Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Таким образом, р-терм Ь)а следует считать состоящим из двух близких уровней. Подобная структура спектральных линий наблюдается и в других атомах и но- Ь - ° -" гз — ЬЬ( структуры спектров. Теория движения электрона в поле центральных сил показывает, а зз а. что 2р-терм (п=2, 1=1) состоит из трех сливающихся уровней (пь=О, .+.1), но вовсе не из двух З Йзш з ьь ° з з З ьг внешнем поле, а дублет (Ь, с) на- рис. 44.
Мультиилстиая структура бЛЮдавтея В ОтСутСтВИЕ ПОЛЯ. урсиия 27ь Предположение, что электрон пзрззоды ь д з шбгззуюь дзз бдкзкиз линии ьдьбдзьь имеет собственный магнитный момент 9)1В, позволяет сразу объяснить происхождение двойного расщепления термов одновалентных атомов. В атоме, во всех состояниях (р, з(, ...), кроме состояния з, в котором орбитальный момент равен нулю, существуют электрические токи (ср. $53). Эти токи создают внутреннее магнитное поле.
В зависимости от ориентации спинового магнитного момента электрона (вдоль этого поля или против него) получаются два состояния с несколько различной энергией, так что каждый из уровней р, з(, ... расщепляется на два близких уровня (см. З 62). Как мы увидим, расщепление спектральных линий атомов в магнитном поле (эффект Зеемана, 9 74) также требует предположения о существовании спина электрона и только на его основе может быть объяснено. Обратимся теперь к собственному механическому моменту элек-' трона. Обозначим его через з, Если проекция этого момента а, на любое направление 02 определялась бы целым числом постоянных Планка т,й (как это имеет место для орбитального момента), то следовало бы ожидать по крайней мере трех ориентаций спина т,=О, -+ 1. В самом же деле, упомянутый результат опыта Штерна и Герлаха, а также двойное расщепление уровней р, ь(, ...
24В совствяннып мяхлничпсхип и млгнитнып момянты [гл. х показывают, что возможны только две ориентации спина электрона. Эти факты привели голландских физиков Уленбека и Гаудсмита (1925) к предположению, что проекция собственного механического момента электрона и, на любое направление измеряется полуг4елым числом постоянных Планка и может принимать лишь два значения (58.1) Это предположение Уленбек и Гаудсмит дополняют, в соответствии с опытными данными, предположением о наличии у электрона собственного магнитного момента й?, проекция которого ш1, на любое направление может принимать только два М значения 331,=-+-л)1 .+- '" 2рс' (58.2) г) Заметим, что формулу (58,4) мы пишем теперь для суммариого момента всех электровоз.
Поскольку оиа справедлива для каждого электрола стержня, то оиа будет справедлива и для всей ях совохупиости. Из (58.1) и (58.2) следует, что отношение спинового магнитного момента к спиновому механическому мо- е менту равно — — : пс' пи? = — — 5, (58.3) ис в то время как отношение орбитальных моментов Рис. 45. Схе- равно — — (см. $ 53). ма опыта 2рс эйяш, йпа и Существование отношения (58.3) между магнитде гааза.. ным моментом и механическим было обнаружено еще в !915 г. в опыте А. Эйнштейна и де Гааза. Вкратце сущность этого опыта сводится к следующему. Ферромагнитный стержень ! (рис. 45) подвешивается на нитях так, что может вращаться вокруг своей оси.
Если изменить направление продольного магнитного поля Ж, то изменится и направление намагничения стержня, т. е. его магнитный момент ьЛ?. Так как магнитный момент пропорционален механическому 2 (58.4) 2рс то изменится и механический момент М электронов всего стержня ').
В результате стержень придет во вращение и будет закручивать нить. Из этого кручения можно определить М, а вместе с тем и Я проверить отношение ~-. Для электронов это отношение должно ОПЕРАТОР СПИНА ЭЛЕКТРОНА 249 быть отрицательным (заряд электрона равен — е). Это и получилось из опыта, показывая таким образом, что намагничивание куска ферромагнетика обусловливается движением электронов. е е Однако отношение получилось равным ие — - —, а — —. Для 2рс' рс' орбитального движения прн самых общих предположениях и е классическая, и квантовая теории ведут к значению — —. По2рс' этому результат опыта казался загадочным. Если же считать, что намагничение обусловлено не орбитальным движением элекуд е трона, а его спииом, то отношение †,- должно быть равно — — , рс' что и получается на опыте.
