Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Е. Т а м и, Основы теории электричества, «Наука», 1976. в) Квантовая теория излучения дает возможность обосновать теорию Эйнштейна. См. ~о этому поводу книги: П. А. М. Ди рак, Принципы квантовой механики, Физматгнз, 1960, и В. Г а йтае р, Квантовая теория излучения, ИЛ, !966. 5 ат! поглощение и излуч>ение спгта 37! поля можно пренебречь'). Действие электрического поля существенно различно, смотря по тому, меняется заметным образом поле Ж(х, !) на протяжении атома или нет.
Легко дать критерий, по которому можно различить эти два случая. Пусть падающий свет монохроматичен (нли почти монохроматичен), и имеем длину волны, равную ). Тогда й(х, 1) =-йесоз(юе( — — 'ь ) (87.1) (здесь ше=2лсу)). Нас, разумеется, интересует поле не во всем пространстве, а только внутри атома. Пусть размеры атома равныз) а. Возьмем начало координат в центре атома. Тогда в пределах атома фаза волны 2пх)Х меняется на величину порядка + 2па7), и если размеры атома гораздо меньше длины волны падающего света, то изменением фазы внутри атома можно пренебречь, так что в каждый момент времени поле внутри атома может быть описано выражением м (х, 1) = на сОз (шв1) (87.1') и„следовательно, одинаково во всех точках пространства внутри атома.
Условие малости размеров атома в сравнении с длиной волны соблюдается в широких пределах (прн Х)) 10-з си) (а — 10-' сж). Ультрафиолетовый и видимый свет имеют длины волн, в ть>сячи раз больше 10-' см, так что условие ),))а для такого света вполне соблюдено. Иначе обстоит дело в области рентгеновских лучей, так как в этой области длина волны далеко не всегда превосходит размеры атома'). Задача о действии таких лучей в этом случае сложнее. Мы начнем с рассмотрения первого случая, когда длина волны гораздо больше размеров атома. Прн этом мы освободимся от частного предположения о монохроматичности света, считая все же, что встречающиеся в спектре длины волн велики в сравнении с размерами атома.
Внутри атома будет тогда действовать электрическое поле света, одинаковое на всем протяжении атома, но зависящее от времени, обозначим его через б =Ж(1). (87.2) т) Сила, действующая на электрон со стороны магяитпого поля, есть сила е Лоренца Г = — 1чЯй'1, где ч — скорость электрона, с — скорость света. Сила с действия электрического поля есть еК. В световой волне м и й>э одинаковы, поэтому действие магнитного поля в с/с раз меньше. Скорости электрона в атоме в >00 раз меньше с, поэтому магнитное действие в >00 раз слабее.
з) а есть радиус области, где волновые функции заметно отличаются от О. з) Часто интересуются действием ревтгеповских лучей на внутренние электроны (К.оболочка). Размеры К-оболочки для элементов с большим атомныл! номером гораздо меньше оболочки, образуемой внешнил>и электронами. Это позволяет расширить область длин волн, для которых можно пренебречь изменением фазы поля.
З72 ИЗЛУЧЕНРП:, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯР!ИЕ СВЕТА РГЛ. ХЧ При сделанных нами предположениях легко, не прибегая к общему гамильтониану для электрона во внешнем электромагнитном поле, определить вид взаимодействия электрона с электрическим полем света (87.2). Поле (87.2) выводится из скалярного потенциала гр(г, !) = — Жг= — (о„х+Жау+о,г), так что силовая функция для электрона, находящегося в точке г, в этом поле будет равна %'(г, 1) = — егр=+ е(8'г) = — о0, (87,3) где 0= — гт есть электрический момент электрона, если г есть радиус-вектор, проведенный от ядра к электрону').
Вводя еще единичный вектор 1, параллельный направлению поля Ж(!) =1 о'(!), мы можем написать (87.3) в виде )Р' (г, !) = — о (!) (1 1з). (87.4) Если через Не обозначить оператор полной энергии электрона, то уравнение Шредингера для волновой функции тр(г, !) будет (гг - — = Йеф+ )Рт (г, !) тр. (8?.5) 4ят 3 Ртл дз ! )Ртл (Сота) 1 > (87.6) ГДЕ (Рт„„(ОЗ„„) ЕСТЬ КОЭффИЦИЕНт ФУРЬЕ ДЛЯ ЧаСтОтЫ Ютл От Матричного элемента энергии возмущения 1Р'(г, !).
