Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(80.28) Контур интегрирования С показан на рис. 67. Функция (з(п и() ' имеет полюсы при целочисленных ( с вычетами, равными ( — ))' Поэтому вычисление контурного интеграла, в соответствии с теоремой Коши о вычетах, приводит к исходной сумме (80.15), если (е "г — !) пе имеет полюсов иа действительной оси '). бм ь"" Допустим теперь, что мат- (зй рица рассеяния Ю(й, () =езг"гия 1 как функция комплексной пе- о(=гт(Ю д о ременной ( имеет полюс при некотором значении ( = а (я) = р ( = ат (я) + га, (й) г в общем ел учае зависящем от Iг. -з -у ~ р г Впервые такие полюсы были р ( рассмотрены Т.
Редже (1959). т Поэтому их называют полю; с а м и Р е д ж е. Функции а (я), С' Со' описывающие движение полюса в комплексной плоскости ( в Рис. 87. Комплексная плоскость независимости от действительной ремеииоа (. переменной (г, называются траек- полюсы вункцин (ап1 мг ' отмечены кре. сгнками. С- исходный «онтур ингегрнроаення, дееормиронанный контур состоит иа Двформирусм Коитур ИНТЕГ- прямой С' н удаленного полукруга СП Порирования С в контур, состоящий из прямой С и бесконечно большего полукруга С". Предполагая, что подынтегральное выражение в (80.28) исчезает иа полукруге С" и что в правой полуплоскости 8((г, () имеет лишь один полюс в точке (=а((г) с вычетом, равным р ((г), мы получим из (80.28) ') А ((г, 8) = — ~ — „.„„(8 (Е, й) — Ц Р ( — соя 8) Ж + с + —,,, „) Р (и) Р„(й) ( — соз 8).
(80.29) г) доказательство этого предположения для широкого класса потенциалов, так же как и доказательство исчезновения интеграла (80,28) на бесконечном полукруге, было дано Редже (!939). н) Предположение об одном попике необязательно. Оно сделано лишь ради упрошения формул.
таогьья столкновении ьгл. хььь В этом выражении второй член имеет резонансный характер около точки а(1ео) =и, где и — целое число. Поэтому в окрестности этой точки можно отбросить интеграл по линии С'. Далее, э)ппа()ь) в окрестности этой же точки можно заменить его разложением в ряд з)п (иа(й)Д = ( — 1)" и [аь (йо) ()е — йо)+ ..+ 1ао()ео) + 1 (80.30) г е а,=(оса, ао=(пьа, а'("о)=( — ) и мнимая чьсгь ао ь' Хаь(/г) Ь ла переменной а считается малой неличиной.
Замечая далее, что ье — й,= —, (Š— Е,), мы можем представить амплитуду А (й, о) около точки Е = Е, н виде Š— Ео+ ь— 2 где Г= ' ае(йо)/аь'(йо). Если а,=О, то амплитуда А(я, 6) 2ао)ьо ьь имеет полюс при Е =Е„отвечающий связанному состоянию. При а, (йо) =6 0 амплитуда А (й, о) описььваег резонансное состояние с Е,=Е, и шириной Г. Описание рассеяния с помощью полюсов Редже в нерелятивистской квантовой механике совершенно эквивалентно описанию, вытекающему из решения уравнения Шредингера.
Полюсы Редже, описывающие связанные или резонансные состояния, описььвают те же связаьшые состояния и те же резонансные состояния, которые можно найти, решая уравнение Шредингера. В качестве простого примера полюсов Редже можно привести полюсы матрицы рассеяния Я (й, 1) в кулоновском поле притяжения, описанной в 2 82. Парциальные амплитуды рассеяния в этом случае имеют нид (см, формулу (82.12)) 5()г, 1) =- (80.
32) где $ = а,, à — гамма-функция. хьхоео)ь Гамма-функция имеет полюсы в тех точках, где ее аргумент ранен целому отрицательному числу или нулю. Поэтому парциальная амплитуда (80.32) имеет полюсы в комплексной плоскости 1 при 1=а(й) = — 1+ $ — и„ (80.33) где и,=О, 1, 2, ... Следовательно, для каждого значения числа и, имеется своя траектория Редже. Полюсы, соответстнующие реальным физическим состояниям, суть полюсы с целыми положительными значениями 1=0, 1, 2 ... Из (88.33) имеем для этих значений 1 . еог,го)ь й= „, ( +)+)). (80.34) 4 80 Общнп случдп Рдссеяння цнсперсионныс сООтношш1ия 345 Так как энергия Е определена чаем терм Бальмера Е =— л 2ав 2)216е л Лв (80.35) где а = и,+! + 1, а Е, — энергия основного состояния атома водорода.
Таким образом, зная матрицу рассеяния, по ее полюсам можно определить энергию связанных состояний'). Траектории Редже принято изображать так, что по оси ординат откладывается Рей а по оси абсцисс — полная масса (илн ее квадрат) частицы. В частности, для атома водорода, в соответствии с 180.35), будем иметь М = —; = Мо — — ае (80 36) 9 81.
Общий случай рассеяния. Дисперсионные соотношения Рис. 68. Траектории Редже дли атома С помощью понятия мат- мздорода. рнцЫ раССЕяНИя МЫ Можеы Па оси абсцисс отложена масса атома И е е, обобщать полученные в пре =81.— „-,''; ведиинкак — ','-, воосиординат— дмдущЕМ раЗдЕЛЕ рвэудбтатЫ орбитальное квентавос висла Йет. Каждая траектория соответствует определенному вна- И На Сдуцай НЕУПРУГОГО РЗС- вению радиального квантового висла я сеяния частиц.
