Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Так же обстоит дело и в классической механике. (Ср. дополнение т(1, формула (10').) Выражение в фигурных скобках может быть преобразовано сле- дующим образом: б!у Аф*ф + А(фвЧф + фЧфв) — — Йу Афвф+А7(феф) с()у (Афвф) СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 125 и (29.17). В дополнении т(111 более подробно рассмотрена зта сторона дела и показано, каким образом из требования самосопряженностн оператора Й вытекают требования к поведению волновой функции в особых точках (2 20), обеспечивающие справедливость уравнения непрерывности во всем пространстве. й 30.
Стационарные состояния В отсутствие переменных внешних полей гамильтониан Н не зависит от времени и совпадает с оператором полной энергии Н(х). В этом случае уравнение Шредингера (я ~(,' = Й (х) ф (х, () (30. 1) имеет важные решения, получающиеся путем разделения перемен- ных х и (: т)т(х, () =ту(х))(т), (30.2) Подставляя (30.2) в (30.1) и обозначая постоянную разделения переменных через Е, мы получаем (3$ = Е), Й (х) ф (х) = Етр (х).
(30.4) Первое уравнение решается сразу: . ет ,т(г) =сопз1 е (30.5) Что же касается второго уравнения, то, как видно, оно совпадает с уравнением для собственных функций оператора энергии ') Й. Если обозначить эти функции через ф„(х), а собственные значения через Е„(для определенности мы берем случаи дискретного спектра энергии), то окончательное решение (30.2) запншется в виде Е„! т(т„(х, () =ар„(х) е (30.6) да оэ а (30.?) ') Уравнение (30.4) получается иа общего урависиия (20.2), если талт по,точитьь Е= Й, С=-Е. Отсюда следует, что состояния с опредетенньгтг знпчениеи энергии Еч(<ХЕ)' = О) гаРмпнически зпвисат От вРемени с частотой, Рпвнпй ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ !Гл.
гу г26 .елг г(г (х, г) = й, с„гр„(х) е (30.8) Амплитуды с„определяются через начальную функцию гр(х, О), В самом деле, в силу ортогональности функций г)„имеем с„=)гР(х, 0)гР„'(х) дх. (30.9) Вычислим теперь вероятность местоположения частицы иг„(х, г) и плотность тока вероятности )„(х, () в гг-м стационарном состоянии. Согласно (29.4) и (29.5) имеем иг„(х, г) = / гр„(х, г) !' = гр„* (х, г) гр„(х, г), 1.(х, () =2 — „(гр.(х, Оргр" (х, () — Ы(х, ~) Ч~.(х, ()).
Подставляя сюда гр„(х, () из (30.6), находим, что иг„(х, г) =ш„(х, О), 1„ (х, () = 1„ (х, О), (30.10) (30.11) т, е. в стационарных сосгпояниях вероятность местогголожения часпшцы и плотность пгока вероятности не зависят от времени. Отсюда же (имея в виду (29.11)) следует, что в этих состояниях средняя плотность электрических зарядов р, и средняя плотность электрических токов 1, не зависят от времени. Таким образом, система, находящаяся в состоянии с определенной энергией Е„((ЛЕ)з=0), представляет собой систему статически распределенных зарядов и постоянных токов.
Характеристггка стационарных состояний будет более полной, если мы обратим внимание читателя на то, что а стационарных состояниях вероятность ш(Е) нахождения какого-нибудь значения 1 любой механической величины (не зависящей явно от времени) не зависит от времени. Вместе с тем и среднее значение Е является постоянным. Для доказательства этого положения Этот результат распространяет соотношение де Бройля Е = йго, применявшееся первоначально к свободному движению, на любые системы. Состояние (30.6) с определенным значением энергии по причинам, которые сейчас выяснятся, называют ста ц и о на р н ым.
Уравнение же (30.4) называют у р а в н е и и е м Ш р е д и н г е р а дл я ста ци она р н ы х сост о я н и й. В силу линейности уравнения (30.1) его общее решение гр(х, () может быть представлено как сургерпозггция стационарных состояний с произвольными, но постоянными амплигггуда.гггг, именно, 12? СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ % зо1 воспользуемся формулой (22.14) ю(1.) =/с(Е.),", где с(Е) есть амплитуда в разложении ф(х, () по собственным функциям ~ре(х) оператора 1., представляюшего величину 1. Со- гласно (21.16) имеем для стационарного состояния ф,(х, ?) (30.6) е ! с((.) =г)фй(х)ф„(х, 1) с(х=е " $ф*. (х)ф„(х)йх и, следовательно, и?((-) = ~ с(Е) ' = ~ ~фь (х) ф„(х) г(х ~'=сопя(.
(30.!2) Глава Ч ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 5 3!. Производные операторов по времени Уравнение Шредингера позволяет установить простые правила, следуя которым можно вычислить изменение среднего значения той или иной механической величины за бесконечно малый промежуток времени, иными словами, вычислить производную по времени -„— Е от среднего значения Г.
некоторой величины Е. Физический смысл этой производной таков. Допустим, что в момент времени Г имеется микросистема, описываемая волновой функцией ф(х, Г). Произведем измерения величины 1 в этом состоянии. Мы получим результаты отдельных измерений 1', Г, У'", ... Среднее нз большого числа измерений будет Х (() и вычисляется по форлуле Х(Г) =~ф*(х, !) Еф(х, Г) дх.