Согласно (87.4) т) Направление электрического момента считают от отрицательного заряда к положительному, а вектор г направлен обратно: от полоэкительного ядра к отрицательному электрону, э) Так, поле солнечного света равно О,! ед. СГСЭ в то врелРя как атомное поле е' равно — = !О' ед. СГСЭ. Величину В' (г, 1) будем рассматривать как возмущение, что оказывается возможным при всех практически достижимых интенсивностях света '). Мы поставим теперь задачу вычислить вероятность перехода атома под влиянием светового поля с квантового уровня Е„(тр = ф„) на квантовый уровень Е (ф=ф ). Для того чтобы можно было полностью применить к этой задаче теорию квантовых переходов, развитую в 3 84, мы сделаем предположение, что поток света начал действовать в момент времени ! = О и был прекращен в момент времени 1 =Т.
Если Т гораздо больше периода колебаний световых волн, то такое включение и выключение не повлияет на спектральный состав падающего, света. Согласно (84.7) вероятность перехода Р „из состояния Е„ в состояние Е„к моменту времени 1, равному или большему Т, выражается в виде ЗТЗ ПОГЛОЩЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА имеем %' „ (С) = 1 К ))Г (Г, 1) СГО ДО = = — о'(() ~ лР" (10) лй„до = — е (1) (10„„), (87.7) где 0 „есть матричный элемент вектора электрического момента, имеющий компоненты Р,"л„= — е ~ лу,ьхсй„йо, Рыл = — Е ~ ЛРтрФл <~О, Р*л = — Е Г)ср,кгср, ГЬ. (87.8) Из (87.7) следует, что компонента Фурье от 1У"„„(Г) равна компоненте Фурье от Ж(1), умноженной на — (!О,„„) (так как О, ие зависит от времени).
Таким образом, мы получаем, что Му „(« .)= — 8(ГВ„„) (10„„), (87.9) где через е(ГВ „) обозначена компонента Фурье от е (1), принадлежащая частоте ГВ „, т. е. величина +СО т о(4В „) = — ~ е(с)е '"' ' й=-- ~ 8(1)е '~ ' Ш, (87.10) Следовательно, вероятность перехода из Е„в Е, согласно (87.6), равна Р „= —,, ~ 8(ес „) )е ',!О „!'. (87.11) равна +ОС +С С +СО +СО 4; ~ о'(г)И=4 ~ Ю ~ 8(ГВ)еи"'ГЬ ~ е*(ГВ')-'~'йо'.(87.12) Интегрируя сначала по ( и замечая, что +СО ~ ес Вл-ОУ> 4((= 2пб (Г — ы') Квадрат компоненты Фурье электрического поля (8(ы „) !' мы можем выразить через количество протекшей за время Т эиергин.
В самом деле, плотность электромагнитной энергии равна— 8С (е) (знаменатель 4п, а ие 8п, так как имеется еще равная электри- лил ()) ческой магнитная энергия). поток энергии равен 4„(где с — скорость света). Отсюда вся протекшая через ! см' энергия 374 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯИИС СВЕТА !ГЛ. ХЧ найдем, что +со -4л.~~ (-) +Со ио 2 ио о (так как Ж (ы) = 8л' ( — ы) ввиду действительности т (1)). Если через Е(ы) обозначить протекшую энергию на интервал частоты с!ы, то Е= ~ Е(ы) йо; о сравнение с предыдущей формулой дает: Е(ы) =с', Ж(ы) !л. Таким образом, (87.13) 4л' ~ 10 ~~ Е (тти) с (87.14) С помощью (87.15) находим, что вероятность перехода в единицу времени будет равна 4лл Рти = Гь ~ 10ти ~ р (ылл).
(87.16) Обозначив еще угол между вектором электрического момента 0 „ и направлением поляризации светового поля 1через 9„„, мы получим окончательную формулу для р л в таком виде: 4лл Рти= гл ~ 0тл~ соь сциир(ытл) (87.16') Из этой формулы мы видим, что для вычисления вероятности перехода достаточно знать матрицу электрического момента 0 „, Количество протекшей энергии Е (ы) равно, очевидно, плотности лучистой энергии р(ы) на единичный интервал частоты ы, умноженной на скорость света и время протекания энергии 7, т. е. Е (ы) = р (ы) сТ. (87.15) На основании (87.14) и (87.15) мы можем определить вероятность р „перехода из состояния Ел в Е в единицу времени.
Для этого нужно разделить Ртл на время, в течение которого действует свет, т. е. на Т: тл Р ртило Т $881 КОЭФФИЦИЕНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ Зтб целиком оиределяюи1уюся свойствами рассматриваемой атомной системы. К этому важнейшему обстоятельству мы еще вернемся в дальнейшем, а теперь установим связь вычисленной нами вероятности р„„с коэффициентами Эйнштейна, рассмотренными в ~ 5.
