Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Классическая н квантовая вероятности для состояния осциллятора с наименьшей энергией Ео, Рис. 2В Сравнение квантовой вероятности местонахождения частицы (для л= 1) с классической. Я, В -,точкп поворота, Я', В' точки иаксиитиа мкв. Особенно сильно подчеркивается различие между квантовым и классическим случаем, если рассмотреть состояние с наименьшей энергией. По классической теории наименьшая энергия осциллятора есть Е=О и соответствует покоящейся в положении равновесия частице. Вероятность гока (х) в этом случае имеет вид, приведенный на рис.
26. Она всюду равна нулю, кроме точки х=О. По квантовой теории наименьшая энергия осциллятора есть йыо. Ео =-2-', она называется нулевой энергией. Вероятность иг„,(х) в этом случае равна иг„,=чро(х)==е "а. =;) й Опа также приведена на рис. 26. Выясним подробнее свойства нулевой энергии. Очевидно, что эта энергия не может быть отнята от осциллятора, ибо по своему существу она есть минимальная энергия, которую может иметь осцнллятор. Ее можно отнять, лишь изменяя сам осциллятор, именно, уменьшая частоту ма, т.
е. путем изменения коэффициента а ОА'=ОВ' =1/ — ), но, в отличие от классического случая, т ршо /' вероятность найти частицу отлична от нуля и за точками поворота. Это обстоятельство не представляет в квантовой механике какого- либо противоречия, так как равенство (47.13) в квантовой механике не имеет силы: кинетическая энергия Т н потенциальная У не являются одновременно измеримыми величинами. [90 МИКЭОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ.УИ[ упругости, Существование нулевой энергии является типичным для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей ~М' ((М*-"4'. В самом деле, средние значения р и х в состоянии с определенным значением энергии равны нулю: х = ~ ф„хф„с[« = ~ 1)ь*,х с[х = 0 (47.21) (что следует из нечетности подынтегральной функции), р = ~ ф„РЯ„с(х= — [й ~ ф„— "[[х=) --2 Ч1„'(х)~ =О.
(47.22) Поэтому для осциллятора соотношения неопределенностей (47,20) можно переписать в виде яь р' х'» —,. (4?.20') получаем ш[п Е ~~а (47.25) т. е. нулевая энергия есть наименьшая энергия, совместимая е соотношением неопределенностей. Примером части[г„совершающих малые колебания, могут служить атомы в молекуле или в. твердом теле, Экспериментально удается доказать наличие нулевой энергии и нулевых колебаний атомов путем наблюдения рассеяния света кристаллами. Рассеяние света обусловлено колебаниями атомов.
По.мере уменьшениятемпературы амплитуда колебаний, согласно классической теории, С другой стороны, средняя энергия осциллятора равна Е = — + "— "' х'. (47.23) 2и Из сопоставления (47.20') и (47.23) непосредственно видно, что, уменьшая потенциальную энергию, мы увеличиваем нинеа[ическую, и наоборот. В частности, состояние с наименьшей потенциальной энергией (7 = 0 есть состояние с бесконечно большой кинетической энергией Т=оо. Объединяя (47.20') и (47.23), получаем Е Рз + [щОмз (47,24) Фя арв Отсюда легко найти минимальное значение Е. Именно, из дЕ ==0 д(ррв) % 481 ОСЦИЛЛЯТОР В ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 191 должна неограниченно уменьшаться, а вместе с тем должно исчезать и рассеяние света. Между тем опыт показывает, что интенсивность рассеяния света по мере уменьшения температуры стремится к некоторому предельному значению, указывающему нато, что и при абсолютном нуле колебания атома не прекращаются.
Этот факт подтверждает существование нулевых колебаний. й 48. Осциллятор в энергетическом представлении Обратимся к представлению, в котором за независимую переменную взята энергия осцнллятора Е. В этом представлении оператор полной энергии Й будет диагональной матрицей с эле- ментами О л=Елб „, нли на основании (47.10) (48.1) Я48 2 о о о о — я, о о з 2 о о -я,о 5 2 (48.2) Любое состояние осциллятора ф(х, 1) можно представить как суперпозицню стационарных состояний (ср.
9 30) л ф(х, 1)= '8,'с,(0)ф„(х)е " =",'с„(Г)ф„(х), (48.3) л где «Р„(х) даетсЯ фоРмУлой (47.11), а Ел — фоРмУлой (47.10). Совокупность всех сл будет волновой функцией в «Ея-представлении. Вероятность найтИ значение энергии Е„в состоянии ф (х, 1) равна и (Ел) = ! сл (1) !8 = |ел (О) !8. (48.4) Эта вероятность не зависит от времени, что соответствует тому, что энергия есть интеграл движения.
Найдем оператор координаты Х в «Е»-представлении. По общей теории он должен изобразиться матрнцей с элементами х„л = ~ Яхф„дх. (48.5) Подставляя сюда «р„ и «р„ из (47.7), получаем +сл х„л = хо ~ е-Е'Н„($) 9Н„Я) 449, микгочлстицы в пола потенциальных сил [гл.чш Этот интеграл может быть вычислен: — для те и — 1 2 3 — для т=а+1 и+! + со ~ е-1*НДН,сф= (48.7) О в остальных случаях. хеа =хо(ф -2 бл-ьщ+ $/ — блы,е).
