Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 67
Текст из файла (страница 67)
В э За такого указання не давалось. ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ 1гл. х!ч важными задачами из теории квантовых переходов являются задачи на вычисление вероятности перехода из состояния с одной энергией Е„в состояние с другой энергией Е или, как говорят, вероятности перехода с одного квантового уровня на другой. В связи с этим заметим, что если частица (или в общем случае система) находится под действием зависящего от времени внешнего поля, то понятие потенциальной энергии, а вместе с тем и полной энергии лишено смысла (это не Относится к кинетической энергии).
Поэтому в общем случае вопрос о переходе частицы с одного квантового уровня на другой получает смысл лишь тогда, когда причина, вызывающая переход, действует в течение конечного промежутка времени, скажем, От 1=0 до 1=-Т. Вне этого промежутка полная энергия является интегралом движения и может быть Определена путем надлежащих измерений (см. Я 111 и 112). Решение уравнения Шредингера, определяющего ф(х, 1) по ф(х, О), представляет большие трудности. Результаты, имеющие общее значение, могут быть получены лишь в тех случаях, когда переходы с одного уровня на другой вызываются слабыми воздействиями, так что эти воздействия можно рассматривать как возмущение.
При этом условии уравнение Шредингера может быть написано в виде 187 =Й«(х)ф+(Р(х, 1) ф, (83.1) где Й'(х) естЬ оператор полной энергии системы в отсутствие Возмущения, а )Р' (х, 1) — возмущение. При малом возмущении оператор Й'(х) можно рассматривать как оператор полной энергии, и поэтому в этом специальном случае включение и выключение )Р'(х, 1) имеют второстепенное значение.
Для нахождения вероятности перехода Р,„„(1) с уровня Е„ на уровень Е„обратимся к представлению взаимодействия (см. э" 45). В этом представлении решение уравнения (83.1) ищется, согласно (45,6), в виде (83.2) А '~Ф (х 1) В дальнейшем удобно перейти от «х»-представления к энергетическому «ЕА-представлению.
Для этого разложим искомую функ. цию Ф(х, 1) в ряд по собственным функциям ф„(х) оператора Й,: Ф (х, 1) = ~ , 'с« (С) ф» (х). Подставим это разложение и формулу (83.2) в уравнение (83.1). Умножая результат слева иа ф,",(х) н интегрируя по х, получим уравнение Шредингера в представлении взаимодействия, ПОСТАНОВКА ВОПРОСА записанное в энергетической переменной И вЂ” = р )Р' «(!)е т«с«(1). ась (О %~ св Я (83.3) -байи — — е«с Здесь принято во внимание, что е А»р«(х)=е " «ф,(х), Величина 'Р' « = )Р'„«Я ес"~«' = е "т» ')»р«(х) Ф (х, ()»Р«(х) с(х (83.4) есть матричный элемент энергии возмущения 1Р'(х, () в представ- Е,„— Е« ленин взаимодействия, а ы,= я — боровская частота перехода Е„- Е,.
В начальный момент предполагается, что система находится в состоянии Е=Е„. Следовательно, при т'=-0 с«(0) = 1, если й = и, и с«(0) = О, если й ~е и. (83.5) Вероятность найти систему в состоянии Е =Е в момент времени') 1 равна (с (() («. Поэтому вероятность перехода из Е„в Е к моменту ( равна Отсюда с"'(() = —.„~ )Р' (т) е~ „,„а с(т+6 0 Подставляя это первое приближение для с" ' (() в правую часть (83. 3), мы найдем уравнение для второго приближения:  —, = ~~ (р' «яе «с»" ((). «с,'и (О (83.10) «) См.
ф 22. Р . (() = ! е (() ~'. (83.6) Таким образом, дело сводится к определению величин с«(1) из уравнений (83.3) с начальными данными (83.5). Мы будем рассматривать Ф(х, () как малое возмущение. Для решения уравнения (83.3) заметим, что если совсем игнорировать Ф, то величины с«(() будут постоянными. Поэтому в качестве нулевого приближения для с»(() можно взять их начальное значение (83.5) с«(() =5„». (83,7) ,Подставляя эти значения в правую часть (83.3), мы найдем уравнение для первого приближения с"'((): сс"' 03 (й —" = ~~~ Ю' » (() е' т«'с» = 1Р'„„(1) е'" '. (83,8) ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ 1гл.
