Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(21.6)); таким образом, ~ ф' (х) ф (х) Нх= ')',слб =с . л Отсюда, меняя обозначение Ач на а, получаем с„= ~ ~р„"' (х) ф (х) бх. (21.14) Таким образом, зная ф и систему ортогональных функций ф„, мы можем найти все амплитуды с„, встречающиеся в ряде (21.13). Частным случаем таких разложений по ортогональным функциям являются ряды Фурье.
В случае непрерывного спектра имеет место разложение в интеграл, подобный интегралу Фурье. Именно, в этом случае Для определения коэффициентов с (Е) умножим (21.15) на ф* (х, Е') и проинтегрируем по х: ) ~$ л (х, Е') ф (х) Нх = ~ с (Е) бЕ ~ фл (х, Е') ф (х, 1) с(х = = ') с (Е) г(Е б (Е' — Е) е с (Е'). Меняя здесь обозначение Е' на 1., получим окончательно с (Е) = ~ ф * (х, 1.) ~р (х) Их.
(21.16) ,Найденные нами представления любой функции в виде разложений (21.13) и (21.15) по собственным функциям операторов приводят к очень важному выводу: любое состояние, изображаемое волновой функцией ф (х), может быть представлено в виде супер- позиции (21.13) или (21.15) состояний, относящихся к определенным значениям какай-либо механической величины. В самом деле, состояния ф„ или ф (х, Е) по своему определению являются состояниями, в которых некоторая механическая величина Е имеет определенное значение Е„ (либо соответственно 1.).
А выражения (21.13) и (21.15) представляют ф (х) в виде суммы (либо интеграла) этих частных состояний. Пользуясь ортогональиостью функций ф„, мы можем определить коэффициенты сл и таким образом найти ряд, представляющий ф (х). Для этого умножим (21.13) на Я (х) и проинтегрируем по всему пространству ~ лр* (х)ф(х) с!х=~;с„~ф* (к) ф„(х) Нх. л ЗЗ ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ !ГЛ.
!!! й 22. Общий метод вычисления вероятностей результатов измерения ф (х) = 'У,'с„ф„(х). л (22.1) Для сопряженной функции получим 1рл(х) =~,'с фл (х) (22.1') (где и пробегает те же значения, что и а). Подставляя этн выражения для ф и 1рл в формулу для среднего значения величины ~ в состоянии ф мы найдем Х = ~ ф* Ц~ дх = „~, '„У', с„"с„~ ф" 6~„дх. (22.2) Так как 1р„есть собственная функция оператора 1„то М.=~,ф.. (22.3) ПОЛЬЗуяСЬ (22.3) И ОртОГОНаЛЬНОСтЬЮ фуНКцИй 1р' И фл, МЫ ПОЛУ- чаем вместо (22.2) Х =,У,',Я сл с„1.„6„„= У, 'с,',с„(.„, т.
е. Ь = ~Ч~ ( С„)~ 1.„. (22,4) Далее, умножая (22.1) на (22.1') и интегрируя по всему пространству, получаем 1= ~флфбх=~', 'У,'с*с„~ ф;ф„1(х=~ч',~ч', с„*слб. =~ч',~с„~' илн ~ ) сл 1Б = 1. л (22.5) Выше было показано, как находить среднее значение Е любой величины, изображаемой оператором 1., и как находить возможные значения Е„ 1.„ ...„ Е„ такой величины. Теперь мы перейдем к вычислению вероятности того, что в некотором состоянии ф (х) в результате произведенного измерения механической величины Е будет обнаружено значение Ь = 1.„. Основная идея вычисления основывается на принципе суперпозиции состояний. Пусть собственные функции оператора Е будут лр„(х). На основании свойства полноты и ортогональности этих функций мы можем представить волновую функцию ф в виде суперпозиции ОБЩИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5, аг) С другой стороны, если через в (Е„) обозначить вероятность того, что случайная величина Е имеет одно из возможных значений Е„, то по общему Определению среднего имеем Е= Яв(Е„)Е„ (22.б) при условии, что (22.
7) Сравнение (22.6) и (22.7) с (22.4) и (22.5) показывает '), что в (Е„) = ! с„)а. (22.8) Вероятность найти значение механической величины Е равным одному из ее возможных значений Е, равна квадрату модуля амплитуды собственного состояния ф„. Иными словами, эта вероятность определяется интенсивностью (с„)а, с которой собственное состояние ф„представлено в состоянии гр. Для вычисления вероятностей того или иного значения величины, имеющей непрерывный спектр, поступаем совершенно аналогично тому, как было сделано в случае дискретного спектра.
Разложим рассматриваемое состояние ф по собственным функциям ф (х, 1,) оператора Е: ф (х) = ) с (Е) ф (х, Е) йЕ, (22.9) при этом ф (х, Е) нормировано к б-функции, а тр — к единице. Вычислим опять среднее значение Е в состоянии ф Е = ~ ф* Еф йх = ~ ~ с* (Е') ф" (х, Е ) йЕ' Е ~ с (Е) гр (х, Е) йЕ йх, и так как ф (х, 1.) есть собственная функция, то Егр(х, 1,) =Егр(х, 1.); подставляя это в предыдущее выражение для Е и меняя порядок интегрирования, получим Т.=~ ~с" (Е')с(ЦЕаЕ'йЕ ~ар" (х, Е')тр(х, Е) йх н в силу (21.!2) Е = 1 1с" (Е')с(Е)Ег(Е'йЕ8 (Е' — Е). Иа основании свойств б-функции отсюда следует, что Е = ~ ) с (Е) )а Е й1..
