Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 59
Текст из файла (страница 59)
2Рк 122(х) =Лсос/-д ) = — [е ' +е г' /' (76>16) где л и д — некоторые параметры. Вычисляя теперь матричные элементы 1Р'рр по формуле (?6.11), мы получаем Юрр — — 2- (6.(2г/+Р— Р')+б( — 2[)+Р— Р )) (76.17) Подставляя это зпачспие Юрр в (76.14), мы ввиду наличия б-функций сразу выполняем интегрирование и находим Х / 'Рр Ь2,(к) рр — 2е ( Ч>р(х) =Ч>>>(х) 2 [ е(р [ 2д) — е( ) +е( — 2 ) — и( )~. (76.18) При малых ) это будет пригодное прпближеиие, ио оио отказывается служить в точках Е(р ~-2[))=Е(р), р=~>7, (76.19) так как в этих точках при любом Х добавок к Ч>" обращается в бесконечность. Чтобы построить приближеиио решение для р = '+ д, воспользуемся тем, что уровню Е (р) принадлежат всегда две функции Ч>р и !)>' „.
Самое общее решение, принадлежащее уровню Е (р), будет сро =- аЮ+ Й~"- р (76.19') !) Если возмушенне изображается кривой Ь (рис. 5?), то при достаточно глубоком минимуме могут образоваться дискретные уровни (на рисунке это изобра>кено пунктиром). Наш приблн>кенный метод не дает этих уровней, так как он применим лишь для больших энергий Е. «тл! ТЕОРПЯ ВОЗМУЩШП«П ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА З!7 (?6.20) и для р'= — Ч 6(О)[еб — — ', ~=-О. (76.20') Сокращая на 6(0), получаем систему уравнений — - [) =-О, ~б — - =О л Х 2 (76.21) для определения а и 6.
Легко видеть, что для р = — Ч из (76.10") получается опять эта же система (76.21). Система (76.21) однородна. Из равенства нулю ее определителя получаем  — -+-— (76.22) где а п 6 — неопределенные коэффициенты. Если в (76.7) подставить теперь ч«' вместо «рР, то, повторяя все выкладки, мы получим вместо (76.8) ®) ~~о йл И«и 2«! !«х'-' (76.8') Подставляя сюда и из.(?6,9), умножая на «Р". и интегрируя по х, найдел! вместо (76.10) и (р') (Е (Р') — Е (р)) = е (аб (р — ' Р ') + +[«6(Р+Р')) — (а)р',,„+[«Ю',с,) (?6,10') и, наконец, вставляя сюда значение Яг!РР и Цг из (76.!7), получим и (р')(Е (р') — Е (р)) =е [аб (р — р') + 86 (р+ р'))— — Е [а «6 (2Ч + Р— Р') + 6 ( — 2Ч-'т Р— Р ) !)+ +Р (6(2ч — р — р')+б ( — 2ч — р — ЯИ.
(76.10") Если р ~ «-Ч, то мы можем положить е=-0 и Взять либо с«== 1, (1 =О, либо с«=0, (з =-1. В первол! случае получим прежнее реше«ше (76.18), во втором случае получим решение «р „, приближенное к «г" „. ,((ля р=+ Ч пмеем из (76.!О") и(р')[Е(р') — Е(Ч))= [аб(Ч вЂ” р')+()6(Ч+Р')1— — -э- «а [6 (ЗЧ вЂ” р') + 6 ( — Ч вЂ” Р')1+ + б [6 (Ч вЂ” р')+ б (-- ЗЧ вЂ” р')1[. (76.10 ) Лля р'= Ч левая часть равна нулю и должна равняться нулю также и правая. Имея в виду, что при 3~0 6 (Ц=-О, мы получаем 6(О)~ — —,-б~=О з[в ПРОСТЕПШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУШЕНПП [ГЛ, Х[! а соответствующие решения а и р имеют вид а= [) для в=+в 2 (76.23) для и= — —.
2 (76.23') В результате для импульса р=[-д мы имеем решения Е =Е (+' д) + —, тР+«(х) = с»(т([+«+т(г+ «), (76.24) Е = Е (-! д) — 2, »Рж«(х) = с»(тР'~-« — т~>х«). (76.24') Иными словами, в точке р=-+ д внерг!«я претерпевает разрыв. Для импульсов, лежаших вдали от р= -д, как было показано, Е е = О и, стало быть, Е =. Е (р).
На рис. 58 изображена кривая энергии Е в функции р: пунктиром для невозмущенного движения, а сплошной линией для возмущенного. В точках р =:"' д получается разрыв величины Л. Другие разрывы р= + 2д, отмеченные на рисунке, получатся при расчете во втором приближении. (Вообще разрыв получается в точках р=- ~-пд, И=1, 2, 3, ...) Таким образом получается спектр зд р типа, рассмотренного в 2 55, именно, спектр, состоящий из зон дозволенной энергии от Е=О до Е=-Е(д) — — и от Л 2 Е = Е (д) + Л)2 до следующего разрыва и т.
д. и из зои запрещенной энергии от Е =- = Е (д) — Л/2 до Е=Е (д)+Л[2 и т. д. Эти запрещенные участки энергии отмечены на оси ординат штриховкой. Прн малой величине возмущенного поля Л-+-О разрывы становятся очень узкими. Следовательно, спектр частицы, движушейся в периодическом поле при малой амплитуде поля, является как бы обращением дискретного спектра, характерного, например, для атомов. В дискретном спектре «дозволены» только некоторые значения энергии Е„Е„..., а остальные значения «запрещены».