В 88, Коэффициенты излучения и поглощения Согласно теории Эйнштейна вероятность поглощения кванта света т8аз=-Š— Ел, имеющего полЯРизацию и и РаспРостРанЯющегося в телесном угле Ю в 1 сек (см. (5.2)), равна йуу',=о„",р„(оз, й) Ю. (88.1) (88.5) Нам нужно теперь подробнее разобраться в значении той или иной поляризации света. Формула для вероятности перехода р „ Мы же получили вероятность р л в предположении, что волна плоская, распространяющаяся в некотором вполне определенном направ- мв ленин.
Соответственно этому у нас в формулу для вероятности входит лишь г '/ спектральное распределение, а не ф распределение по углам. Общая связь между Ра(со) н ра(а>, Й) есть ра(ы).= ~ра(ез, Я) й11, (88.2) Так как Ра(в) конечно, а Ра(оз, й) Ттт2 в нашем случае отлично от нуля и лишь для одного вполне определен- (г ного направления, то плотность р,(аз, Й) должна в отношении угла Й носить характер б-функции: й Рис. 70. Выбор независимых Интегрируя (88.3) по Ю и пользуясь "овира"швз ~1 ~8 (88.1), находим вероятность поглощения в 1 сек для волны, распространяющейся в Определенном направлении (без раствора лучей): )г' а = ЬлаРа (оз) (88.4) На основании закона сохранения энергии вероятность поглощения кванта света йоз „должна быть равна вероятности перехода атома из состояния Е, в Е, т. е.
1У"а = р „. Сравнивая (87.16') и (88.4), находим, что коэффициент Эйнштейна у„а для абсорбции света равен Ьла = «8 ~ Гхмл ~ СОВ Этл зта нзлгчение, поглощение и гхссвяние свата [гл.хч (87.16') получена в предположении, что свет поляризован в направлении 1, образующем угол 6 „ с направлением электрического момента 0 „. В коэффициентах же Эйнштейна Ь„„ индекс а (и= 1,2) указывает на принадлежность поляризации к одной из выбранных за независимые 1, или 1, Мы можем без всяких ограничений выбрать в качестве первого направления 1, (а= 1) направление, перпендикулярное к лучу и лежащее в плоскости луча и вектора 0„„, а в качестве второго 1з (а = 2) — направление, перпендикулярное к этой плоскости (рис.
70). Полагая 1 = 1„ получаем Втл — й Ьеи~ где 9„„ есть угол между вектором поляризации 0 „ и направлением распространения поглощаемого излучения. Йз (88.5) тогда получаем (88.5') Полагая 1= 1„получаем 9 „= — ", т. е. Ь,"2 = О. (88.5") Пользуясь формулой (5.11), определяющей отношение коэффициента спонтанного излучения а"„ к коэффициенту индуцированного излучения Ь"„, = Ь„„ (см. (5.7)), мы можем написать вероятность йУ,' спонтанного излучения кванта света йы = Š— Е„ поляризации а в телесный угол ай в виде где ы = — а " =ы „.
На основании (88.6) и (88.5') получаем (88.7) для света, поляризованного параллельно 1,, и (1Г;,=0 (88. 7') для света, поляризованного параллельно 1,. Чтобы получить полную вероятность спонтанного излучения при переходе из состояния Е в состояние Е„, нужно проинтегрировать йФ",, по всем направлениям распространения. Производя это интегрирование, получаем 4Ют» Зйс~ ~ (88,8) 4 зз) коэФФ!!н!!киты !!Злучения и ПО! лошения 377 Если уровни Е„н Е„вырождены, то одна и та же частота ю „ может излучаться путем различных переходов из Е„в Е,. Суммируя (88.8) по всем этим переходам, мы получим полпук! вероятность излучения частоты о! „в 1 сек. Мы ее обозначим через А" =- —,,", ~~~~~~ 0 „1з.
Величину А" называют также к озффи ц и еи том Эй н ш тей на для спал»ли»ного излучения чогюоглм ы„. Наряду с А" вводят соотве!ствуюнтнй коэффициент для поглощения изотропного, неполярнзоваиного излучения частоты ы „: (88.10) где сумма взята по обеим поляризациям (с»= 1, 2) и по всем переходам из уровня Е„ в уровень Ем. Величина 7" означает степень вырождения уровня Е», Интеграл взят по всем направлениям распространения света. Подобным же образом можно ввести козффициент В„", для индуцированного излучения Вм ~~~а ~ Ьта б')' (88.10') » й"'е»» А" = — В".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
