Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 32
Текст из файла (страница 32)
7И будет иметь матричные элементы Ок к = — ~- д к + Ъ' (Х') б (Х вЂ” Х'). (40.24) Ак д-"6 (к — к') й 41. Определение среднего значения и спектра величины, представляемой оператором в матричной форме Формула (19.1) для среднего значения величины, изображад емой оператором ).~ — 1Гк —, х) в состоянии ф(х, (), может быть легко переписана в матричной форме. Пусть фк (х) — собственная функция, принадлежащая 11-му собственному значению величины, взятой за независимую переменную (например, энергии).
Представим ф(х, 1) и ф' (х, 1) в виде ряда (41.1) (41.1') Подставив нх в формулу Т. —. ~ ф А (х, 1) 1". ф (х, Г) т(х, получим ь = ~", ~ч ,'с„',с„~ф,"нар„1(х, т. е. ь' = ~„~„"Еще кгк. (41.2) Это н есть выражение для среднего значения Е величины 1., если представляющий ее оператор Е дан в матричной форме. Рассматривая совокупность с„как матрицу ф с одним столбцом матричной форме таким образом, что гР (х') = $ Е,;кф (х) Т(х = Х.
( — 1)1 - т, х') ф (х'). (40.22) Лля определения матричных элементов 1к„достаточно рассматривать операторы Р и х в 1(Р, х) как матрицы (40.18) и (40.20) и выполнить ) миожение и сложение этих операторов сосласно правилам (40.9) и (40.11') для непрерывных матриц. Нетрудно, например, убедиться, что в матричном координатном представлении гамнльтопиан гт = ~6+ г (х) = — 2-.д-к-)- к' (х) (40.23) 3 лп определении среднего зндчин14я и спвктрл валич14ны 1бз (40.12), а совокупность са — как сопряженную матрицу ф' с одной строкой (40.12'), мы можем по правилу матричного умножения записать (41.2) в виде Т. =ф'14. (41.3) Спектр величины (совокупность ее возможных значений) и собственные функции представляющего ее оператора Е определяются согласно (20.2) нз уравнения ЬРд=Елйы Подставляя в это урав-, нение 2Р из (41.1), умножая слева на 4Р* и интегрируя по х, получим У,'с„~тР'Езй„с(х = Е ~~с„~ф" тй„с(х или У',Е лс„=Ес,„.
(41А) Это — бесконечная система линейных однородных алгебраичсских уравнений длн определения амплитуд собственной функции сл и собственных значений оператора 1.„. )чак известно из алгебры, система однородных линейных уравнений только в том случае имеет решение, отличное от пуля, когда определитель, составленный из коэффициентов уравнений, обращается в нуль. В нашем случае этот определитель имеет бесконечное число строк и столбцов') 1!1 1 ~12 1 12 1 1.л Вм 122 ~ 123 ... 24 = О. (41,63) 1 1 2 ~ла Это уравнение накладывает ограничения на возможные значения 1.. Оно является уравнением бесконечно высокой степени ~ (трансцендентным) и будет иметь бесконечно большое число корней: ) =1.„Е„..., й„...
В алгебре доказывается, что корни такого уравнения обязательно действительны. Совокупность значений й„, прп которых разрешима система уравнений (41.4), и будет совокупностью собственных значений оператора 1.. Подставляя в (41А) один из корней уравнения (41.6), например, й, мы найдем соответствующее этому корню решение Е= 1.о» Стг-ст(1.о), Сал Сз((.о»), ..., Слл сл(й„),,... (41,6) Совокупность найденных таким образом зпачспп11 с„сз, ..., сл,...
и будет собственной функцией оператора 1, принадлежащей ') Такой ап1сдслнтель следует рассматривать как прелел определителя, образованного дзя системы конечного числа йг неизвестных с„, при д» вЂ” » со. Уравнение (4!.5) имеет смысл, если такой предел сунгествует. Пример такого уравнения читатель найдет в кингс: Унт те к е р и В а т сон, 1(урс совр". ° менного анализа, т. 1, Фнзматгиз, 1963, гл.
11. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ (гл. чп се-му собственному значению В=7., Эта же волновая функция в «ха-представлении запишется в следующем виде: ') тро (х) = ~~'., Сл (7 а) фп (х) ° (41.6') ') Функция ф«(к) может быть непосредственно получена путем решения дифференциального уравнения йф=(ф. Решение уравнения (4К4) и (4).В) обычно не прошс решения указанного дг«ффереипнальпого уравнения. Однако при приближенном решении уравнений (гл. Х!) уравнения в матричной форме оказываются весьма полезными. В своем собственном представлении всякая величина изобра- жаЕ«ПСя диаеаНОЛЬНаа МатрийЕи, В СаМОМ ДЕЛЕ, ЕСЛИ тра(Х) ЕСТЬ собственная функция оператора ("., то его матрица имеет элементы 7.
л =~ Р,";(лй,дх=~ф*7лфн«( =-7 б „(41.7) где 7.„есть и-е собственное значение оператора К. Поэтому задачу о нахождении собственных значений оператора Л можно рассматривать как задачу о приведении матрицы оператора 1„ данного в произвольном предс«авлении, к диагональному виду (41.7). Так как коммутирующие операторы имеют общую систел«у собственных функций, то их матрицы могут быть одновременно приведены к диагональному виду. Соответствующие формулы для случая непрерывных матриц получаются из рассмотренных выше заменой сумм на интегралы. Вывод их настолько прост, что мы ограничимся приведением результатов. Среднее значение величины 7. будет равно 7, = ~ 5 с* (р') 1,, (р) «(р' «(р (41.2') (импульсное представление) и Е = ~ ~ тр (х') 1,,;ф (х) дх' с(х (41.2") (координатное представление).
Вместо уравнения (41.4) будем иметь соответственно ~ «,«ерс (р) др = 7.с (р'), (41.4') ~ Т.„„ф (х) «(х = 7 ф (х') (41.4") и, наконец, вместо (41.7) Р = р'б (р' — р), (41.7') х, „ = х'6 (х' — х). (41.7") Уравнения (41.4') и (41.4") будут либо дифференциальными, либо интегральными уравнениями. $«г1 ЗАВИСИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ ОТ ВРЕМЕНИ 165 й 42. Уравнение Шредингера и зависимость операторов от времени в матричной форме где Нм„= ~ ф (х) Й«)«„(х) «(х (42,2) есть матричный элемент гамильтонпана Н.
Это уравнение по заданным в начальный момент с„(0) (т. е. по 4)«(х, О)) определяет с„(1) (т. е. «р(х, «)). Пусть Н есть оператор полной энергии. Возьмем в качестве функций «р„(х) собственные функции оператора Й. Тогда с„(1) суть амплитуды стационарных состояний, а матрица Н„„будет диагональной: н4„=1«Р,*ой«1«,с(х=е„б „.
(42.3) Подставляя эти значения Н„„в (42.1), находим уравнения Шредингера для этого случая: Отсюда «е,« с„„(1) = с„, (О) е (42.5) т. е. амплитуды ста«1иокарнь«х состояний гармонически зав««сщп от времени. Это совпадает с выводами 2 30. Применим теперь уравнение Шредингера в матричной форме к вычислению производной оператора по времени. Дифференцируя по времени среднее значение (41.2), находим ос* !! !! «и ч и и нз (42.1) имеем И вЂ”" =; Н;,Ас,*, И -"- =, Н„,с,. Уравнение Шредингера (28.3) может быть переписано в матричной форме, если разложить ф(х, 1) в ряд по собственным функциям ф, (х) какого-либо оператора.