хгч 362 Так как со" (1) суть опять известные функции времени (83.9), то, интегрируя (83.10) по времени, мы найдем с"'(1), т. е. второе приближение. Эту процедуру можно продолжать и дальше, и она ведет к точному решению для с (1). Однако, вообще говоря, придется брать много приближений или ограничиваться малыми отрезками времени Е Если же (Р'(х, () мало, то достаточно ограничиться первым или вторым приближением. В дальнейшем мы рассмотрим различные специальные случаи возмущений и систем.
й 84. Вероятности переходов под влиянием возмущения, зависящего от времени Определим теперь вероятность перехода системы из квантового уровня Е„в Е под действием возмущения %'(х, 1), зависящего от времени. Допустим, что возмущение равно нулю для ((О и для 1)Т. Считая, что Ж',(1) столь малы, что первое приближение пригодно и для 1= Т, мы получаем из (83.9) амплитуду с,'„"(1) для 1~Т в виде т + со с" = —,„~ ((с „(т) е" ~1(т=.—,„~ ()ч (т) е'"со и е(т, т ~ и. (84,1) (Заметим, что с,",' для () Т от времени не зависят, так как энергия есть интеграл движения.) Полученное выражение для с"'(1) имеет простое значение. В самом деле, возмущение (ет(х, 1) может быть разложено в интеграл Фурье + о» (Р (х, 1) = ~ )1т (х, ь) е-"' Йо.
(84.2) Отсюда по теореме Фурье получаем + о» 1(7 (х, а) = — „~ ((т" (х, 1) екм с(1. 1 (84.3) В' „(() = ~»)»' (х) ((7 (х, 1) ф„(х) с(х= +со + со + о» ~ е '"'йо ~ Ч»" (х) Ю'(х, 1о)ф„(х) е(х= — ~ ел'"К„„(в)йо, (84.4) Матричный элемент возмущения (83.4) на основании (84.2) может быть написан в виде з ы1 пеРеходы пРи Возмущениях, 3АВисящих От ВРемени 363 где йг„,„((В) есть матричный элемент компоненты Фурье частоты (ь. Применяя к (84.4) теорему Фурье, находим (84.5) Сравнивая это с интегралом в (84.1), мы видим, что „> 2н слп = 7); Рртп ((вал) (84.6) При этом наше приближение законно, если с'" мало (это— необходимое условие, так как с'„" ,(О) =О).
Согласно (83.6) и (84.6) вероятность перехода из состояния Е„в состояние Е„будет равна (84. 7) Эта формула содержит важный результат. Как мы видим, Р „~ь0 только тогда, когда %' „((В л) ~ь О, т. е. переход из уровня Е„ в уровень Е„ возможен лишь в том случае, когда в спектре возмущения содержится частота ы„,„= "„". Иными словами, переход носит резонансный характер. 77оложение выглядит так, как если бы квантовая система являлась совокупностью осциллял(оров с собственными частотами, равными частотам Бора (В „.
При действии внешнего переменного воздействия возбуждаются только те осцилляторы, частоты которых совпадают с частотами, присутствующими во внешнем воздействии. Ниже мы приведем важные приложения формулы (84.7) к оптическим вопросам. Формула (84.7) выведена для переходов в дискретном спектре. А(ля переходов в непрерывном спектре она должна быть несколько видоизменена. Рассмотрим необходимые видоизменения для переходов из дискретного спектра в непрерывный, считая, что система имеет и тот и другой спектр (таков, например, спектр атомов). Состояния непрерывного спектра характеризуются непрерывными параметрами. Мы обозначим их через с(, р, у.
(В качестве таковых могут быть, например, три компоненты импульса частицы р„, р„, р,.) Пока будем явно писать лишь один из этих параметров и обозначим его через а. Энергия будет функцией этих параметров Е = Е (и). Соответствующей волновой функцией будет (Р„(х). Тогда в (83.2) наряду с суммой по состояниям дискретного спектра появится еще интеграл по состояниям непрерывного спектра (интеграл по и) е„ е (а) )Р(х, 1)=х,сь(1)(РА(х)е " +')с,(1)ф,(х)е " (йх. (84,8) теогия хвлитовых псгеходов (гл.
