутствие Вырождгнпя 283 — -- - —. + — 'хатР+ )ьхалР = Елй. аа дл(л пцб 2Н т!ха 2 (67. 16) При 1= 0 мы имеем уравнение для гармонического осциллятора, имеющего дискретный спектр энергии Е„" = Йоа и + — /. Матричные элементы возмущения 1~'лялл = ) (х')яья при малом Х. могут быть как угодно малы в сравнении с Е,"„— — Е;,'= — йыя(т — п). Тем не менее при всяком Х уравнение (67.16) имеет непрерывный спектр, и только при 1= 0 оно имеет дискретный спектр собственных значений. Действительно, потенциальная ила~я» энергия 1/(х) =- — — '+йха имеет вияь приведенный на рнс.
50. 2 При всяком значении Е для больших отрицательных х, (/(х)(Е, т. е. асимптотическое значение потенциальной энергии меньше Е. Поэтому энергетический спектр должен быть непрерывным. Спрашивается, какой смысл имеют в этом случае приближенные функции ф„(х) и уровни Ея, которые мы можем вы шслить пз трк и Ек методом теории возмущения, пользуясь малостью параметра Хр Оказывается, что при малых Х найденные методом При малых и эта величина может быть гораздо больше йт„я,, Для больших же и она стремится к нулю, как 1/пя, и условие (67.13) может оказаться несоблюденным. Поэтому метод теории возмущений может быть пригодным для расчета поправок нижних // квантовых уровней и непригодным для расчета поправок для высоких квантовых уровней.
Это обстоятельство нсльзя не иметь в виду при приложении теории возмущений к конкретным проблемам. Второе, что следует отметить,— это некоторые особые случаи, когда условие (67.13) соблюдс о рнс 50. крнвап потенциальной и тем не менее квантовые состояния систем Й и Н' радикально """""" (~) 2 +~ отличаются. Дело в том, что Пунктирная припая Ш(х) = '- кл, энергия возмущения )рл может ока- ' ' а заться такого вида, что существенно изменит асимптотическое поведение потенциальной энергии 1/(х). Допустим, что к гармоническому осцнллятору приложено возмущение )Р' = )лха.
Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид »гл. х» теория возмнщвиии в84 теории возмущения функции т)/„(х) отлича/отса тем, что оии велики вблизи потенциальной ямы У(х) и малы вие ее. На рис. 51 повторена кривая потенциальной энергии У(х) (см, рис. 50) и, кроме того, нанесен квадрат модуля волновой функции ]тр(х)]'.
Рис. 51, а соответствует случа»о, когда энергия Е = Е„Е,",. Если же энергия Е ие равна Е„, то волновая функция фа (х) нарастает вдали от потенциальной ямы У(х) (см. рис. 51, б). В первом случае мь» можем сказать, что частицы находятся около положения равновесия х=.-(], так сказать, «в атомеэ, а во втором случае оии находятся преимуществе«по вие его, бесконечно далеко.
Ста»»/»о«ар«ость состояний может получиться лишь в том случае, если Рис. й]. Пптенниллы/ля энергия»/(т]= лкэ+лхэ и. плотнасть ]»ы, з нсрояи юг о/ и] ял / Ь /.л . О] Лля /. и„. существуют волны, как уходяшие в бесконечность, так и ир/»ходящие из иее, так что «оток частиц через наверх«ость, окружающу/о атом, ригеи нулю.
Такой случай представляется малоинтересным. с1аше приходится иметь дело со случаем, когда имеются лишь уходящие волин (см. й 99). Тогда стационарных состояний ие существует вовсе. Если требовать, чтобы имелись лини уходящие вогии], то >иходимые методом теории возмущения функции фл (х) ои«сь]вщот поведение частиц лишь в течение ие очеш большого времени !. 0,»пако иа самом деле это время может бь /ь очень «елико, и оио тем больше, чем меньше значение па- 1]амстрз ),.