(48 8) Приведем матрицу х. Из (48.8) видно, что отличны от нуля лишь соседние с главной диагональю элементы, именно, (48.9) х=х, В гайзенберговском представлении элементы матрицы оператора Х будут равны (см. (42.12)) х „(() =х,е" (48.10) где на ел <~ел= а =ыо(т — и). (48.11) Так как х„„~ 0 лишь для т = и.+. 1, то все матричные элементы координаты осциллятора колеблются с одной и той же частотой, равной собственной частоте осциллятора ы,. Вычислим теперь среднее значение координаты осциллятора х для произвольного состояния.' По общей формуле (41.2) имеем х (Г) = 5; ~ с„', (() х „с„(Г) = ~ ~ с' (0) х„„ (1) с„ (0). (48.12) На основании сказанного о матричных элементах х„„(() среднее значение х будет гармонической функцией времени с частотой в,.
Иначе говоря, х 'зависит от времени так же, как зависит от Пользуясь этим результатом, мы мойем написать (48.6) с помощью символа б„„в следующем виде: $ «91 движение в полк цкнтрлльнои силы 193 (48.14) т. е. (48.16) Пользуясь формулой (42.11), находим Ртл = (озмлрхмл» (48.17) или р„„= (розе (и — л) х„„.
(48.18) Разумеется, вычисление интегралов (48.14) ведет к тому же результату. 9 49. Движение в поле центральной силы Поле центральной силы характеризуется тем, что потенциальная энергия частицы в таком поле зависит лишь от ее расстояния г от некоторого центра (силового центра), Законы движения в поле центральной силы образуют фундамент атомной механики: решение общей задачи о движении электронов в атоме опирается в той или иной мере на результаты, относящиеся к движению одной частицы в поле центральной силы. Обозначая через и (г) потенциальную энергию частицы, мы можем написать оператор полной энергии Н (33.12) в виде Н= т,+,— „„+и(.), Ь (49.1) г) Этот же результат мы можем получить непосредственно нз теоремы Эреифеста.
Уравнение (34.1) для осниллятора принимает вид »1«а 1« —, = — Ры»Х, »(1« о» о1куда путем интегрирования находим Д =а соз (ы«1+»р). времени координата классического осциллятора'): х (1) = а сок (от»1+ гр), (48.13) где а — амплитуда, гр — фаза. Матрица оператора импульса в «Е»-представлении может быть найдена либо путем вычисления интегралов р „= ~ «р' Ря„с(х= — И «тр — „«с(х, е «»(тя либо, более просто, на основании квантовых уравнений движения. Согласно этим уравнениям гх Р=р— (48.15) 164 мнкгочлстицы в пола потенциальных сил 1гл.юп где М' есть оператор квадрата момента импульса, а Т,— оператор кинетической энергии для радиального движения.
Из общей теории интегралов движения (6 33) следует, что интегралами движения в поле центральной силы будут: полная энергия Е и момент импульса (т. е. М', М, М„, М,). Мы поставим себе задачу найти стационарные состояния частицы, движущейся в поле У(г). Уравнение Шредингера для стационарных состояний в нашем случае имеет вид (49.2) Волновую функцию ф естественно искать как функцию сферических координат г, 6, <р.
Мы должны найти однозначные, непрерывные н конечные решения ф уравнения (49.2) во всей области изменения переменных г, 6, 6~, т. е. в области О =г«со, О« «6==.я, О«ч «=,2п. Так как операторы Й и М' коммутируют, то они должны иметь общие собственныв функции, поэтому мы можем написать второе уравнение для ф Мзф = М'ф. (49.3) Собственные значения М', согласно 6 25, равны ЙЧ((+1), так что вместо М*ф мы можем подставить в (49.2) величину л'((1+ + 1)ф Тогда мы получаем уравнение (49.3') Это уравнение содержит явно' лишь одну переменную г.
Полагая теперь ф(г, 6, <р) =Я(г) У,„,(6, гр), (49.4) где У~„(6, ~р) есть собственная функция оператора М', мы одновременно удовлетворяем и уравнению (49.3), и уравнению (49.3'), если функция )г (г) удовлетворяет уравнению ТД+т и+ ) Я+ и (г) К вЂ” ЕР (49.5) Это уравнение получается путем деления (49.3') на Ур„. Мы будем называть 'его уравнением Шредингера для радиальной функции Я(г). Напомним (см. 6 25), что функции У, являются также собственными функциями одной из проекций момента импульса, именно — при нашем выборе координат -проекции М,.
Поэтому в поле центральной силы полная энергия, квадрат момента импульса и проекция момента импульса на некоторое произвольное движанна в пола цвнтгальноп силы 1% и(г),== з(=С, (49.6) где С вЂ” произвольная постоянная, определяющая уровень потенциальной энергии в бесконечности. Мы ~видим, что характер решения уравнения (49,5) существенно зависит от того, больше или меньше полная энергия Е значения потенциальной энергии в бесконечности (С). Так как С есть произвольная постоянная, то в тех случаях, когда специально не оговорено, мы будем полагать ее равной нулю и различать два случая: Е) 0 и Е ~ О.
Определим еще внд У(г) вблизи центра сил (при г-~-0). Мы будем считать, что У(г) имеет в нуле полюс, порядок которого меньше 2: У(г), э= —,„а(2, А (49. 7) Сделанные нами предположения о виде У(г) охватывают весьма широкий круг задач атомной механики. Так, например, в проблеме движения валентного электрона в атоме речь идет о движении электрона в поле ядра атома, окруженного оболочкой более близких к ядру электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
