Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Сгл. хсч ТВОРпя квсснтОВых пеРехОДОВ Подставляя это значение с!схс(() с!у в выражение для вероятностей (84.16) или (84.17) и интегрируя по Е, мы получим нуль, если интервал интегрирования не содержит точки резонанса, и конечное число, если содержит эту точку. Именно, из (84,16) и (84,17) получаем Ри(Е а Ь) СЫПЬ =-„— ) (реаь, и!'р(Е, а, Ь) с(ас(Ь, (84.20) Р„,В„В(Е, а, Ь) с(ас(Ь == '- (%'В„ь „,Вен!!Вр(Е, а, Ь) с(а с(Ь, (84.21) причем здесь подразумевается то значение Е, которое следует из условий резонанса (84.18), или (84.18') соответственно.
В частном случае, когда за параметры а, !1, у взяты три компоненты импульса частицы р„, ра, р„целесообразно рассматриВать импульс конечного состояния в сферической системе координат р, В, ср. Тогда имеем с(р, с(ра с(р, = Р' С1р СИ, СИ = В!и Вс(В с(ср. (84.22) Энергия частицы есть Е=~Р—, так что р'с(р=-р' ~ с(Е =ррс(Е. 2сс ' ссл Внося это в (84.22) и сравнивая с (84.19), находим р(Е, В, ср) =р(Е) з(ВВ, р(Е) =рр= — (29)н Еч*. (84.23) Подставляя это в (84.20) и (84.2!), находим Р (Е В ср) с(П=-„- ! У'Вае,л!'р(Е) сЯ.
(84 24) Р„,„,,(Е, В, ср) с(П=~„'-~(рс ..В.,~'р(Е) с(и. (84.26) Эти формулы дают вероятность перехода в 1 сек из состояния и илн а„Ц, у, в состояние с энергией Е, причем импульс частицы попадает в телесный угол с((с. 9 8ВР. Переходы под влиянием возмущения, не зависящего от времени Если возмущение не зависит от времени, то мы можем искать Ви -' — „'с стационарные решения ср (х) е " уравнения Шредингера и, следовательно, свести задачу к решению уравнения Й'ср (х) + Ф (х) ф (х) = Е!р (х), методы приближенного решения которого были уже рассмотрены. Однако можно ставить вопрос и в духе теории квантовых пере- э за! пгнвходы пни возмтшиниях, нн злвисящих от вввмвнн 887 ходов, Обе постановки вопроса эквивалентно ведут к одним и тем же результатам').
Чтобы получить вероятность перехода под влиянием возмущения, не зависящего от времени, достаточно в формулах (84,16) и (84.17) положить го=О. Тогда условия (84.18) и (84.18') будут иметь вид Е(ач р, у)=Е„или Е(а, р, у)=Е(и ()а уа) т. е. переходы возможны лишь без изменения энергии. Это следует из общей теории, так как энергия в рассматриваемом случае есть интеграл движения. Следовательно, переходы под влиянием возмущения, не зависящего от времени, могут быть лишь такого рода, что происходит перераспределение энергии между частями системы или изменяются какие-либо другие механические величины (например, направление импульса частицы). В непрерывном спектре формула для вероятности перехода в 1 сек йз состояния Е(сс„ра, уч) в состояние Е„а, а+с(а, Ь, Ь+с(Ь на основании сказанного получается прямо из (84.21) Равич~ (Еоо а, Ь) !(а дЬ =.а ! у!7е,аь,а Вот ~ р (Еч, а, Ь) ЙУс(Ь, (85,2) и если взять за и, (), у импульсы, то Р о,о о (Еч,'О, ф) сИ = а- ~ Юге е, о о о ) р(Ео) стьз.
(85.3) Эти формулы совпадают по виду с (84.21) и (84.25) и отличаются от них лишь резонансным условием (85.1), выражающим закон сохранения энергии. Заметим, что в случае не зависящего от времени возмущения не имеет большого смысла рассматривать переходы только между дискретными состояниями, так как условие равенства энергий начального и конечного состояний в этом случае может соблюдаться лишь в исключительных случаях. ') Ср. $ ! !2, где рассмотрено столкновение методом переходов, с 4 78, где та же задача решена методом стационарных состояния.
Глава Х'т' ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА АТОМНЫ МИ СИСТЕМАМИ $86. Вводные замечания Вопросы, связанные с проблемами взаимодействия света и микрочастнц в их полном объеме выходят за рамки квантовой механики. Они не могут быть рассмотрены без привлечения дополнительных принципов, касающихся законов возникновения и исчезновения электромагнитного поля. Однако мы можем продвинуться довольно далеко, опираясь на полуфеноменологическую теорию излучения Эйнштейна, существенно базирующуюся на законах сохранения энергии и импульса прн взаимодействии между квантовыми системами и полем электромагнитного излучения.
В самом деле, поведение квантовой системы в заданном электромагнитном поле вполне входит в круг механических задач. Поэтому мы можем, пользуясь теорией квантовых переходов, вычислить вероятность того, что под влиянием падающего света атом перейдет в возбужденное состояние или, напротив, из возбужденного в более низкое.