Это предположение позволило не только объяснить результаты опыта Эйнштейна и де Гааза, но и заложить основы современной теории ферромагнетизма (см. 9 130). Заметим, что в настоящее время существование спина электрона может рассматриваться как следствие из релятивистской теории электрона, развитой Дираком. Однако изложение этой теории выходит за рамки нашей книги').
9 59. Оператор спина электрона Обратимся теперь к математической формулировке гипотезы Уленбека и Гаудсмита. В соответствии с общими принципами квантовой механики собственный механический момент электрона (для краткости будем просто говорить спин электрона) должен изображаться линейным самосопряженным оператором. Обозначим операторы проекций спина на оси координат через зх, зу, з,. Чтобы определить вид этих операторов, мы потребуем, чтобы эти операторы подчинялись тем же правилам перестановки, что и компоненты орбитального момента Мх, Му, М,, Тогда, заменяя в (25,5) М на з, получаем') Зхау Зуях = гйхг (59.1) Згзх Зхя = тпду.
Проекция спина на любое направление (по исходноа гипотезе) может принимать два значения: -+ й/2. Поэтому операторы з, т) П. А. М. дирак показал, что из релятивистского уравнения для движения электрона автоматически вытекает, что электрон должен обладать магнитным моментом (58.2) и механическим моментом (58.1), и, таким образом, дал теоретическое обоснование гипотезе Улеибека н Гаудсмита (см. П. А. М. Д ир а к, Принципы квантовой механики, Физматгиз, 1960), ') Опираясь на теорию групп, можно доказать, что правила (59.1) являются единственно возможными. ЗЕО СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. Х з„, е» должны изображаться двухрядными матрицами, так как двухрядная матрица, будучи приведена к диагональному виду, содержит лишь два диагональных члена и, стало быть, имеет только два собственных значения.
Полагая а а я Б»=ЗВО», Б~ = Е аю Б»= д аю~ о» ~а а ~' о»=)Ь Ь ~' о» ~» с ~' (59"З) имеющими собственные значения -+.1. Подставляя (59.2) в (59.1) и сокращая на йа)4, получаем а„а„— а„а, = 2(а„ (59.4) а а, — а,аа —— 2«'а», (59.4') а,໠— а,а, = 2«а». (59.4") Ввиду того, что собственные значения а», о„, а, равны + 1, то собственные значения операторов а'-', а„', а) суть +1. Стало быть, в своем собственном представлении эти последние матрицы должны иметь внд а„'=~О «! Оа=(О «~ а'=~О «~' (595) т.
е. они являются единичными матрицами 6: 6=!о (59.6) Единичная матрица остается единичной во всяком представлении (см. 9 40). Поэтому матрицы а„", а„', а имеют вид (59.5) во всяком возможном представлении. Рассмотрим теперь комбинацию 2«(а,а„+а,а») = 2«а а„+о„2«а„. На основании (59.4) это можно переписать в виде (а„а, — а,а„) а„+ а„(о„а, — а,а„) = а„а,а„— а,а» + оао, — о„о,а„= = о!໠— а,а„', но а„'=6 есть единичная матрица, поэтому а„'-а, = о»а„"..
Следовательно, (59.7) а оа= — о о' т. е, матрицы а, а„, как говорят, анти комм утир уют. мы можем сказать, что операторы а, о„, о, (с п и н о в ы е матрицы) должны быть двухрядными матрицами вида ОПЕРАТОР СПИНА ЭЛЕКТРОНА 251 Комбинируя (59.7) с (59.4), и применяя циклическую перестановку о, оа, о„находим о„о„= — о»а =(о„ о„о, = — о„о„= (о„ а о» = — п,гп» = (о». (59.8) Найдем теперь явный вид матриц о, аа, о,.
Пусть, скажем, матрица а, приведена к диагональному вйду, Так как ее собственные значения равны +. 1, то диагональный вид а, будет о =!о (59.9) Можно показать, что в этом же представлении остальные две матрицы о„, а„ будут иметь вид .-=!'~! '=!~ '! (59.9') Для доказательства образуем произведения п,о» и О»о,, По правилу матричного умножения Я 40) имеем '-=!' -'! !.".'.","!=!-:, -".;;! .'=!:, .'! !' -'!=!:,",:"..'.;!* На основании (59.8) имеем !-;, —:;г!=-!:;,::.г!=!::„:.! или агг = ам, — ам = — ам„— аг, = атг, ап — — агм т. е. агг =-О, а„=О. Поэтому матрица о» имеет вид !о (59.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
