Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Основываясь на этом пояснении, мы можем написать (Лх)в = (х — Х) а = ха — Ха, (15.8) (Лр )'= (р- — р. )'= р» — Р'. (15.9) Не снижая общности доказательства, мы можем выбрать для дальнейшего подсчета подходящую систему координат. Именно, выберем начало координат в точке х. Тогда х = О. )Талее, пусть эта система координат движется вместе с центром распределения х. Тогта и р„= О. В этой системе координат получим вместо (15.8) н (!5.9) (Лх)в = х', (15. 10) (15.10') (Лр.,)' = р~.
Согласно (13.1) и (13.11) имеем +О: (Лх)' =х'= ~ тр'«(х) х»тр(х) дх, +о» (Лр.) =р„»= — й ~ фа(х) —,—.„~. 1(аща задача заключается в установлении связи между (Лр )' и (Лх)'. л(тя этой цели рассмотрим вспомогательный интеграл + «с уа= ~ ~~ ~+"4,") ~'д, (15.12) ') Осли'п«иы (ая») )' (дх)» называют «стандарта»«и» или «дисперсией». з* (15.11) (15.1Г) Для того чтобы установить соотношение неопределенностей в с| рогой форме, нам следует прежде всего выбрать меру для отклонения отдельных результатов измерений импульса р и координаты х от их средних значений р» и г, иными словами, точнее определить, чго мы будем нанимать под «неопределенностями» Лр«и Лх. В качестве такой меры мы выберем употребляемые в статистике г редине квадратичные отклонения (Лр,)в и (Лх)").
Эти величины определяютсяя следующим образом. Пусть х есть среднее значение величины х. Если в каком-либо индивидуальном измерении мы получим щачение х, то Лх =- х — х будет отклонением результата измерения от среднего значения л. Среднее значение этого отклонения, очевидно, всегда равно нулю: Лх= х — х=х — х=О.
[гл. и основы квлнтовоп мкхлннки где $ — вещественная вспомогательная переменная. Раскрывая квадрат модуля, получаем +со +ос +ос 1($)=$в 1 .Р!Ф~'Ых+$ 1 х(Ф" Ф+Ф 2)дх+ 1 ГФД. (15.13) Обозначая +со А = ~ ха ! ф ~з з(х = (Лх)з, (!5.14) + оо В = — ~ х ~„(ф"ф) Их= ~ трезрдх=1, (15.14') + со С= ~ — „„— дх= — ~ зй — „, дх= — „,' (15.14") ЬР* Ь! Р е ачР (ал,)з Кл Их,) ' Ылз (здесь пронзведено интегрирование по частям) '), мы находим 1($) =А$з — В$+С~О.
(15.15) Так как 1 ($) всюду неотрнцательно (прн вещественном $), то это означает, что корни уравнения 1$) =О (15.16) комплексны. На основании нзвестной теоремы о корнях квадратного уравнения, это может быть лишь прн условии, что 4АС ) Вз. (!5.17) Подставляя в это неравенство значение А, В, С нз(15.14),.(15.14'). (15.14"), мы приходим к искомому соотношению для (Лр„)' н (Лх)'. 4 ' (15 И) Это н есть соотношение неопределеннослмй в наиболее общем н строгом виде.
Вместе с тем доказано, что нет таких квантовых ансамблей, которые обладали бы тем свойством, что среднее квадратичное отклоненнедля импульса (Лр,)' н для соответствующей ему коордннаты (Лх)' одновременно равнялись бы нулю. Напротив, мы видим, что чем меньше среднее квадратичное отклонение для одной нз зтнх велнчнн, тем больше оно для другой. Отсюда следует, что нельзя придумать такой опыт, который позво- з) Мы воспользовались также тем, что в силу интегрируемости зр*ср производные от ср и сама зр исчезают при х = Х со, й Щ ИЛЛЮСТРАЦИИ К СООТНОШЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 69 лил бы дать физическое определение паре х, р, ибо возможность реализации такого опыта предполагает существование таких состояний, в которых одновременно (Ьр,)а = О и (ох)а = О, что противоречит соотношению неопределенности, основанному, в конечном счете, на уравнении де Бройля р =.