В рассматриваемом случае широкие участки энергии «дозволены», а некоторые узкие полоски запрещены. Рнс. ВЗ, Ооразованис разрывьв (запрещенных полос) в непрерывном спектре при наложении псриолиясского возмущения. з ж! твогия возмущении для нвпгвэывиого спвктгл 319 На рис. 58 помимо вычисленного нами разрыва в сплошном спектре Е показано еще плавное изменение Е в функции р вблизи этих точек разрыва. Это изменение могло бы быть получено и из нашего расчета, если бы мы учли, что решение (?6.!8) не годится не только в точках р=--+'1), где оно просто обращается в бесконечность, но и во всех точках, где !Е (р=" 2Ю вЂ” Е (р) !=), (76.26) так как в этой области импульсов добавок к Е, хотя и не бесконечен, но велик. Таким образом, следовало бы исследовать поведение решений в окрестности точек р=! д.
Этот расчет мы опускаем. Существенно, что наличие этих разрывов сказывается на виде функции Е (р) вблизи разрыва и, таким образом, меняет число состояний ф„ (которое мы можем считать пропорциональными Ер), приходящихся па интервал энергии ЕЕ. Именно, для невозмущениой задачи — = — а для возмущенной — =со вточпл и ар 4Е р' дЕ ках разрыва энергии.
Этот результат может быть получен и без специального расчета. В 9 65 мы показали в общем виде, что для частицы, движущейся в периодическом поле, групповая скорость ! дЕ ле 0 — — — —— а аа 4р на краях зон равна нулю. То, что в нашем примере групповая скорость на краю зоны равна нулю, следует уже просто из того, рд! что на краях зон мы имеем не бегущие !е "/ волны, а стоячие (76.24) и (76.24'). Глава Х!11 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ ф 77. Постановка вопроса в теории столкновений мнкрочастиц йу,=ЛЪ(е, Е, р) — '",, (77.1) где У вЂ” число частиц, проходящих через площадь в 1 см' в 1 стн в первичном потоке, а о(е, О,гр) — некоторый множитель пропор- 65 циональностн между дЖ, и Лг. Величина —, есть телесный угол Теория столкновений мнкрочастнц образует в настоящее время одну нз весьма обширных глав атомнон механики.
В нашем курсе мы не имеем возможности подробно излагать эту теорию и ограничимся лишь освещением самой постановки вопроса в теории столкновений и изложением простейших методов ее исследования. Представим себе некоторую частицу А, которую для определенности будем считать атомом, и падающий на нее поток частиц В, которые для определенности будем считать электронами. Поток частиц В пусть падает по направленно 02 (рис. 59). Электроны В, сталкиваясь с атомом, могут претерпевать изменение своего состояния в двух отношениях.
Во-первых, они изменяют направление своего движения, во вторьж, они могут отдать некоторую часть е своей энергии Е атому А, В этом случае мы говорим о неупругом столкновении, или неупругом рассеянии. Если а=О, то столкновение называют упругим (уппугое рассеяние). В опыте интересуются числом электронов (частиц В), проходящих в 1 ген через площадку д5 (рис. 59), поставленную перпендикулярно к лучу, проведенному из центра рассенвателя А. Обозначим поток частиц, проходящих через эту площадку и имеющих энергию Š— е, через дЛ'„.
Это число г(У„, пропорционально размерам площади Й5 (поскольку она мала) н обратно пропорционально квадрату расстояния до рассеивателя (г). Кроме того, Ыг„очевидно, пропорционально потоку частиц в первичном пучке Ж. Таким образом, теовия столкновении миквочйстиц 321 % тт1 с(11, под которым видна площадка с(Я из центра рассеивателя Л. Отношение — определяет вероятность рассеяния в угол с(11 с постйте чч терей энергии е. Зто отношение равно — ' = а (е, 9, ср) с(а1. отта (77.2) Из (77.1) следует, что а имеет размерность площади (так как а а а.т.а тв г I '/ Рис.
59. Столкновение частиц но квинтовой механике, А — рассеааающай атом;  — падающий пучок частиц. н~ие = а (е, 9, „) с(е ст11. (77.2') В этом случае а (е, 9, тр) с(е будет иметь смысл дифференциального сечения для неупругого рассеяния в угол с(а1 с потерей энергии в интервале е, е+с(е. [с(Лте) = —, [М1 = — „то [а1 = ?.а) и называется д и ф ф е р е н ц и- 1 1 ал ьн ым эффективным сечен нем (атома Л) для неупругого рассеяния в угол Ю с потерей энергии е. Величина а, = †' = ~ а (е, 9, тр) с(11, (77.3) где интеграл взят по полному телесному углу 4п, дает так называемое полное эффективное сечение для неупругого столкновения с потерей энергии е.
Ме=аеМ есть число (рассчитанное на 1 сек) частиц, потерявших при столкновении энергию е при первичном потоке М частиц через 1 см' в 1 сек. Если потеря энергии е может принимать непрерывные значения, то для потери энергии, лежащей между е, е+с1е, вместо (7?.2) следует писать 322 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ [ГЛ.
Х111 Величина о (е, О, Гр) будет в этом случае также называться днфференцнальным сечением для неупругого рассеяния, отнесенным к интервалу телесных углов Г(ьз н интервалу энергнн г(е. Обычное обозначение: «сечение на стераднан на еднннцу энергии». Заметим, что кроме в, 9, гр эффективное сечение может быть функцией н других параметров, характеризующих столкновение, например, спина частиц. Во всех случаях с помощью дифференциального эффективного сечения можно дать полную статистическую характеристику процесса столкновения.
Поэтому задача в теории столкновений сводится к вычнсленнго сечения о (е, О, гр). Как мы увидим, эта величина в свою очередь вполне определяется амплитудой рассеянных волн. Оставляя на время вопрос о ыетодах вычисления этой величины в квантовой механике, рассмотрам, в каках случаях следует для расчета столкновения применять квантовую механику, а и каких случаях — классическую механику. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
