Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Согласно же новой квантовой механике она отлична от нуля во всем пространстве. На рис. 33 сопо- Ш„д ставлены вероятности по старой теории (в„) и по новой (еи„) для состояния а = 1 атома водорода. Приведенное соответствие между ш„ и еи„ наблюдается и для других состояний: оно является далеко не полным, что видно уже из того, что в квантовой механике в нижнем со- Е) Г стоянии момент импульса М7= 0 (Е = Рис.
33. Сравнение мв,(н) и = О), в то время как по старой тео- н я ма~ (н) лля состояния л=! Рии в этом же состоянии М~ = ля. ()=а=0). Несмотря на неполноту указанного соответствия, картина распределения вероятности становится более наглядной и указывает на связь между квантовой и классической механикой, которая и в самом деле существует (ср. гл. Ч1). Обратимся теперь к распределению по углам. Если проинтегрировать (51.11) по г от О до со, то мы получим вероятность ш,„(0, ср) ьИ того, что электрон окажется лежащим где-то в телесном угле сИ (см. рис.
31) около луча (О, ф). В силу нормировки функций Ес ~ получаем в,„(0, <р) сИ = ! 1', (О, <р) (в ИЯ. (51.19) Из вида функции 1'~ (О, ~р) следует, что вероятность не зависит от угла ср и равна ') ю, (0)сИ=ЕУ', ~Р,~'")(созО)~есИ. (51.20) Следовательно, распределение по углам обладает симметрией тела вращения около той оси, на которую фиксирована проекция момента импульса (у нас эта ось есть ось ОЕ).
9 Фнм — иормировочимй миожитель, см. доиолиеиие Ч. е 511 спектР и ВОлнОВые Функции АтомА ВОдОРОдА й!з На рис. 34 мы изобразили графики вероятности тат для различных состояний 1, пт. При этом принята полярная система координат О, гн,, так что величина те, откладывается по радиусу-вектору. Для сравнения приведены орбиты по Бору, расположенные надлежащим образом. При 1=0, лт= О вероятность (Е) =(РЦ =,-'- (5!.2!) не зависит от угла О, и поэтому мы имеем сферическую симметрию. Состояние, в котором момент импульса равен нулю (1=0), 1.л ллллтататн ©~9 д т= 1 лллнл(алллг Рнс.
34. Угловое распределение влектронов гноя (6) для а-, рь о. и 1-состояний. называют з - с о с т о я н и е м, соответствующий терм называют з- т е р м о м; з-состояние характеризуется, следовательно, шаровой симметрией. Соответствующих орбит по Бору нет. Это обстоятельство представляло одну из трудностей теории Бора, так как приходилось сопоставлять с оптическим а-термам состояния с 1= ! (лт=О, + !), в то время как опыт однозначно показывал, что электрон в з-терме не обладает орбитальным механическим (и магнитным) моментом. Состояние с 1= ! (Вт=О, + !) называется р-состоя н нем, а соответствующий терм — Р-термом. Вероятность в этом случае определяется функциями Рт'(соз8) и Р,(соэО). Подставляя в~в $ ~+ О~Э ~4" + ,,~к~ 1 ~ ф+ Ю~ЯЭ лт=- лт=-Я ллгллтдеиы Щ~, Я е',ее а,=- --г =-.т ллмдмен -я.
Х~ 214 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ !ГЛ. Чп! значения этих функций из (25.16), имеем з г'! -" ' (8) = 8 "" 8 цгг, о (0) = — созе 8. 4л (51.22) (51.22') На рис. 34 изображены вероятности пгг,г, пг! „а также соответствующие орбиты по теории Бора. Из рисунков видно, что если по боровской теории в случае, например, т =- -+.! вероятность найти электрон отлична от нуля лишь в плоскости орбит (0=я!2), то по квантовой механике она не равна нулю и для других значений угла 9 '-Т (на конусах 8 = сопз1).
Соответствие замечается в том, что максимум вероятности лежит при 8=пг2. Подобное же соответствие имеется и для т=О (максимум при 9=0). Состояние с 1=- 2 (т =- О, -+- 1, + 2) называется г(-'состояние'м, а терм — г(- т е р м о м. На рис. 34 приведена и вероятность пгег для 1= 2, т = 1. Из формул для сферических функций (25.16) получим Иге,! (0) =йг!! [Р! (СОЗ 8Де= !5 Рнс. 35, Уаловые поверхности = — ьйр 0 созе 9.
(51.23) Огг действительной части функиии гу„! (г 8. Ч) При 1= 2 и т = 1 мы имеем по Бору в а — г — ! сфер, ! — ! щ ! ко- СоаонуПНОСТЬ Орбнт, НОрМаЛИ К КОТО- нусов, ! т ! пласкостев, рым образуют конус с осью Оо и углом раствора, равным 60 . На конусе с раствором 60' лежит и максимум вероятности по теории Бора. По квантовой механике этот максимум приходится на угол 45". Вид вероятностей пгг„ (8) (рис. 34) позволяет нам создать некоторое представление о форме атома в различных состояниях. Эта форма определяется значением орбитального числа (, а магнитное число т, как видно, определяет ориентацию атома в пространстве.