(31.!) Другую серию наблюдений мы проведем в момент времени Г'=!+Л1, близкий к С Мы получим новую серию результатов. Выполнение двух серий измерений в момент ! и момент г' +Л( следует представлять себе следующим образом. Имеется ансамбль из большого числа М независимых экземпляров микросистем, находящихся в состоянии ф(х, (). Мы разбиваем )У на две большие группы У' и Л'". В момент 1 мы производим измерения в первой группе частиц М' и получаем с (Г), при этом состояние этих мнкросистем, вообще говоря, изменится, и оно уже больше не описывается функцией ф (х, г). Затем в момент ( + Л( мы произведем измерения в группе микросистем )у", не тронутых первым измерением.
Из этих измерений и получается новое среднее Ъ(г'+Лг), которое, вообще говоря, будет другим, так как за время Лг' состояние, описываемое ф(х, г), изменится и те же результаты (.', Е", ь"', ... будут получаться с иной степенью вероятности. Кроме того, может случиться, что сама величина С явно зависит от вре- ПРОИЗВОДНЫЕ ОПЕРАТОРОВ ПО ВРЕМЕН!! $ зи мени, так что и возможные значения !'', 7.", 7.'", ...
будут изменяться с течением времени. Обозначим средний результат измерений в момент (+М через Е (!+ Л!), тогда д . К. Р+Л!) — й Р) (31.2) м о Вычислим эту производную. Дифференцируя (31.1) по времени, получаем г)! ') ф - ф с(х+ ~ — с.ф с(х+ ~ ф т. д с(х.
(31,3) дс Очевидно, что первый член есть среднее значение -- и равен нулю, если 7. явно не зависит от времени. Два последних члена мы упростим, пользуясь уравнением Шредингера (28.3). Именно, нз (28.3) имеем дф ! " дф" ! —, =,—. йф —," = —,—. й ф*. д! Рл ' д! !а Подставляя эти выражения в (31.3), найдем д). д!.
! Г - „" ! Г -„-, = — „—,.л 1 (Й'ф") ((.ф) (х+ м !т ф*((".йф) (». Первый интеграл преобразуем, пользуясь самосопряженностью оператора й. Обозначая фа=-и";, 1фе ит, на основании свойства самосопряженности (18,7) получаем ~ (й"фе) (6~) г(х = ~ иаН*ие! с(х =- Г)иечЙи, с(х =- ~ ф" (Й6Я с(х. гм'. Подставляя это в выражение для —, находим — „, =-,,-+д ~ф" Фй — И)ф~».
(ы~А) Введем обозначение [Н, ц = -.й (т".Й вЂ” Нт"). (31.5) ! * Оператор;-(с,Н вЂ” На.) будем называть к в а нтов ой скобкой !'л П у а с с она'). Введенное обозначение позволяет написать (31.4) н форме "д! = д)+[Н. Ч. (31.6) л!ы видим, что производная по времени от среднего значе!и!Я 1. есть среднее от некоторой величины, изображенной ') Эта терминологии заимствована нз классической механики. См. дояол!кяяе у), формулу (4).
В я м 1зо изменение во внамвии махлиичвских величин игл, ч оператором ' — „+[Й, ц. Поэтому этот оператор следует принять за оператор в производ- Л. Л ной по времени „вЂ” „от величины 7., изображаемой оператором 1.: в'; =' — '+<Н, ц (31.7) Это определение оператора, изображающего производную по вре- Н.
мени „вЂ”,, ведет к тому, что Л. г в вг". р-(~) = в = ~ Ф* в ф"' (31.8) т. е. производная по времени от среднего равна средне,ну от производной по времени. Если величина В не зависит от времени явно, то формулы (31.6) и (31.7) упрощаются: у=[Й, Ц, (31.9) —, =[У?, Ц, (3! .10) В заключение обратим внимание читателя на то, что при вычислении оператора производной по времени от произведения илн от суммы операторов с квантовой скобкой Пуассона можно обращаться как с обычной производной (соблюдая, однако, порядок сомножителей). Действительно, нетрудно видеть, что если = А+В, то Ж=[Й А+В1=[Н, А1+[Н В)= в, + вр.
(31.!1) и если 1,=АВ, то — =[Н, АВ) =[Й, А1В+А[Н, В1= — В+А- —. (31.12) 2 32. Уравнения движения в квантовой механике. Теоремы Эренфеста Найдем теперь законы изменения импульсов и координат с течением времени. Импульсы и координаты являются величинами, не зависящими явно от времени. Поэтому, согласно (31.10), операторы производ- $ 32] уРлвнения движения. теоремы эРенФестд >З1 ных этих величин по времени выражаются просто через квантовые скобки Пуассона, т.
е. в конечном счете через операторы самих этих величин и гамильтониан Н, характеризующий рассматриваемую механическую систему. Обозначим операторы декартовых координат х, у, г и соответствующих импульсов р, Ри, р» соответственно через Х, 1>, 2 и Р», Р„Р,'). Гамильтониан Н будет функцией этих операторов и, вообще говоря, времени 1; Й=Н(Р„, Р„, Р„Х, )>, г, (). (32.1) кх ку кЯ Обозначим далее через —, —, — ' операторы производных пт ' йт ' нг координат по времени, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