ри 'этом =8,1,2,8,... неупругое рассеяние мы будем сейчас рассматривать феноменологическн как поглощение пучка первичных частиц в рассеивающем центре; именно, каждое неупругое взаимодействие частицы с мишенью выводит частицу из числа упруго рассеянных. Стало быть, в этом случае ампли- туда волны, упруго рассеянной центром, меньше амплитуды волны, падающей на центр.
То есть ~ 81!(1, и, следовательно, ') Приведенный результат был полуоси автором книги 1!946). е) См., например, П. Колл низ, Ю. Ск в ай рс, Полюсы Редже в физике частиц, «Мир>, 1971. где М, — суммарная масса не- взаимодействующих ядра и электрона. На рис. 68 приведены эти траектории.
Теория полюсов и траекторий Редже оказалась очень плодотворной в физике элементарных частиц'). формулой Е= — й', то мы полу. 2Р !гл. х2!! ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ фазы ти в этом случае являются комплексными: Т) ! = 22! + 2(е! (81.1) где (12(Е) описывает «поглощение» частиц центром. Нетрудно видеть, что теперь парциальное сечение упругого рассеяния напишется по-прежнему в форме Ое! ' (21! 1))! О'и (81.2) и совпадает с (80.18) при ()!= — О.
Вычислим теперь парциальное сечение неупругих процессов а','" Для этого заметим, что полное число частиц, поглощаемых центром (или претерпевающих там реакцию) в единицу времени, равно, очевидно, полному потоку, втекающему в этот центр. Этот поток равен (81.3) где интеграл взят по поверхности, окружающей центр (с!з = гх е!11), и под 2Р! подразумевается парциальная волна (80.20). Подставляя зту волну в (81.3), получим после интегрирования 1 = — (21+ 1) (1 — ~ Зе)2). (81.4) Парциальное неупругое сечение О!" будет равно — -, где 72 есть поток в падающен плоской волне вида е! ', равный —.
Следова!е тельно, а','" = — —, (21+ 1) (1 — ! 8! '). (81.5) Соответствующие полные сечения получаются суммированием по 1: О" = — з-~ (21+1) )1 — Зе!2, (81.6) О'" =. -",— ~' (21 + 1) (1 — ; 'Б! !2) (81.7) и, наконец, полное сечение всех процессов (упругих и неупру.- гих) равно О'=он+а'"= —, ~(21-1-1) (1 — цеБ!).
(81.8) Здесь Тхет! означает реальную часть 8!. Таким образом, неупругое рассеяние может быть описано с помощью введения комплексных фаз. Формально это можно рассматривать как введение комплекс-. ного потенциала У(г)=У2(г)+Ы2(г), так что показатель пре- овший слхчди рассеяния. диспгвсионныв соотношения 842 Е1 ломления среды и (г) = у 1 — — становится также комплексным, Е В этой связи полезно привести обобщение уравнения непре- рывности на случай комплексного потенциала. Выписывая неста- ционарное уравнение Шредингера для У(г) =Е11(г)+1Уа(г) и повторяя выкладки э 29, легко получить уравнение непрерыв- ности в следующем виде: дм .. 2 У~ — + с)1ч 1 = — ш. дт Плотность частиц ш н плотность потока вероятности 1 по-преж- нему определяются формулами (29.4) и (29.5), а член в правой части возникает за счет того, что !тпУ(г) -~-О.
Если Ув с О, то а происходит поглощение частиц с характерным временем т= —. У,.' Если же Ув) О, то имеет место рождение частиц. Рассмотрение сложных систем, например, атомного ядра, с помощью комплексного потенциала называется о п т и ч е с к о й моделью, Локажем важную теорему, устанавливающую связь между мнимой частью амплитуды рассеяния вперед (0=0) и полным сечением. Из (80.15) и (80.21) следует, что 1т А (0) = — — ~а (21+ 1) (1 — Ке 81), (81.9) 1-В где 1гпА означает, как обычно, мнимую часть. Сравнивая это с (81.8), получим 1гпА(0) = — -и'. (81.10) Это и есть так называемая оптическая теорема. Она позволяет определить мнимую часть амплитуды рассеяния для 0=-0 нз полного сечения.
Важные соотношения между мнимой и действительной частью амплитуды А (й, 0) могут быть получены из аналитических свойств этой амплитуды, частично уже рассмотренных выше. Эти соотношения называются д и с п е р с и о н н ы м н. Они основываются на принципе причинности. Принцип причинности предполагает, что состояние квантовой системы в момент времени 1 зависит только от ее состояния в предшествующие моменты времени 1'(1. В квантовой механике этот принцип содержится в уравнении Шредингера, согласно которому приращение волновой функции за время с(1 определяется значением функции в момент времени 1 (ср. 9 28) '). Прямым 9 0 причинности в квантовой механике см.
подробнее 4 140 и дополнение Х1!. теОРия ОТОлкнОВентш 348 1гл. х!и следствием принципа причинности является возможность аналитического продолжения амплитуды рассеяния в комплексную плоскость энергии Е. В дополнении Х11 на простом примере показана связь причинности с аналитическими свойствами рас- Е сеянной волны по комплексной переменной м =- — , а Наряду с комплексными значениями энергии Е можно рассматривать комплексную плоскость волнового вектора )т= 'кг2л1Б и Наиболее простыми аналитическими свойствами в )т плоскости обладает амплитуда рассеяния вперед А (м, 0) =А ()т). Зта амплитуда может быть аналитически продолжена на все комплексные значения переменной (с, за исключением отдельных точек на мнимой оси, в которых она имеет полюсы').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
