Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В этом можно убедиться, если выделить с помощью диафрагмы из всего волнового поля лр один нз дифрагнрованных пучков и затем вторично подвергнуть его дифракции. Мы говорим, что состояние, возникающее при днфракции частиц на поверхности кристалла, является с у п е р п о з и ц и е й (наложением) состояний свободного движения, описываемых простыми волнами де Бройля. Этот случай суперпозиции является частным выражением общего принципа суперпозиции состояний, составляющего одну из основ квантовой механики. Принцип этот может быть сформулирован следующим образом: егли какая-либо система (част!гца или их совокупность) способна находитьгя в госп!оянии, изображаемом волновой функцией и в другом состоянии ф„то она лгожет находитьгя и в состоянии, изображенном волновой функцией ф такой, что лр = гллрл+ с,лрм где с, и с, — произвольные, вообще говоря, комплексные числа, определяющие амплитуды и фазы частных состояний ф! и фл.
Отсюда следует, что если имеется ряд возможных состояний системы, отличающихся друг от друга значением какой-либо величины (гл. и ОснОВы кВАИТОВОп мехАники 54 (импульса, энергии, момента импульса и т. п.), которые изображаются волновыми функциями ф„фз, ..., то„согласно принципу супер- позиции, существует сложное состояние: ф = сз)р«+ сз))«з+... + с„ф„+..., где с„с„..., с„, ... — произвольные, комплексные амплитуды.
Если состояния, входящие в суперпозицию, отличаются друг от друга бесконечно мало, то вместо суммы (11.1) мы будем иметь интеграл. Важным примером суперпозиции последнего рода является представление произвольного волнового поля «1)(х, у, г, «) в виде суперпозиции волн де Бройля ') «е«-р«) ф,(х, у, г, г)= — е (1 1 о) (2лГ«)з'з Волновую функцию любого состояния можно написать в виде +03 1Р (х, У, г, () = ~ ~ ()с (ЄЫ, Р«, () )()р (х, У, г, () «(Р«а«Рр «(Р„(11.3) где с (р„, р„, р„() — амплитуда волны де Бройля, имеющая импульс р (р„р„р,), Утверждение очевидно, так как (11.3) есть не что иное, как разложение ф (х, у, «, () в тройной интеграл Фурье.
Чтобы в этом убедиться, обозначим е« «р(р«, р«п р„!)=с(р, р«н р„()е (! 1.4) Тогда на основании (11.2) формула (1!.3) может быть записана в виде + «о р «+р„р+р « ф(х, у, г, 1)=~~~«р(р„, р„, р„()е а зз . (115) Отсюда по известной теореме Фурье об обращении интеграла (1!.5) мы находим для каждой функции ф амплитуду «р, а вместе с тем ис: + СО р «-~-р„р-~-рл «р(р„, р„, р„!)= ~ ~ ~ ф(х, у, г, ))е " ~з,з (11 6) Таким образом, мы видим, что любое сос«пояние можно рассматривать как суперпоз«««(ию Волн де Бройля, т. е. состояний с заданным импульсом часа)«««(ы р (р«, р„, р«). ') множитель )Д2ла) л введен нз соображений нормировки, целесообразность которой вскоре выяснится (сн.
(12,6)). ВЕРОЯТНОСТЬ ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦЫ й !2. Вероятность импульса микрочастицы Мы показали, как на основе статистического толкования волн де Бройля можно определить вероятность местонахождения частицы. Сейчас мы увидим, что принцип суперпозишш позволяет расширить статистическое толкование, так что оказывается возможным определить не только вероятность тех нлп иных значений координат частицы, но и вероятность тех или иных значений ее импульса р.
Формулу де Бройля р=.Ж, мы будем рассматривать как определение величины р, которую в квантовой механике лгы будем называть импульеолг частицы '). Следовательно, измерйтельные операции, которые определяют р, таковы же, как и измерительные операции, необходимые для определения направления распространения волны и ее длины )..
