Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 18
Текст из файла (страница 18)
б )б), что измерение коорзюмты требуст энергии, которая черпается либо из прибора, либо нз самой частины, РОЛЬ !сЗМЕРИТСЛЬПОГО ПРЦБОРА » гг! 81 гр, (х), зр„- (х),... представлены с вероятностями ) зр(х') )а, ! зф(х") )», т. е. эта вероятность, как и в случае измерения импульса, определяется интенсивностью ) с (х') ) ', с которой чистое состояние ар (х) представлено в исходном чистом ф, рду состоянии зр(х) (а этом специаль- сх) ном случае с(х') = з)с(х')). а Позднее мы покажем (9 22), а что если измеряется любая ме- х=х' Ж ханическая величина Е, могу- Рис.
)9. Редукиия волнового пакета щая принимать значения Е! Ея.,р( ) (кривая ) к ф н ф,( ) Ез,„., 1.„, то, чтОбы найти ве- (кривая ь) после измерения коорди. роятИОСТЬ ТОГО, ЧТО Е = Е„, наты х, оказавшейся равной х'. нужно разложить ф(х) в спектр ИО СОСТОЯНИЯМ зР„(Х). КажДОЕ ИЗ ЭтнХ СОСтангппй ХаРаКтЕРИЗУЕтСЯ тшс, что в ием величина Е имеет одио-единственное значение Е = = Ея '). Такое спектральное разложение москет быть представлено в виде (17.
5) Тогда число случаев с)с„, когда Е = Ея, будет пропорционально (с„)Я, т. е. — "=)е, !', — "=)ея. !з, — "=)с„- (з,... (17.6) и мы опять получаем редукцво исходного пакета зр(х) к одному из состояний з)с„(х), а вся совокупность измерений опять-таки образует смешанный ансамбль. Таким образом, рассмотренное поведение квантовых ансамблей прп измерениях является совершенно общим и может быть сформулировано так: измерение превращает гсиеспьгс1 ансалсбль в слсешаппыи' е).
Это превращение чистого ансамбля в смешанный есть не что шюе, как прах!пи«еское оесуществленссе спектрального раз«оженил сгг ггх)на-о пнсалсбля в спекспр по чигтьсси апгамблядс, которьсе отбиршт прибор. Исходный ансамбль, «проходя» через прибор, разлагается па составные «подапсамблп», определенные по отношению к этому прибору. Поэтому в квантовой механике система отсчета — классический измерительный прибор есть не что иное, как спекпсраль- ') Ради разнообразия примеров мы предполагаем здесь, что величина Е гпссгг дискретные значения Е„ С«,..., а отличие от ранее рассмотренных слу. чаы! я и л, нмсмгиих пспрсрыггиге значения.
) Кроме случая, когда измсрсннс попросту повторяет то, которьш опрс- дс,гсп исходный аисамблгь тогда ансамбль осгаиетса пеизиениым, ОСНОВЫ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ [гл. н ный анализатор квантовых ансамблей, с помощью которого и изу- чается их природа. Стремление подчеркнуть эти особенности квантового ансамбля заставило нас сосредоточиться на измерительном приборе, как на спектральном анализаторе ансамбля.
Однако процесс измерения не заканчивается на спектральном разложении, которое является лишь первой стадией квантового измерения. Необходимо еще зафиксировать, в каком именно пучке в том илп ином измерении обнаружилась частица. Для этой цели служат детекторы, реги- стрирующие факт обнаружения частицы в том илп ином пучке, как теперь чаще говорят, в том или ином канале, Детектор также является л[акроскопичсскпм устройством, однако особенным в том смысле, что это устройство лолжно быть обязательно макроскопически неустойчивым. Если в квантовой области явлений измерительной прибор нпогча неизбежно вмешивается в состояние измеряемой частицы, то мпкрочастица со своей стороны всегда вмешиваегся в состояние измерительного прибора и меняет его некоторым определенным образом, иначе прибор следовало бы считать нечувствительным.
Ясно, что мпкрочастица не обладает ни энергией, ни импульсом, достаточнь[ми, чтобы изменить состояние устойчивой макроскопи- ческой системы. Однако она может изменить состояние макроско- пической системы, если эта система находится в неустойчивом состоя и ш [. Легко заметить, что все устройства, летектнрующпе мпкро- частппы, неустойчивы плн электрически, плн термодинамически, нли механически. Так, в счетчике Гейгера первичная ионизация газа, вызванная заряженной частицей, приводит к лавинообраз- ному возникновению вторичных электронов и, как следствие это- го, к макроскопическому явлению — к электрическому разряду.
В камере Вильсона ионизация привалит к образованию вдоль следа частицы капелек жидкости в термодинамически неустой- чивой атмосфере переохлажлснного пара; в пузырьковой камере вдоль следа частицы возникают пузырьки пара в перегретой жид- кости, центрами образования которых служат первичные ионы. В фотопластинке возникают в чувствительном зерне цепные хими- ческие реакшш, приводящие к почсрнению всего зерна. Таким образом, измерение в квантовой области начинается с квантового мпкроявления и оканчивается явлением макроскопн- ческнм.