х)ч 364 Считая, что функции )[),(х) нормированы к б (я в я') и повторяя выкладки, ведущие от (83.1) к (83.8), мы найдем, что Е <а) — Ел а~ < лс о (84.9) если система первоначально находилась в состоянии Е„, причем [Р ал (!) = ~)[)<л< (х) [Р' (х, !) тлл (х) <[х. (84.10) Дальнейшие расчеты зависят от предположений о характере зависимости [[с"(х, !) от времени. Мы предположим, что оно монохроматично (при переходах в дискретном спектре обязательно нужно учитывать немонохроматичность реальных возмущений, в случае же переходов в непрерывный спектр это не обязательно и реальное возмущение можно считать монохроматическим), Итак, будем считать, что [[7 (х, !) = [)с (х) е'"'+ [Гл (х) е-'"". (84.11) Тогда [рал И) = [[Галг' + [г' але ' (84.12) — [Е <а) — Ел+ ла) С < ! е" л саа'= а Г- а [Е(а) — Ел+а<а! -„' [Е<а) — Ел-«а)С с< л + Пр [[<"ал а [Е(а)-Š— ам! Так как «))О, Е(я))0, Е,~О, то первый член мал; второй член велик'для Е(я)=Ел+псе.
Поэтому мы ограничиваемся вто- рым членом и получаем для вероятности перехода из Ел в интер- вал я, я+<[я к моменту времени Г: а [е(а) — ел-с)а[с с е — ! [е,э,[я ал ' [(р <л ял <[я. (84.13) — [Е (а) — Ел — Яы) с а Вероятность же перехода из Е„ в я, я+ <[я в 1 сек равна ~~- е — л( Последний множитель в (84.14) для больших 1 отличается от 8-функции только множителем и.
Поэтому вероятность Р,„<)я где яг,л и [г"ал„ суть матричные элементы компонент Фурье от [[с (х, !). Подставляя (84.12) в (84.9) и интегрируя по времени, мы находим й 81) пеРеходы прп Возмуше11иях, злнисяших От ЕРеме11и збб можно написать в виде Рп (со) г(гх = -„- ~ %'ап (т 6[Е (со) — Еп йш1 дст (84 15) Если состояние непрерывного спектра характеризуется несколькими параметрами а, ~), у, то подобным же образом получим для вероятности перехода из состояния Еп в область со, со+с(ад (3, р+г((3; у, ?+1(у в 1 сек: Р,(со, (), у) ИадР ду= = — „~ йу„ат, „~'6(Е (а, 'и, У) — Е,— йотт(сЪг(() дУ.
(84.16) Нетрудно также получить вероятность переходов в непрерывном спектре. Именно, беря начальное состояние тр,мы, (т. е. спят (0) = 6 (а — гхо) 6 (р — ро) 6 (у — уо)1, аналогичным путем получим для вероятности перехода в 1 сек из ао, ро, у, в интервал со, со+ г(ст; 1, () + Ф; у, у+ ду: Р„а,т„(сс, 1, у) с(соФ ду= а ~ й'аат,а43~то ~ 6 [Е (1х~ ()~ 7) Е (1хо ()о~ уо) йш) дсо 1(() ау (84.1?) Эти формулы показывают опять-таки резонансный характер перехода, так как найденные вероятности отличны от нуля лишь для переходов, для которых Ьо = Е (со, р, у) — Еп =- дгоаат, и (84.18) или Йш = Е (со й~ 7) Е (сто~ [)о~ уо) = йотаат~ аеьто (84. 18') т.
е. частота внешнего воздействия равна частоте Бора для возмоэкного перехода. В точке резонанса вычисленные вероятности обращаются в бесконечность. Однако по соседству с этой точкой они равны нулю '). Поэтому вероятность перехода в сколь угодно малый интервал энергий, содержащий точку резонанса, получается конечной. Чтобы в этом убедиться, достаточно взять вместо параметров а„ Р, у, нумерующих состояния непрерывного спектра, какие-либо новые параметры, в число которых входит энергия. Пусть это будут параметры Е, а, Ь.
Они суть функции со, р, у. Имеем г(ас(р с(у=р(Е, а, Ь) г(Еда дЬ. (84.19) р(Е, а, Ь) называют плотностью с осто я ни й на инпгервал энергии, на интервал а, на интервал Ь. ') Это не снесем точно, так кан, согласно (84ЛЛ), мы имеем дело лишь с нрнблнженнем к б-функцнн, а не с самой б.функцней, См. 4 ы2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