Поэтому приборолг, измеряю<цилг импульс частиц, может служить дифракционная реи<еагка. В самом деле, дпфракционная решетка разлагает в спектр — разделяет волны с различными )«, а следовательно, вместе с тем и производит «сортнровку» частиц по различным импульсам р = Ж. Дифракцнонный опыт, позволяющий определить )<, мы будем рассл<атривать как «прямой» опыт, определяющий и импульс частицы р. Чтобы рассмотреть теперь вопрос об определении вероятности того или иного значения импульса частицы, обратимся к опыту по днфракцни частиц (например, электронов) на поверхности кристалла. Суперпозиция волн де Бройля, образующая волновое поле тр (х, у, г, !) при днфракции на поверхности кристалла, схематически изображена на рис. 14, где показаны падающая (1), отраженная (г) и одна из днфрагнрованных (с() волн.
В соответствии с реальными условиями предположено, что первичная волна представляет собой 1) В связи с данным нал1и определением ил1пульса микрочаспщы можез возникнуть вопрос почему вообще величину р = йй следует называть импуль. сом) Ответ на этот вопрос заключается в том, что определенная таким образов величина на самом деле обладает свойствами, вполне аналогичными свойствамг импульса р„в классической механиие <ср. 44 32, 33, 103). В 4 34 поназано, чтс классичесинй импульс р„з (подчиняющийся уравнению Ньютона) есть среднее квантового иипульса Р«з =.р.
В частности, для состояния с определенным значением р имеем р„„= р. Благо ларя этому р может быть также измерено, скажем, по отдаче прн ударе, иак это делается в классической механике для определения р„м основы квлитовоп мнхдники (гл. и ограниченный диафрагмой пучок. Такими же пучками являются и вторичные волны. Каждый из пучков мы можем представить в виде волны де Бройля (х, д, г, 1) с амплитудой с (р), медленно меняющейся в направле- нии, перпендикулярном к пучку '). Все ~-ъ волновое поле ф представим как суперпозицшо полей, принадлежащих отдельным пучкам: С с(р) ф,, (12,1) Р где сумма взята по всем пучкам.
В целом состояние тр является состоянием с неопределенным импульсом частиц, так как оно представляетсобой суперпозицпю состояний трр с различными илзпульсамн. Поэтому, если мы будем производить измерение импульса частицы, то мы можем получить в каждом отдельном измерении одно из значений р, содержащихся в суперпозиции (12.1).
Какова вероятность того, что мы по- 1(дддлтр РдраУдя лучнм значение импульса, равное рй Дифракционная решетка разложит нам Рис. )а. ПР" '"Р'"и'юн"о" вопновое поле на монохроматические (в первичном пу'псе 1 отраженная т и диФратнрове сная л действительности — почти монохроматиолны пространственно раз- ческие) пучки, так же как она разлагает дел я ются. белый свет на отдельные спектральные чистые компоненты. Чтобы подсчитать число частиц, имеющих иитпульс р, поставим цилиндр Фарадея н будем определять число частиц, попадающих в него прп различных его положениях.
Вблизи поверхности кристалла мы имеем сложное волновое поле, представляющее собой результат интерференции всех пучков. Вдали >ке от кристалла пучки разделяются. Вероятность того, что в цилиндре обнару>кится частица, согласно статистической интерпретации волновой функции, будет пропорциональна (ф (х, у, г, () (з, где х, ((, г — координаты цилиндра. Если мы поставим цилиндр Фарадея достаточно далеко от кристалла, то отдельные пучки будут разделяться друг от друга и ( ф (х, у, г, 1) 1а сведется к М(», Р, -, 1) -=- с(Р) -'(Рв(», Р, г, 1),з, (12.2) т) Вне пучка с (р) = О.
таким образом, в отличие от (11.3). рассматриваемые сейчас амплитуды являются функниямн координат. Но ввиду медленности нзмененвя оин близки к истинным амплитудам Фурье, встречающимся в (!1.3). з м! сяедние знлчвння фгнкцип от коогдннхт н нмпхльсов зт где р — такое значение импульса, при котором отраженная волна попадает в цилиндр. Используя значение ф (11.2), получаем (12.3) Следовательно, | с (р) ~' пропорционально вероятности обнаружить электрон в цилиндре Фарадея, при условии, что он расположен так, чтобы в него могла быть направлена волна фр.
