Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 38
Текст из файла (страница 38)
При малых расстояниях действие этих электронов несущественно, основное поле будет кулоновским полем ядра. ПотенцнальА ная энергия электрона в кулоновском поле имеет внд — и поэтому г входит в класс (49.7). В случае взаимодействия двух атомов при малых расстояниях наибольшее взаимодействие есть отталкивание ядер по закону Кулона, т. е. потенциальная энергия имеет опять-таки вид Агг. В обоих примерах У имеет при г=О полюс первого порядка. направление ОЕ являются величинами, одновременно измеримыми. Возможные значения энергии -Е определяются из уравнения (49.5) и зависят от вида У(г).
Онн, кроме того, могут зависеть от величины момента импульса М' (через число 1), но они не могут зависеть от проекции момента импульса М, (и, следовательно, от числа пг): М, не входит в уравнение (49.5). Это объяс-. няется тем, что мы имеем дело с полем, обладающим центральной симметрией, так что все направления в пространстве физически равноправны, и поэтому энергия не может зависеть от ориентации в пространстве момента импульса. Для дальнейших выводов мы должны более подробно определить вид У(г). Во всех реальных физических системах взаимодействие на бесконечно больших расстояниях бесконечйо мало. Это означает, что асимптотически (при г-~.со) потенциальная энергия принимает постоянное значение 196 микрочлстицы в поли поткнцилльных снл !гл,цш Для исследования решения уравнения (49.5) представим это решение в виде )с (г) = —,.
(49.8) Подставляя зто выражение для )с в (49.5) и замечая, что, согласно (26.7), Яз 1 д Г ад)С1 Яз 1 дзи Т г( = — — -- — 1га — ) = — — —— (49.9) йрге дг ~ дг) 2)ь г дгз» мы получаем следующее уравнение для и: (49.10) Рассмотрим сначала асимптотнческие решения этого уравнения 1 при г-ьоо. Пренебрегая для больших г членом с —, и (7 (г) (мы считаем С в (49.6) равной нулю), получаем простое уравнение — 9 иге з=Еи. (49.11) Обозначая й~= Я, для Е) 0 н йя= — Яз — для Е(0, (49.12) мы получаем общее решение (49.11) в виде и = С,енм+ С,е-'а", Е ) О, (49,13) и=С,е-к'+С,е"', Е(0, (49.14) где Ст и С,— произвольные постоянные. Согласно (49.8) асим.
птотическое решение .уравнения (49.5) имеет вид (49.15) тс=Ст'— +Се —, Е(0„ (49.16) В первом случае Е)0 решение )с конечно и непрерывно при любом значении постоянных. Как видно, оно представляет собой суперпозицию сходящихся и расходящихся сферических волн. Вероятность найти частицу в этом случае не исчезает даже для больших г. Именно, вероятность найти частицу между г и г+з(г пропорциональна !те 1а и объему шарового слоя 4лгздг!): тн (г) г(г — ~ )с,з 4лг' (1г = 4л',С,е'"'+ С,е "' 1з г)г. ') Пренебрежение в уравнении (49.10) потенциальной энергией У(г), сделанное нами, законно лишь в том случае, если У(г) при г-»со стремится быстрее к нулю, нежели 1/г.
В случае кулоновского поля У(г), =В/г, и асимптотическяе решения (49.15) и (49.15) несколько видоизменяется, ио не столь сушественно, чтобы это видоизменение отразилось на справедливости наших дальнейших рассуждений. $491 ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОП СИЛЫ 197 Такие состояния соответствуют апериодическим орбитам в классической механике, когда частица движется, из бесконечности к центру сил и уходит опять в бесконечность.
Так как рассматриваемое нами состояние стационарно, то поток приходящих частиц должен равняться потоку уходящих. Это означает, что амплитуды приходящих и уходящих волн С, и С, должны быть 1 1 равны по модулю. Если положить С,= —.Ае"", С,= —; —:Ае-"" 24 9 — 44 где А и сс действительны, то асимптотическое решение (49.15) можно представить в виде 19м(А +и) (49.16') У т. е. в виде стоячей, сферической волны.
Иное положение вещей имеет место при Е«О. В этом случае необходимо положить С,=О, иначе )4-9.со при г-~со. Поэтому нужное решение будет Е А4 Л=С,' —. (49. 16") Для этих состояний и (г) йг 4л ~ СА ~9е-9 йг и при больших г величина ш(г)-4-0, т. е. частицу можно найти лишь вблизи центра сил. Такие состояния соответствуют периодическим орбитам в классической механике, когда частица движется около силового центра.
Исследуем теперь поведение решений вблизи центра (г-4-0). Будем искать и(г) в виде степенного ряда и (г) = гт (1+а,г+а,г'+...). (49. 17) Подставим это выражение для и в уравнение (49.10). Тогда низшей степенью г будет'гт-9 или гт-". Мы видим, что если и(2, то низшей степенью будет гт-9. Член с гт-' будет наибольшим (при г-+0); поэтому, игнорируя величины высшего порядка, мы найдем, что результатом подстановки (49.17) в (49.10) будет 17(у — 1) — 1(1+1))гт-9+члены высшего порядка=О.