В первом случае энергия атома увеличится на величину Е„ — Е„, если Е„ — энергия исходного состояния, а Š— энергия возбужденного, во втором — на эту же величину уменьшится. Рассмотрим сначала первый процесс. Если мы будем считать, что добавочная энергия атома Š— Е, заимствована от электромагнитного поля, то тем самым вероятность перехода атома из состояния Е„ в Е мы отождествляем с вероятностью поглощения порции энергии света, равной Е„ — Е„ т.
е, как раз с той величиной, которая встречается в теории Эйнштейна (вероятность поглощения кванта света). Чтобы это отождествление было возможно (не противоречило квантовой механике), необходимо, чтобы переход атома из Е„ в Е„ был возможен лишь в том случае, когда разность энергий Е„ — Е„ равна энергии кванта действующего света йв, т. е. когда соблю- ВВОдные зхмечлиия Зь9 дсно условие частот Бора: йга = Е,„— Е„. (86.1) Из теории квантовых переходов мы знаем, что это как раз имеет место, так как переход Е„-~-Е возможен лишь тогда, когда в спектре внешнего воздействия присутствует частота ы.= Ещ — Еп = ы „.
В нашем случае это означает, что в спектре падающего света должна содержаться эта частота, иными словами, должны иметься кванты света с энергией е = йы = Е,„— Е,. (86.2) Более того, мы знаем, что переход Е,-~Е целиком осуществляется той частью возмущения, которая гармонически зависит от времени с частотой га „. Таким образом, если мы представим себе, что падающий свет разложен на совокупность монохроматических волн, то переход Е„-+ Е„полностью реализуется за счет той волны, которая имеет частоту га „н соответствующие кванты а = йга „. Переход атома под влиянием света из возбужденного состояния Е в низшее Е„ если опять применять закон сохранения энергии, нужно будет рассматривать как излучение кванта света а = Š— Е„.
Вероятность этого перехода мы также можем вычислить. Оиа будет совпадать с вероятностью вынужденного излучения в теории Эйнштейна (вероятность излучения под влиянием излучения). Мы не можем, однако, в рамках механики рассматривать третий процесс — сп он та н ное излучение атома, происходящее и в отсутствие внешнего действия — в отсутствие, следовательно, падающего света.
Если атом находится в возбужденном состоянии в отсутствие внешнего воздействия, то квантовая механика утверждает, что он будет сколь угодно долго находиться в этом состоянии. Состояния с определенной энергией, как мы знаем (9 30), стационариы, а энергия есть интеграл движения. Между тем опыт показывает, что атом сам собой будет переходить в нормальное состояние, излучая свет, Это противоречие не должно вызывать удивления. Мы с самого начала рассматриваем чисто механическую проблему: движение электрона в заданном внешнем поле (например, в электростатическом поле ядра), и не учитываем того, что движущийся электрон создает электромагнитное поле, которое действует и на него самого.
Короче говоря, мы игнорируем обратное действие поля электрона на самый электрон. С такого же рода положением мы встречаемся и в классической механике. Если мы рассматриваем движение заряженной частицы, например, под влиянием квазиупругой силы, то мы 370 нзлучшп!е, поглоцшн!!ц !! Рлсссянив светл 1гл. хч получим ответ, что частица, имевшая вначале энергию Е, будет сохранять это значение эперпш и в дальнейшем. Если же мы учтем, что заряженная движущаяся частица создает электромагнитное поле, которое действует на нее, то мы обнаружим, что частица на самом деле будет терять свою энергию — излучать свет. Классическая теория дает, как известно, следующую форлл мулу для энергии --, излучаелюй в ! сок частицей, гармонически г(! колеблющейся с частотой ш, и обладающей электрическим моментом') 1),х: пу з~ (О ") (86.3) где (0„,)э означает среднее по времени от (0„„)э.
Обратное действие этого излучения тормозит частицу, так что оиа постепенно останавливается. Эта задача об излучении с учетом обратного действия выходит по существу за рамки квантовой механики; она относится к квантовой электродинамнке. В этой книге мы не предполагаем касаться проблем квантовой электродинамики, далеких еще от полного решения '). Мы обойдем этот пункт, постулируя в соответствии с теорией Эйнштейна, что такое спонтанное излучение существует. Имея возможность на основе квантовой механики вычислить вероятность поглощения света, мы, опираясь на устанавливаемое в теории Эйнштейна универсальное соотношение (5.11) между вероятностью поглощения и вероятностью спонтанного излучения, сможем вычислить и эту последнюю величину.
й 87. Поглощение и излучение света Для решения задачи о поглощении или излучении света, согласно изложенному в предыдущем параграфе, иам следует подсчитать вероятность перехода атома с одного квантового уровня на другой под действием падающего света. Для этого следует прежде всего определить взаимодействие оптического электрона в атоме со световой волной. Предположим, что мы имеем дело с поляризованным светом, электрический вектор которого есть о(х, (). Помимо электрического поля имеется еще и магнитное Ю(х, (); однако действием последнего на электрон в сравнении с действием электрического ') См„например, И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
