Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Как видно из (37.6), (37.6'), найденные приближенные решения обращаются в бесконечность как раз в точках поворота. Поэтому сшивание решений по обе стороны от точки поворота требует рассмотрения более точного решения уравнения Шредингера в окрестности этой точки. Это достигается тем, что в окрестности х4 а потенциал У(х) / !(() ( представляют в виде У(х)=()(а)+~ — ) (х — а)+ ...
и решают ~ нх,). для этого линейного потенциала уравнейия Шредингера. Мы приведем только результаты такого расчета. Будем считать, что для х) а Е( У (х), а при х ~ а Е ) У (х), тогда оказывается, что правцльный выбор констант таков, что к с . Г1 л ) )р(х)==з)п~ — ~ р(х)(!х+ — 31, х(а, (37.7) )' р(х) ~ а 4 ~' к к ! — ~ 'р(к) ! кк )р (х) .= .
е ", х ) а. (37,7') 2 р ' у (х)( И для случая, когда Е) () (х) в области х) а: к с . Г1 л ) )р== з('и( — 1 р(х)((х+ — ' р р(х) в 4 (37. 7") Предположим теперь, что область движения частицы ограничена и оио происходит между двумя точками поворота () х~п. Тогда в (37.7") следует вместо предела а подставить д. Очевидно, что оба решения (37.7) и )() (х) == з!и — ~ р(х) с(х+— с .
11 л) рб л (37,8) уже пе имеет смысла импульса: р (х) .=- (: ! ) ~ 2р (У (л) — Е) = '+ !' ! р (х) ,'. (37.2") При этом одно из решений в (37,6) будет неограниченно нарастать с ростом х, Физически имеют смысл только ограииченные волновые ф)нкции, поэтому в области, где Е((/(х), константу с, следует положить равной нулю, так что МЕТОД ВЕНТЦЕЛЯ вЂ” КРЛМЕРСЛ-ЕРИЛЛ|ОЗНЛ $ 37| 151 в Области Ь(х (и деленны ~овпад~~ь. Это воэможио лишь при условии - — ~ р (х) г(х+ " = (и+ 1) я,, (37.9) ь' где и — целое число. Распространяя интеграл по всему пути частицы от а до О и обратно, получим $ р (х) т(х = ( и+ --) 2лй. (37.10) Это есть условие кнантования по старой, полуклассической теории Бора.
Появление 1)2 в этой формуле несущественно, так как, строго говоря, классическое приближение справедливо лишь тогда, когда и' Р 1 (условие малости длины волны). Глава ЧП ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ й 38. Различные представления состояния квантовых систем Как мы виделн, для квантовой механики характерна, что одновременное употребление ряда классических корпускулярных величин (р,. и х, Т и У, М„и М„и т. п.) теряет всякий смысл, так как в природе не реализуются такие ансамбли, в которых приведенные лары величин существовали бы одновременно. Позтому в отношении каждой квантовой системы все измерительные приборы могут быть разбиты на группы.
Приборы одной нз таких групп сортируют частицы (или системы) ансамбля по признакам, исключающим сортировку по признакам, характерным для какой-либо другой группы измерительных устройств. Так, например, если мы имеем дело с частицами, координаты центра тяжести которых суть х, у, г, то мы легко можем выделить две группы приборов; к первой группе можно отнести приборы, анализирующие ансамбль таких частиц по координатам х, у, г и по любым функциям от нпх г" (х, у, г) (например, по потенциальной знергни (/(х, у, г)), а к в~арой группе — устройства, анализирующие ансамбль по импульсам р„-, р„, р, или по любым функциям гр(р„рк, р,) от ннх (например, по юшетической энергии Т(р, р„, р,)). Возможны и другие группы приборов.
До снх пор мы изображали состояние частиц волновой функцией ф(х), бери в качестве переменной координату частицы х (простоты ради, в дальнейшем мы употребляем лишь одну координату х). Сортировка частиц по координатам х производится устройствами, исключающими сортировку по р„(далее будем писать просто р вместо р„).
Представим себе, однако, что мы интересуемся сортировкой частиц не по их координатам х, а по пх импульсам. Тогда нужно взять прибор, анализирующий ансамбль по р, а не по х. Между тем волновая функция з~ч описывающая ансамбль, взята как функция х. Нельзя ли описать состояние ансамбля так, чтобы волновая функция была функцией импульса р? » 38! Рлзли»и!ые ПРедстАВления сОстОяния квлнтовых систем 153 В первом случае мы будем говорить, что состояние отнесено к прибору, анализирующему ансамбль по координатам частиц х (первая «система отсчета»), во втором случае — к прибору, анализируюгцему ансамбль по импульсам р (вторая «систелга отсчета»).
Коротко говорят: состояние дано в «х»-представлении илн состояние дано в «р»-представлении '). Найти «р»-представление очень легко. Пусть нам дана волновая функция тр(х, Е) («х»-представление). Разложим эту функцию по собственным функциям оператора импульса фр (х) (т.
е, в интеграл Фурье), тогда ф (х, Е) = ) с (р, Е) фр (х) г(р, (38П) с(р, Е) =)ф(х, Е)ф'. (х) г(х, (38.2) Если мы знаем амплитуды с(р, Е), то мы знаем и тр(х, Е), задание с(р, Е) вполне определяет ф(х, Е). Поэтому с(р, Е) можно рассматривать как волновую функцию, аргументом которой является импульс р. Эта функция изображает физически то же состояние частицы, что и функция ф(х, Е). Формулу (38.1) следует рассматривать как преобразование волновой функции от «р»-представления к «х»-представлению, а (38.2) — как преобразование от <х»-представления к «р»-представлению. Рассмотрим теперь представление состояния, ко~да за независимую переменную взята энергия частицы Е. Пусть, для определенности, Е имеет дискретный спектр значений: Е„Е,,, Е„, ....