Подставляя в (28.3) ф(х, 1) в виде ряда 1Р (х, «) = 'У, 'с„(1) «Р„(х), умножая слева на 1Р„'; (х) и интегрируя по х, находим И вЂ” „'"- = ~~1 Н „с„, т=1, 2, 3, ..., (42,1) и 1гл. тп основы теоиш пгедстлвленнн 166 Подставляя эти производные в выражение для — „, получаем и (?.) — ~> с — с„+. ~1 ~~ ~~ с,л? лН„лсл— «л и ш л з — — ~> ~~1 Н*«сйЕ„„с,. Учитывая, что в силу самосопряженности оператора Н*ь =Ни а также то, что индексы «и, л и й пробегают одни и те же значения, мы можем (переменив во втором члене обозначение А ~а и, а в третьем /г на и) переписать предыдущее уравнение в форме ««,'«-~~и««;, «,-„'~~а(у«.,н,„-~и„,«) „.
л«и л«л ««и и Учитывая, что по правилу умножения матриц '5,'?., Н~.=ЫЙ) ., ~ Нтл?-лл = (НОл«л« получаем — — г = ~, ~~~, с«л [ —,з~ —" + л ( Н вЂ” Н?.) „) сл, (42.6) и«л где )л (1-Н вЂ” Н1.)«ил= 1?« „~«(Е иьНлл — Нлм( лл) = [Н лч««ил (42.?) есть матричный элемент скобки Пуассона. Из сравнения с формулой для среднего (41.2) следует, что матричный элемент опеи2 ратора -- есть Й (,и ) = лг + [Н 1-1 ° (42.8) Формулы (42.6) и (42.8) представляют собой формулы (31.4) и (31.?), соответственно, в матричном представлении.
Рассмотрим важный частный случай. Пусть гамильтониан гт' не зависит от времени, так что Н есть оператор полной энергии. Возьмем специально энергетическое представление («Е««-представ- ЗАВИСИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ ОТ ВРЕМЕНИ 167 $421 ление). Тогда матрица Й будет диагональной: Нлл = Епблл, Нтл = Етбтл Предполагая еще, что оператор Е не зависит явно от времени, мы получим из (42.7) и (42.8) ВЕ1 — — (Š— Е )Е 112 л т пт илп (В1) Ьотл~тлв (42.9) где лт Ел 2отл (42.10) есть боровская частота.
В частности, матрица оператора скорости будет иметь элементы (42. 11) й= ахи й ) =1%алктл 1,)„. (.—:~..= '=-- В~-тл (42.9') Эта формула отличается от (42.9) только тем, что зависимость от времени перенесена с волновых функций на операторы. Согласно (42.12) матричные элементы операторов, явно не зависли!их от времени, в гайзенберговском представлении гармонически зависят от времени, с час2поптами Бора вз „. где х,— элементы матрицы координаты х.
Соотношение между скоростью и координатой получается совершенно таким же, как для осциллятора, колеблющегося с частотой 22 „. Формула (42.9) становится совершенно очевидной, если применить так называемый гайзенберговски й способ представления операторов. Этот способ заключается в том, что матрица какого-нибудь оператора Е строится с помощью волновых функций стационарных состояний, взятых для времени!: Ел2 фл(Х, 1) =2Р„(Х) Е Ясно, что это можно сделать, так как лйл(х, 1) так же, как и 2р„(х), образуют полную ортогональную систему функций.
Стало быть, в гайзенберговском представлении матричный элемент оператора Е определится по формуле Е л(1) =)2рп„(х, 1)Елр„(х, 1)дхп Е ле' 'лл'. (42.12) Отсюда для оператора, не зависящего явно от времени, основы твонин п»сдстлвлщпн« 1гл. чп 1ВВ В случае непрерывных матриц вместо (42.1) будем иметь 1Й» —— ~ Н»»с (р) «(Р, (42.1') или, в координатном представлении: !л~~( ) = 1 Н;Я(х) «(х, (42.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