(22.10) ') Зля вполне строгого сравнения (22.6) и (22.4) следует рассмотреть такой оператор, который есть функция Е и равен ! при Е = Е„и О, если Е ~ Е„. Сред. нее от такого опеРатоРа Равно ! са )а пй (22.4) и Равно ав(Е„) по (2а2.б), откУда и вытекает ) сл /а = ге(Ея). )оо нзоврджпннп махдннческнх вплнчнн оппрдтопдмн [гл, гн Подобным же образом получаем 1=~фефНх=~с(х~се(Е')фе(х, Е') с(Е'~с(Е)ф(х, Е) бЕ= =~~с*(Е')с(Е)г(Е'Ы,б(Е' — Е) =~ ~с(Е) (зШ„ т. е. ~ ~с(Е) 1зс(Е=!. (22.1!) Если вероятность того, что значение непрерывной, случайной величины лежит между Е н Е + г(Е, есть гп (Ц г(Е, то по общему определению среднего значения Е ) Егп (Е) с(Е (22.12) прн условии ~ гп (Е) г(Е 1.
(22.13) Сравнивая (22.12) н (22.13) с (22.1()) н (22.11), получаем ш(Е) (Е=(,(Е)( а.. (22.14) Подобным же образом для величины, имеющей непрерывный спектр, будем иметь гп (Е) г(Е,~ ЯРагпа (Е) с(Е (22.16) г) Заметим, что формула (22.14) содержит как частный случай формулу (И.4) для вероятности импульса. действительно, с(р„, рз, р») есть амплитуда сосгояиня ф с определанным импульсом, иными скопамй, — собственного сов стояния оператора импульса.
Поэтому с (р», р„. рз) и с(Е) (2з2.14) кмезгг акала. гичный смысл. 1(ля перехода ат (22.14) к (12.4) достаточко взять в качестве Е трн компоненты импульса р„, и, рз'н соответственно заменнтыЫ, произведением йр»г(рзбр». Таким образом, н в случае непрерывного спектра мы прнходнм к сгатнстнческой интерпретации интенсивностей собственных состояннй ) с (Е) 1' '). Приведенные выше формулы справедливы лишь для чистого ансамбля, характеризуемого одной волновой функцией ф (х).
Ддя смешанного ансамбля предыдущие формулы должньг быть несколько обобщены. Пусть мы имеем смешанный ансамбль, образованный нз чистых ансамблей фг, ф„..., ф„..., смешанных в пропорции ЄЄ... ..., Р„... Тогда, если вероятность найти значение Е„некоторой величины Е в чистом ансамбле фе есть гп, (Е„), то полная вероятность найти Е = Е, в смешанном ансамбле будет равна гп (Ез) =,У> Разде (Ел) ° (22.15) а 5 ЕП ОДНОВРЕМЕННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 1О1 причем юа (гл) = ~ сал ! е ша (г) =1са (Ц! (22 17) где са„и са ((.) суть амплитуды собственных функций оператора (.: ер, (х) нли соответственно ер (х, Е) в разложении ~р, (х).
В соот- ветствии с формулами (22.15) и (22.16) среднее значение величины Ь в смешанном ансамбле есть Е=;)',Р,Е„ а (22.18) где Е есть среднее значение (. в чистом ансамбле ф: г а = ~ ера г4а е(х. (22.19) 5 23. Условия возможности одновременного измерения разных механических величин Ьфу. = 1.еРА и Мфм = Мейл, (23.1) имеют, вообще говоря, различные решения еРА ~ ейм.
Поэтому в состояниях еум с определенным значением Ь((И.)'= О), величина М не имеет определенного значения ((ЛМ)' )0) и, наоборот, в состоянии ерм с определенным значением М1(ЛМ)е=О) величина (. не имеет определенного значения ((Ль)е) 0). Только в особых случаях две величины (. и М имеют одновременно определенное значение (для этого нужно, чтобы ~ум = ерг). Можно показать, что условием того, чтобы две величины (. и М всегда могли иметь рдиовременно определенные значения; является коммутатиеногте их операторов 1, и М. Иначе говоря, должно иметь место операторное равенство ') СМ=М(.. (23.2) ') Сн.
Еополненне Р4. Мы видели, что в квантовой области не существует таких состояний частиц, в которых импульс и соответствующая ему координата одновременно имели бы определенное значение. В таком же взаимно исключающем друг друга отношении находятся и многие другие величины. В самом деле, чтобы существовали состояния, в которых две величины Ь н М одновременно имели бы определенные значения (Ь(.)е = О, (ЛМ)' = О, нужно, чтобы волновая функция такого состояния была общей собственной функцией операторов Ь и М.
Между тем уравнения для собственных функций операторов КнМ: )ОР ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ 'гГЛ. И! Напротив, если 1,М чь М1., (23.3) то величины 1. и М не имеют одновременно Определенных значений (кроме, может быть, исключительных). Две величины, изображаемые коммутирующими операторами, могут иметь одновременно определенные значения и позпюму, по крайней мере, в принципе, могут быть измерены одновременно. Две величины, изображаемые некоммутирующими операторами, не могут одновременно иметь определенные значения и поэтому не могут быть одновременно измерены '). Измерение одной из таких величин 1, приводит к состоянию тры Измеряя в этом состоянии М, мы получим некоторое новое состояние траы не совпадающее,с исходным зрю Иными словами, измерение одной из таких величин меняет состояние системы таким образом, что значение другой величины становится неопределенным. Мы видим, что и в общем случае мы встречаемся с влиянием измерительного прибора иа состояние системы подобно тому, которое мы рассмотрели выше на примере измерения импульса и координаты (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