Соответствующие собственные функции обозначим через «р! (х), ф«(х), ..., ф„(х), .... Волновую функцию ф!(х, Е) мы можем представить в виде ряда ф(х, Е) =~с„(Е)«ра(х), (38.3) л с„(Е) = $ «р (х, Е) трй (х) г(х. (38.4) Опять-таки задание всех амплитуд с„(Е) вполне определяет «Р (х, Е). Обратно, задание ф(х, Е) определяет с„(Е). Поэтому совокупность всех с„(Е) можно рассматривать как волновую функцию, описыпа!ощую то же состояние, что и ф (х, Е), но в представлении, в котором за независимую переменную взята энергия') Е, С этой точки зрения формула (38.3) есть преобразование волновой функции от «Е»-предсгпавления к «х»-представлению. Формула (38.4) есть формула обратного преобразования.
Из формул (38П), (38.2), (38.3) и (38.4) следует, что вероятность найти какое-либо ') Следует читать; «коордннатное представление», <импульсное представлепне». ») В полной аналогии с с(р,!) вмссго с„(Е) (п=1, 2, 3, ...) мы могли Вы писать: с(й, Е) (Е= йг, й<, ..., Еа, ...). ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ <гл.
т<1 154 значение независил<ой <беременной равнп квадрату модуля волновой функции в соответств<иощем представлении. В самом деле, пусть имеется некоторое состояние <)>(х, 1), тогда вероятность п<(х, 1) найти значение координаты, лежащее между х и х+йх, будет п<(х, 1) йх=!ф(х, 1),'йх. (38.5) Вероятность <о(р, 1) йр найти импульс р между р и р+йр будет п<(Р, Е) йР= ! с(Р, <) 1«йР. (38.6) Вероятность найти энергию п>(Е„, 1) равной Е„будет и< (Е„, () = ~, с«(1) ~' = ~ с (Е„, <) <». (38,7) $39. Различные представления операторов, изображающих механические величины.
Матрицы Для того чтобы изображение состояний <)> в разных независимых переменных получило полную законченность, нужно еще найти способ представления операторов в тех же переменных. Между тем до сих пор мы рассматривали операторы < как д «функции» х, считая, что А имеет внд Е( — М вЂ”, х). В этом случае оператор ь действует на функции вида <(>(х) и производит новую функцию <1> (х) по формуле р (х) == Е ( — 1'<< ~, х) <Р (х).
д (39.1) Т1оэтому можно сказать, что мы брали оператор Е в «х»-представлении. Найдем теперь оператор Е в энергетическом представлении («Е»-представление), считая, что энергия имеет дискретный спектр значений Е„. Соответствующие собственные функции пусть будут <р„(х). Тогда функции <р и <)> можно представить в виде <)> (л) = ~ с„<р„(х), <р (х) = ~ (>„<(>„(х). « (39.2) (39.3) Совокупность с„есть <(> в «Е»-представлении, а совокупность Ь„ есть <р также в «Е»-представлении. Оператор Е переводит в новую функцюо <», а вместе с тем и с„в новые амплитуды (>„.
Если мы найдем оператор, который бы непосредственно выражал (>„ через с., то тем самым мы найдем оператор ь в «Е»-представлении. Для этой цели подставим ф и <р из (39.2) и (39.3) в (39.11. Тогда РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ 5 39) мы получаем ~~ ~Ьитр„(х) =,) ', с„Ь~„(х). (39.4) Умножая (39А) на фз, (х) н интегрнрул по всему пространству л, мы получим в силу ортогональностп функций тр„(х) Ь = ~Х" 7,„ыси, (39.3) где Е, = ') тр* (х) 6р„(х) с(х. (39.6) йы Т-зз йзз" Т.зз ". Тзз сзз ьзз " ьзч ".
(39.7) Тип~им~ма ''' ~ мз имеющей бесконечное число строк и столбцов. Такая таблица называется м а т р и ц е й. Величины Е„„называются м ат р и чи ы и н э л е м е и т а м и. Каждый матричный элемент имеет два индекса'). Первый есть номер строки, второй — номер столбца. Безразлично, как мы располагаем в такой матрице строки и столбцы. 1-1о в каждом расчете необходимо, конечно, соблюдать одно определенное расположение.
Мы условимся нумеровать строки и столбцы в порядке возрастания собственных значений: Е,-.-Е«-=. Ез= .. ~Ел== Можно найти представление операторов 1. и в том случае, когда независимая переменная имеет непрерывный спектр значений. ') Часто примсняютсл другис обозначснил натри шык элементов, введенные ззиракозч именно, пишут (т ! Е ~ и) вместо Тчпп, или еще подробнее: (И„, '~ Т.
( Еп) вместо ь' В этом последнем обозначении указывается не только оператор (Е), которому принадлежит л~агричиый элемент, но и представление, в котором он березой (Л), и, наколол, номера собстпенпык зпзчспип' зп и и, которым прннадлслзпт матРичный элемент. Тзкое обозначение особенно удобно в случае вырождения (з 2!), когда волновые функции характеризуются пссколььими индексами. Зная все величины Ем„, мы.можем по формуле (39.5) найти все амплитуды Ьп (функцию ср в «Е»-представленни) по заданным сз (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