(49.!8) Чтобы это равенство было соблюдено тождественно при всех (бесконечно малых) значениях г, необходимо, чтобы у(у — 1) =1(1+1). (49. 19) Отсюда р =1+ 1 или у =- — 1. (49.20) Следовательно, при г-4-0 решение )г, равное и/г, имеет вид Й = С г' (1 + а,г + аг'+...) + С9г 4-' (1 + а г + аг9+...), (49 21) где С; и С.; — произвольные постоянные. 198 миквочдстицм в пола потвнцидльных снл 1гл.тпп Для того чтобы функция оставалась конечной, необходимо положить С:=О. Таким образом, собственная функция )(ь при малых г имеет вид Р .—— С;г' (1+ а,г+а,г'+...). (49.22) При г-моо это частное решение перейдет либо в (49.15) (если Е)0), либо в (49.16) (если Е СО).
Полагая С,'=О, мы выбираем частное решение уравнения (49.10). Поэтому коэффициенты Сз и С, в (49.15) или в (49.!6) будут находиться уже во вполне определенном отношении друг к другу (абсолютная же величина этих коэффициентов не имеет значения, так как уравнение (49.10) есть однородное уравнение). Это отношение зависит теперь только от параметров уравнения (49.10), в частности, от Е. Следовательно, при С;=0 имеем с*-=~(Е), (49.23) где 7" — некоторая функция Е, зависящая от вида уравнения (49.15), т. е. от У(г). Если энергия частицы Е.>0, то оба частных решения (49.13) конечны, н поэтому прн любом отношении Сз!Ст решение (49.15) есть допустимое решение, в частности, и при том Сз/С„которое получается нз требования Ст=О.
Поэтому мы не должны накладывать какого-либо нового ограничения на отношение ') СзуСт. Вместе с тем параметр Е может иметь любое значение. Отсюда следует, что если энергия Е) О, то энергия не кванту- ется, а принимает все значения от О до +со. т) Из требования С1 =О как раз и вытекает асимптотическое выражение для Л(49Л5). Полагая С,'=О, мы тем самым выбираем ф баз сиигулярностай в ауле.
Благодаря этому будет справедливо уравяенив сохранения для ф"ф (29.7) (см. также дополнение УШ). для стационарных состояний нз (29.7) находим для любой замкнутой поверхности. Выберем в качестве такой поверхности сферу с центром в нуле. Тогда l, = /,. Из (29.5) и (49.4) имеем Подставляя в предыдущую формулу и замечая, что ) "'гм)'* дт) =) получим л — = Р» —. дгтэ дР дг дг' легко УбедитьсЯ, что это Равенство невозможно, если ~ ст(чв (сз(. э движение В поле центрдльиои силы 199 Это будет некоторое трансцендентное уравнение для Е.
Корни этого уравнения Е=Е1 Ев ° ° ., Ел, (49.25) и будут собственными значениями оператора энергии, так как только при этих значениях Е решение )с конечно и при г=О, и при у=со. Следовательно, при Е(.0 получается дискретный спектр возможных значений энергии. Мы получаем в этом случае систему квинтовых уровней (49.25). уе Рассмотрим теперь подробней несколько наиболее типичных Рис. 28.
Потенциальная энергия для случая притяжения к центру. Эиергетяческиа спектр для Е > О ии прерыеея, для Е < О состоит из отдельных траяяея Е, Е, ..., Е . Г есть энергия иаиизяиии. Рис. 27. Потенциальная энергия для случая отталкивания от г. Эиергетнческиа спектр Е и О ие. прерыяеи. видов потенциальной энергии У(г). Во всех случаях мы будем считать, что потенциальная энергия имеет (если имеет вообще) при г=О полюс ниже, чем !/гя. Потенциальную энергию в бесконечности условимся считать равной нулю. На рис. 27 изображена потенциальная энергия У как функция расстояния от центра г для случая отталкивания частицы.
В этом случае Таким образом, при Е ~ 0 мы имеем непрерывный спектр энергии. Другое положение дел имеет место при Е(0. Из требования конечности функции )с в нуле (Ст =0) не следует С,=О, так что в общем случае при )с конечном в нуле решение будет возрастать в бесконечности неограниченно.
Чтобы получить решения конечные и в бесконечности, нужно дополнительно потребовать С,=О. А это налагает ограничение на возможные значения энергии Е, так как тогда из (49.23) следует с'=~(Е) =О. (49.24) 200 микрочлстицы в полн потенциальных сил !гл.шп полная энергия частицы положительиа ').
При Е О спектр энергии непрерывен. Следовательно, в случае отталкивающих сил возможны все значения энергии от О до +со. Это обозначено иа рисунке штриховкой. На рис. 28 изображена потеициальиая энергия для случая притяжения. В этом случае мы должны различать две возможности: Е О и Е<0. В первом случае спектр будет непрерывным (штриховаииая часть рисунка). Во втором случае мы получаем дискретный спектр значений Е,, Е,, ..., Е„. Эти квантовые уровни изображены иа рис.
28 горизонтальными линиями. Приведенный спектр, состоящий из прерывного и сплошного, является г ущ~~~ц~щй как раз тем эиергетичеллеллгр ским спектром, который свойствен электрону, взаил )( модействующему с ядром, Е,4иалгнлглзаг или положительным ионом з пняглр (притяжеиие по закону Г~0 Кулона). Дискретные уровни отрис. 29. Потенпиальная энергия двух ато.
вечают, как было покамов; образукиних молекулу, как функция заио выше, движению нх расстояния Я. электрона в атоме (вероятность найти электрон вдали от атома исчезающе мала). Напротив, сплошной спектр отвечает иоиизоваииому атому, так как электрон в этом случае может оказаться как угодно далеко от атома. Энергия, необходимая для иоиизации, так называемая работа иоиизации 1, легко может быть получена из приведенной иа рисунке диаграммы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