Талого роза состои««я ф„(х) и соответствующие ил» уровни Е„мы будем называть к вяз«стационарным и. В 68. Возмущение ири наличии вырождения В бо.и,шиисгве важных в приложениях задач приходится истр»чатьсн со случаем вырожзеши/, когда в иевсзм]щенной системе ((!е) собственному знзчеии/о Е=-Е, принадлежит ие одно состои««е ]К1, а несколько ф;1/, ]1/~т,..., ]1',",, ...,тр';,/. Если тсисрь ВОЗМУШЕИИЕ ИРИ И ЗЛИ'ИИ! ВЫРОЖДЕНИЯ 285 действует некоторое возмущение В', то без сиециалыюго исследоваиия нельзя сказать, ки!ая из фуикцчй !(,", будет являться нулевым ириближеиием к собствеииым функциям оператора Н = =: гзп+ (Р'. В самом деле, вместо РЯда ф) акций фи, ..., и)„", ...
..., !р,",г, принадлежащих собствеииому зиачеиию Е„могут быть взяты иовые фуикции !р,",и !Г,",„..., !р,"„„..., !г,",г, иолучающиеся из первых линейным ортогоиальиым иреобразова1и!е1Е ! грпа= . ! !!аа!рпа п в =. ! ~х~ и„еап !! = б „. е =. ! (68.1) (68.2) Функции К , будучи лиисйиыми комбииаииями функций будут также )!ешеиисм уравиении Шредиигера (68.3) где )у пГ, па = ~ !рпь!!(91(йпа Ит (68. 6) есть матричный элечеит эпергии возмущеиия и полу 1ается из (66,7) увсличеш1ем числа квантовых чисел, пуме)1) 1Ощих состояиия, Г;;, есть !Шерп1я личо кшипово1о уровия для иевозмущеииой задачи. Э!а зверю!я от ква1почого числа сс ие зависит (в1;рождение).
Доиустим. чго мы '!Еиерь же 1аса! Оаип! Еваи1ОО! и! )ровеиь возмущеииой системы Е,„близкий к Е,",!, и соспветствующие прииадлежащим собствеииому значению Ге~„и ири добавочиом условии (68.2) будут ортогоиальиыми, если функции пр~ ортогоиальиы, Функции !пй„суть поэтому также возможиыс функции нулевого приближения, ио иеизвестио, какие коэффициенты аав следует взять, чтобы иолучить иравилы1ое пулевое ириближсиие. геля решения это!о вопроса обратимся к уравие1иио (66.9).
Нам, однако, следует теперь его иесколько модифицировать, угочиив обозиачения. При иаличии вь1рождеиия собствсииье фуиюии! оператора имеют ио крайией мере два иидекса (и, и). Поэтому в этом случае (66Л) следует иаиисать иодробисе, замсияя иид:кс и иа два: и, се. Тогда мы иолуним ф (х) =- д, спаф."а (х). (68Л) п,а Соответственно этому уравнение (66.9) получится (заменяя и на л, а; т иа л1, (з) в виде (Ел+ йтпик пюа — Е) С! Р+ „7/пиь паг,а'=- 6, (68 5) зп п,а, (и,!1 [гл. х! теогпя Возмушенпл (Е» — Е) с»в = 0; это дает с»в~ 0 для Е=. Е,", но при этом пе одно с»а, а все при- надлежащие собственному значению Е», именно, с»а для () =-1, 2,, 1», Таким образом, в нулевом приближении не одна ампли- туда, а целая группа отлична от нуля. Поэтому правильным ну- левым приближением для функций й-го уровня будет с»а=-с!!а(ФО), и=!, 2, )», с'„"' = 0 (и г ь Уг).
(68.7) В этом приближении мы возьмем пз уравнений (68,5) те, кото- рые содержат пе равные нул!о с„,. Зто будут уравнения (Е!~+ К»а, »в — Е) с»!!+ ~ )Р'»а, »ас»аа=О, (68.8) аа'-В Поскольку мы ограничиваемся нулевым приближением к й-му уровн!о, мы можем опустить индекс л (держа его просто в уме), положив прн этом (т'аа = п('»в, »а = ~ »МГ»!!»а ((х, (68.9) с,а' = с! а, а =- 1, 2. (68.9') Тогда уравнения (68.8) запишутся в виде (Е»+1Угаа — Е)с!!'+ У', 1РВ„с„"=О, !1=1, 2, ..., (». (68,10) а,- в У Е»' мы сохранили индекс й, чтобы подчеркнуть все же, что речь идет о группе из !» состояний, принадлежащих уровню Е!,'. Для того чтобы уравнения (68,10) имели отличные от нуля решения, необходимо, чтобы определитель системы (68,10) обра- щался в нуль, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