2пйу)с. Вместе с тем манипуляции, применяемые в области значимости соотношения де Бройля (область микромира) для измерения координаты частицы х и ее импульса р„, должны быть взаимно исключающими друг друга: можно рассототировать частицылибо по их импульсам, либо по их координатам ). Это выражается в том, что всякая локализация частицы ведет к изменению ее импульса, которое предсказывается квантовой механикой статистическим образом.
Нарушение импульса локализацией делает невозможным применение понятия траектории к движению микрочастиц. Стало быть, квантовая механика имеет дело с принципиально новыми объектами, не подчиняющимися классическим законам движения материальных точек. Само название «соотношение неопределенностей» подчеркивает эту неприменимость: представление «неопределенности» возникает лишь при неправомерном применении классических величин к новым по своей природе объектам. В следующем параграфе мы приведем иллюстрации этого положения. й 16. Иллюстрации к соотношению неопределенностей Рассмотрим сначала измерение координаты частицы с помощью щели.
Исходное состояние будем описывать плоской волной де Бройля тра. Пусть волна распространяется по направлению оси ОХ. Это состояние обладает той особенностью, что импульс частицы имеет вполне определенное значение, именно, р„=р, р„=р,=О, (16.!) Таким образом мы имеем дело с ансамблем частиц с заданным импульсом. Положение частиц (их координаты) в этом ансамбле, напротив, совсем неопределено ~трр )а = сонэ( и, стало быть, все положения частиц равновероятны. Попытаемся фиксировать хотя бы одну из координат частиц, например у. Для этого поставим экран со щелью, расположив его плоскость перпендикулярно к направлению распространения волн так, как у .16пу у р й аа 'у В ум у уу ууу ууууу о Оу Оуу ствует какой-либо функции распределения, зависящей от (р, л), которая могла бы изобразить квантовый ансамбль.
См. также $46 атой кикги. ОСНОВЫ КВАНТОВОН МЕХАНИКИ кл. и х з(па= —. ли' ' (16.2) Полушнрнна щели д есть не что иное, как неточность Лу, допускаемая при измерении координаты у. Далее, р з(п а есть проекция импульса на ось ОУ. Так как основная интенсивность волн де Бройля падает в область углов от — а до +а, то прн измерении импульса большинство результатов измерения будет лежать в интервале от — р з(па до +р з(па, т. е.
разброс измеряемых значений около среднего значения ри = 0 равен Лр„, р з!па. Так как по соотношению де Бройля р = 2пй/)и, то, подставляя в (1б.2) Лр„вместо 2нй з(п а/Л и Лу, мы получим Лри Лу пй частица пройдет через эту щель, то в момент прохождения ее координата фиксируется положением щели с точностью до полуширины щели д. Так как импульс вдоль осн ОУ известен (р„= О), то иа первый взгляд кажетсд, что мы определили и импульс р„, и координату у. Однако это совсем не так. В приведенном рассуждении про- пущено то обстоятельство, что окоУ~ ло щели будет иметь место дифракция: волны будут отклоняться от первоначального направления распространения. Вместе с тем имаи пульс частиц при внесении экрана со щелью изменится и не будет у таким, каким он был до внесения экрана, Среднее значение импульса р, по оси ОУ останется неизменным: р„ = О, так как дифракцня около щели происходит симметричным образом. Оценим по порядку величины возможное отклонение рис.
1а. иллюстраиии и измире- импульса Лр„от среднего значе- иию'у и рю ння. Если мы будем отклонять луч диэриииия ит щели в виииие. От Оси ОХ, то скоро он займет по- ложение, соответствующее первому дифракционному минимуму (далыпе пойдет дифракцнонный максимум н т. д.). Обозначим угол, образованный осью ОХ и указанным лучом, через а. Тогда наибольшая интенсивность воли будет приходиться на область от — а до +а. Угол а определяется из условия, чтобы лучи, исходящие от двух половин щели род этим углом, гасили друг друга (разность фаз н). Если длину волны обозначим через А, то для интересующего нас угла получим известное соот- ношение й 1«1 ИЛЛЮСТРАННИ К СООТНОШЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 71 Это соотношение показывает, что чем точнее определяется положение частиц (чем меньше Ау, т.