Такой волне принадлежат электроны, имеющие импульс р. Поэтому величина ~ с (р) )ь пропорциональна вероятностп обнаружить в состоянии ф электрон с импульсом р. Имея в виду (10.2) и то, что вероятность обнаружить импульс частицы в интервале Рк Рк+с(Р14 Рк Рг+ггра Рг Ра4 пр~ должна быть пропорциональна г(р,др„др,, мы приходим к выражению для вероятности д(Р(р,, р„, р„г)=,'с(р„р„, р., г),'г(р,др„г(р, (12.4) и для плотности вероятности ю(р, р„, р„() ='с(р„, рм р„, г),".
(12.5) Написанные формулы содержат определенный выбор нормировки вероятностей для импульса. Пользуясь тем, что ~р (р, р„, р,, г) есть, согласно (!1.6), компонента разложения в ряд Фурье волновой функции ф (х, у, г, 1), нетрудно доказать, что +~~ ~ ~ ~,'с(р„, р„, р„!) г(р,г(Р„ИР,=) ") ~ ~ф(х, у, г, 1),,'г(хг(ус(г. (12.6) Левая часть есть вероятность найти любое значение импульса частицы (достоверное событие), правая часть есть вероятность найти частицу в любом месте пространства (также достоверное событие). Поэтому сделанный выбор нормировки вероятностей целесообразен; вероятности достоверных событий одинаковы.
В частности, если вероятность найти частицу в любом месте полагается равной единице, то и вероятность найти любой импульс будет также равна единице. й !3. Средние значения функций от координат и функций от импульсов В предыдущих параграфах мы определили вероятность местоположения частицы (10.3) в состоянии ф и вероятность импульса частицы (12.5) в этом же состоянии. Это позволяет нам тотчас же написать средние значения любой функции от координат частицы ОСНОВЫ КВАНТОВОЯ МЕХАНИКИ 1гл.
Н г (х, у, г) и любой функции от импульса частицы то (рао р,, р,) для состояния, изображаемого волновой функцией тр. Именно, из (10.3) и (12.5), согласно определению среднего значения случайной величины, имеем г' (х, у, г) = ) г' (х, у, г) ~ ф (х, у, г) 1а с)х с(у с(г = =т)ф*(х, у, г)Г(х, у, г)ф(х, у, г) йхс(ус(г (!3.1) при условии, что ~ ) тР (Х, У, г) )а С(Х Г)У 1(г = 1 (13.2) и о (Рх Ру Ру) = ~ г (Ру~ Ру~ Рг) ~ с (Рк Ру Ру) 1 г(рк т(Р» Утру= =(се(Руо Ру, Р,)г" (Р», Ру, Р,)с(Р„, Ру, Р,) т(Р„ЫР»с(Р„(13.3) если 1)с(р, ру, р,))'с(р„т(рус(р,=! (13.4) (здесь интегралы взяты по всей области изменения переменных х, У, г или Р», Ру, Р, соответственно).
Формулы*(13,1) и (13.3) допускают весьма важное преобразова ние, основанное на свойствах интегралов Фурье. Пусть Р (х, у, г) есть целая рациональная функция от х, у, г и г (р„, р», р,) — целая рациональная функция от р„, р», р,. Тогда формулы (13.1) н (13.3) могут быть переписаны в следующем виде '): р(х У г)=~с (Р Ру Р)г(("3 (йй 'й'3 )Х хс(р, ру, р,) т(рат)р с(р„(13.5) !"'(Р:, Ру Ру) $ф*(» У г)Р( — 1й 3-, — тй.й —, — тй — ')с l, д . д . д т, х ф (х, у, г) т(» г(У т(г. (13.б) ') Доказательство зквивалентностн (13.1), (13.3) и (13.3), (13.6) соответственно приведено в дополнении 1. Эти формулы означают, что аргументы функции г следует заме- нить символами дифференцирования по указанным аргументам, умноженным на -+- И, и выполнить операцию дифференцирования над стоящей позади функцией ф. Так„например, для вычисления среднего значения компоненты импульса р„поступаем так: Р (Р„, Ру, Р,) = Р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