Из приведенных выражений для вероятностей пгг„,(0) видно, что функция Р, с ! = О не имеет узлов, с ! = 1 и т =- О имеет одну узловую поверхность (плоскость 8 = п)2), с 1 = 2 и пг = !в опять одну узловую поверхность (плоскость 0 = пг2). Вообще уравнение Р,'"(сон О) =О дает ! — !т ! действительных корней 9„ 0„ ,, аг !;. Эти углы и суть углы раствора конусов (9 =сонэ(), эзт1 движкннв элнктронл в Одновллентных АтбмАх яб которые образуют узловые поверхности.
Часть волновой функции тр„т„, зависящая от угла чр, именно е' о, не имеет узлов, но ее действительная часть сох аз~р или мнимая (1з1п акр) имеют ат узлов: тр„чре, ..., чэ„, которые в пространстве дают узловые плоскости, проходящие через полярную ось. На рис. 35 изображено семейство узловых поверхностей функции чрм, состоящее пз сфер (узлы функции Я„ч), конусов (узлы функции Р,"') и плоскостей (узлы функции созтр или з1папр). Число сфер равно а„конусов 1 — ~ аз ~ н плоскостей ~т!. Всего имеется а„+ 1 — ) т ~ + ( и ~ = а, + 1 = а — 1 узловых поверхностей.
Таким образом, мы опять имеем иллюстрацию к общей теореме, упомянутой выше. Приведенные на рис. 35 узловые поверхности характеризуются той же геометрией, что и узловые поверхности колеблющегося шара. Поэтому функции чр„, (г, 0, <р) имеют сходство с функциями, изображающими колебание шара, подобно тому как собственные функции осцнллятора чр„(х) имеют сходство с функциями, изображающими колебание струны. й 52. Движение электрона в одновалентиых атомах Существует ряд атомов, имеющих один валентный электрон: зто атомы щелочных металлов 1л, (ч)а, К, ... Мы будем называть их водородоподобными.
В этих атомах имеется группа внутренних электронов, а внешний, валентный электрон движется в поле ядра и этих внутренних электронов. Строго говоря, мы имеем дело в этом случае с многоэлектронной проблемой. Однако в перечисленных атомах имеется одна особенность, позволяющая приближенно свести задачу к задаче о движении одного электрона в поле цснтральных снл, Дело в том, что если удалить из такого атома валентный электрон, то оставшиеся электроны образуют электронную оболочку, характерную для инертных газов. Например, ион 1л' имеет электронную оболочку, аналогичную электронной оболочке атома Не.
И опыт, и теория показывают, что электронная оболочка инертного газа образует весьма прочную систему, имеющую сферическую симметрию и мало деформирующуюся внешними воздействиями. Поэтому приближенно можно поступить так: считать, что внешний валентный электрон вообще не влияет на внутренние электроны, и таким образом рассматривать движение внешнего электрона в поле ядра и внутренних электронов.
В силу сферической симметрии распределения последних поле, создаваемое ими, будет центральным '), Найдем потенциальную з) Подчеркнем еше раз, что это вернолншь ррнблкженно, тек кзк ннешннй электрон на еамомделебудет полярнзонать ннутреннююэлектроннуюоболочку, энергию внешнего, валентного электрона () (г) в поле ядра атома и внутренних электронов. Обозначим через )т(г) потенциал этого поля, тогда 0 (г) = — е у' (г). (52.1) Пусть, далее, р (г) есть средняя плотность электрического заряда, создаваемая внутренними электронами ').
Тогда полный электронный заряд [ — еФ(г)1, заключенный внутри сферы радиуса г, будет равен à — е)! (г) 4п $ р (г) г' с(г. О (52.2) Учитывая еще заряд ядра +еЯ, мы можем представить полный заряд в рассматриваемой сфере в виде еЯ" (г) = е (2 — М (г)), (52.3) где через Яе обозначен эффективный номер ядра на расстоянии г. Отсюда по теореме Гаусса получаем, что поле 8, равно (52.4) а потенциал У (г) равен (52.5) Из (52.3) следует, что действие электронной оболочки сводится ег. к акранированию поля ядра —... причем это экранирование различно для различных расстояний от ядра.
Вблизи ядра его поле не экранируется. В самом деле, при г — ьО т !Ип —,' = — 4пр(О)1)т —, ~ г'с)г = О. г О г Ог Поэтому в этой области ел а потенциал у' (г) =* — + сопз1. ех (52.5) т) Вероятность р(г) может быть вычислена методами кваитовоа механики. Так, длв ЬР речь будет идти о движении двух электронов в поле ядра.
Задача здесь такова же, как и в случае атома Не. Последняя рассмотрена в 4 12!. Кроме того, р (г) может быть измерена и экспериментально (см. 4 79). 216 микрочдстицы В поле пОтенциАльных сил (гл,упг т Бт) ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ОДНОВАЛЕНТНЫХ АТОМАХ 2!7 Напротив, в областях г Р а, где а †ради электронной оболочки, й((г),», =У, где У вЂ” полное число электронов в оболочке, имеем е (Š— Аг) и потенциал будет равен е (Л вЂ” Ф) (52.7) что соответствует потенциалу ядра, заряд которого уменьшен на заряд электронов оболочки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