Л1ожио сказать, что действие частицы на измерительный прибор носит характер действия спускового механизма, вызываю- щего взрыв. Важнейшая особенность пзмсрптел[ных приборов заключается в том, что разлп шыс анализаторы дают (и это лежит в природ самого ьшкром1[ра) исключающие друг друга спекгральпыс раз- ложения так, что одновременное применение к микрочастицам ъ и! иол! пзмгнптслыкио ИР!п,огл дополнительных признаков становится неадекватным действительности. Измерительное устройство, состоящее нз анализатора и детектора, не следует представлять себе обязательно в форме лабораторного прибора.
Напротив, экспериментатор илп техник, выбирая тот или иной прибор, лишь комбинирует то, что уже есть в природе, и было бы нелепо думать, что, не будь «наблюдателя», квантовые ансамбли потеряли бы свой смысл. Как только в природе осуществляется такая ситуация, когда возникает спектральное разложение исходного ансамбля и соответствующее детектирование частиц, тогда происходит образование новых ансамблей, которые будут определяться по новым признакам, т. е. происходит то, что принято называть «вмешательством измерениям Наблюдается этот процесс экспериментатором или нет, это не имеет никакого отношения к самому объективному явлению. Вопросам теории квантовых измерений посвящены параграфы !39 и 140 в кояце книги, где дано полное освещение этого важного раздела теории.
Г л а в а 11! ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ $18. Линейные самосопряженные операторы Мы видели, что в квантовой области не существует таких состояний, в которых импульс и координата частиц имели бы одновременно определенные значения. Это обстоятельство находит свое отображение и в формальной стороне теории: математический аппарат квантовой механики резко отличается ог математического аппарата классической механики, в которой задание пары величин р, х имеет полный смысл. Переходя к изложению этого аппарата, мы в качестве исходного пункта используем выражения для среднего значения функций координат или импульсов в состоянии ф(х, у, г), приведенные в ~!3. Там мы имели для среднего значения функции координат частицы формулы (13.!) Е(х, у, г) =)ф" (х, у, г) Е(к, у, г)ф(х, у, г) с(хс(ус(з (!8.1) и для.
среднего значения функции импульсов формулу (13.8) Е(р. Р Р.) = с . д . д . дт й)* (х, у, г) Е( — И вЂ”, — И вЂ”, — И; !~1) (х, у, г) с(х с(ус(г. (18.2) Зти формулы принимают совершенно одинаковый вид, если проек- ции импульса р„, р„, р, представить операторами Р„= — И вЂ” —, Р„= — И вЂ”, Р, = — И вЂ” — (18 3) д " .
д . д и соответственно этому обозначению написать (!8.2) в виде Е(Р„, Рк, Р,) = = ~ ф" (х, у, г) Е (Р„, Р„Р.-) ф (к, у, г) с(х с(у с(г. (18.4) линейные схмосопРяженные ОНЕРАТОРН $ м> 85 Таким образом мы приходим к изображению функции от импульса Р(рх, р„, р,) оператором Р(Р„, Р„Р,). Этот результат подсказывает, что и другие более сложные механические величины 7.(р„, р„, р„х, у, г), зависящие как от координат, так и от импульсов, также должны изображаться операторами. И в самом деле, оказывается, что все взаимоотношения между механическими величинами в квантовой области могут быть выражены на языке операторов определенного класса. В этом заключается фундаментальное значение введения операторов в квантовую механику.
Чтобы выделить класс операторов, встречающихся в квантовой механике, обратимся сначала к общему определению оператора. Независимо от конкретного вида под оператором 7. будем подразумевать символ, показывающий, каким способом каждой из рассматриваемого класса функций и(х) сопоставляется другая функция О(х). Это символически записывается в виде у>анозхения и на ул 1.и (х) = и (х).
(18.5) В этом равенстве под 7. можно подразумевать, например, умно!" д~ жение на х(Ь=х), дифференцирование по х~у.=,-~,извлечение дх~ ' корня (1,=1') и т. п. Из всего разнообразия мыслимых операторов для изображения механических величин в квантовой области употребляется только один определенный класс операторов, так называемые линейные самосопряженные (иначе — эрмитовские) операторы.
Оператор 7. называют линейным, если он обладает следующим свойством: 7. (с,и,+с.,и,) =с,1.и,+с,у.и„ (18. 8) где и, и и, — две произвольные функции, а с, и с, — произвольные постоянные. Ясно, что корень нс является линейным оператором; д в то время как — есть оператор линейный. дх Это ограничение вытекает из принципа суперпозиции состояний. Свойство линейности оператора, выраженное в (18.6), означает, что применение оператора к суперпозицин двух функций и, и и, равно суперпозиции результатов применения этого же оператора к каждой из функций порознь (Цс,и, + с,и,) = с,и, + с,ие где и, = 7.и„и, = (.и,), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