е. чем уже щель), тем в большей степени становится неопределенным их импульс (тем больше Ьрт), и наоборот '). Благодаря дифракции у щели измерение координаты делает неопределенным импульс р„, т. е, после прохождения щели частица оказывается принадлежащей к новому ансамблю, в котором Ьра )Оке не равно нулю. Другим примером может слу)кить фотопластинка.
Мы рассмотрим идеализированную фотопластинку. Суть идеализации заключается в том, что мы будем отождествлять фотопластинку с системой закрепленных атомов, а ионизацию такого атома — с образованием изображения на фотопластинке. На самом деле, ионизация одного из активных атомов порождает цепную химическую реакцшо, приводящую в конце концов к образованию на фотопластинке активного зерна.
После проявления это зерно обнаруживается в виде черного «пятнышка», которое и наблюдают на опыте. Атом можно считать закрепленным или медленно двнжущиыся около некоторой позиции только в том случае, если ои достаточно тлжел '). Хорошая «идеальная»' пластинка должна состоять из бесконечно тяжелых атомов, имеющих к тому же достаточномалые размеры а, так как размеры атома а определяют область, в которой произошла ионизация.
Позднее 5 51) будет показано, что волновая функция электрона, находящегося в атоме, отлична от нуля в области порядка а = — — й!)'2рт', где т' — энергия ионизации атома, а р, — масса электрона. Величина а равна, по порядку величины, неопределенности в положении электрона в атоме. Следовательно, этот электрон будет иметь неопределенность в импульсе Ьр ж йга. В этом опыте мы не ') Заметим, что в нашем выводе этого соотношения мы воспользовались тем, что длина волны а, а вместе с тем н полный импульс частицы)э не меняются прп диФракцни. Следовательно, при таком рассмотрении наибольшее значение ДР« ссгь Р, что соответствУет частиЦе, ДвижУЩейсЯ вДоль экРана.
ПоэтомУ пожег показатьсЯ, что мы можем, огРаничившись точностью ЛР» — — Р, Добитьса сколь угодно большой точности в определении координаты у, уменьшая ширину щслн. Зто, конечно, противоречит соотношению (15.7). Па самом деле это не так. )зше рассмотрение приближенно. Оно пригодно при условии, что длина волны ь я~рядка ширины щепа. С уменьшением ширины щели харантер волнового поля за экраном усложняется. Зтому полю уже нельзя приписать определенную длину волны ь так, как это мы делаем.
Разбор этого случая показывает, что ~оотпошение (15.7) остается верным з) действительно, полагая в соотношении неопределенностей арх = = Мак, '., где М вЂ” масса атома, о„— его скорость, мы Попутны апх я Отсюда с. х . х М.а когда М сюда следует, что и ах и ао могут быть малы одновременно- только тогда, х вполне оп зели о Бесконечно тяжелая частица может стало быть н занимать определенное положение, и иметь определенную скорость (в частности, быть неподвижной). основы квлнтовои мвхлники 22 )гл.
и можем установить, в какой точке произошла ионизация атома, а знаем толы<о то, что область, в которой произошло столкновение, имеет размеры, равные примерно а. Поэтому координата падающего на фотопластинку электрона х определяется в лучшем случае с точностью Лх = а. С другой стороны, так как столкновение происходит с электроном атома, который имеет неопределенность в импульсе порядка Лр = й/а, то после столкновения такую же неопределенность в импульсе Лр, будет иметь и тот электрон, координату которого мы определяем. Умножая Лх = а на Лр„= а<а, получим (16.4) Измерение координат частиц всегда связано с существенным воздействием на частицы измерительного атшарата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
