Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(л Подставляя пл н и нз (5,5') в (5.4) и сокращая на общую постоянную, получим л л1 — —,— лг (ь",лл „(ы, а, Т)+а 1 (55) (5.5') пРичем мы ввели в р в качестве аргумента еще и температуру, так как при тепловом равновесии, как уже указывалось, плотность ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [гл. ! 34 равновесного излучения зависит от температуры. При Т вЂ” оо плотность излучения должна неограниченно возрастать, т. е.
р — оо. Из (5.8) при Т-л оо получаем первое важное соотношение: Ь„= Ь;" (5.7) На основании этого соотношения, замечая еще, что Š— Е„= = лез, мы получаем из (5.6) (5.8) та АТ е — ! л Чтобы определить отношение — „"'", Эйнштейн остроумно воспольЬта зовался тем обстоятельством, что при высоких температурах, т.
е. при ВТ > лев, полученная квантовая формула (5.8) для плотности равновесного излучения должна переходить в классическую формулу Рэлея — Джинса. В самом деле, классическая формула для плотности равновесного излучения выводится в предположении, что излучение частоты еэ может иметь сколь угодно малую энергию. По квантовой же теории наименьшая энергия такого излучения есть леа. Если ВТ > лев, то величину лез сможно считать малой, и тогда основная предпосылка классической теории будет выпол«ее л иена. Из (5.8) при —,~~1, разлагая в ряд ее", получаем (5.1 1) ата лТ С другой стороны, классическая формула Рэ)!ея — Джинса дает для плотности равновесного излучения следующее выражение: р„(ее, 14, Т) =- —, ФТ.
(5.!О) Как мы пояснили, для ЬТ . .Те!э обе формулы (5.8) и (5.10) должны совпадать. Поэтому, сравнивая (5.9) с (5.10), находим ел зеле — — )!еэ = Š— Е„. Эта важная формула позволяет вычислить один коэффициент по другому, так как полученное отношение не зависит от рода вещества (как это и должно быть), а зависит только от частоты излучения. Вставляя найденное отношение в (5.8), получаем окончательную формулу для плотности равновесного излучения: Веее ! (5.12) е — ! АГ % 6! ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ й 6.
Черное излучение Интегрируя рп(со, 11, Т) по полному телесному углу (з) = 4п) и суммируя по обеим поляризациям (а = 1,2), мы получим плотность излучения р (от, Т), приходящуюся на интервал частоты от, пт + с(со, независимо от направления распространения н поляризации. Согласно (5.12) равновесное излучение изотропно, т.
е. не зависит от направления распространения, н одинаково для обеих поляризаций. Поэтому мы получаем р(то, Т) = 8пр„(от, Я, Т), (6.!) т. е. плотность равновесного излучения частоты со прн температуре Т равна р(со, Т) = —,,— „ яыз 1 (6.2) е — ! ат Эта формула дает спектральное распределение энергии черного излучения и впервые была установлена Планком. На рис. 7 приведены графики этого распределения для разных температур Т. В области йсо « «,,йТ закон Планка совпадает с клас- )д! сическим законом Рэлея — Джинса, который для р (то, Т) имеет вид р„„(пт, Т)= — „, /гТ.
(6.3) В области больших квантов йти~ 'мТ, Ы еа' .'~~1, из имея в виду, что (6.2) получаем р(то, Т)= — а,е "". (6.4) М Формула Рэлея — Джинса выводится из рассмотрения света как непрерывных волн. Формула (6.4) может быть получена, если свет рассматривать ЛЪ7' как газ, состоящий нз частице энер- уаж гней, равной а = йсо. Первая картина есть волновая картина света, вто- Я,ллл РаЯ вЂ” коРпУскУлЯРнаЯ каРтина. Обе р 7 р Рис. 7.
Распределеиие энергии картины являются недостаточнымн. и спектре черного излучения формула Планка не соответствует ни для различных температур. той, ни другой. Легко видеть, что волновая картина применима в той области, где кванты света малы, а число их велико; напротив, корпускуляр- Я* ОСНОВЫ КВАНТОВОИ ТЕОРИИ ная картина справедлива в той области, где кванты велики, а число их невелико. Действительно, число квантов в 1 см' в рэлеевской области (Ьо, ~ ЙТ) в интервале часзот от Вн до ы, + г(ы есть ()у Р~~(Ось т)ИО3 ИТ и~ а в области Йы, ~~ 'ЕТ (виновская область) оно равно гв г(7т'., = ~'- е Ь" йо.
з пчз (6,6') Отношение ~И, к И', равно ьн ВГ (6.6) При йы,~~ьйТ „—,—,'< !. ф 7. Волны де Бройля, Групповая скорость Мы не предполагаем здесь следовать историческому развитию квантовой механики н, в частности, излагать тот, сам по себе не лишенный интереса путь аналогий между механикой и оптикой, который привел де Бройля н позднее Шредингсра к установлению исходных пунктов волновой (нли, как теперь чаще называют, квантовой) механики. Если не касаться тех сторон первоначальной теории, которые в настоящее время имеют лищь историческое значение, то основная мысль де Бройля заключается в распространении основных законов квантовой теории света (1.1) и (1.2) на дани<ение частиц. Именно, со всякой свободно движущейся частицей, имеющей энергию Е и импульс р, де Бройль связывает плоскую волну зР(г, 1) = Сеп ' — ">, (7.1) (7.2) (7.3) Это — основные уравнения де Бройля.Мы имеем здесь делос историческим ходом идей, обратным тому, который ведет к квантовой теории света.
Для света мы имели первоначально волновую картину где г — радиус-вектор произвольной точки пространства, 1 — время. Частота этой волны ы и ес волновой вектор й связаны с энергией и импульсом частицы теми же уравнениями, которые справедливы и для квантов света, т. е. Е=-лы, $71 ВОЛНЪ| ДЕ БРОЙЛЯ. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ 37 и в квантовой теории дополнили ее корпускулярной, вводя представления об импульсе и энергии кванта света. Напротив, для частиц (электронов, атомов и т. п.) мы имеем в качестве исходного пункта классическое представление о движении частиц и по идее де Бройля, переходя к квантовой теории, дополняем эту классическую корпускулярную картину представлениями волновой теории, связывая с движением частицы волновой процесс с частотой ь7 2п и длиной волны Л=; —. ЛД Подставляя в (7.1) <о и к из (7.2) и (7Л), мы получим новое выражение для волны (7.1), в котором будет в явной форме установлена связь частоты и длины волны с корпускулярными величинами: энергией частицы Е и ее импульсом р .,ГЕ| РГ) |р(г, Г)=Се | а (7.
1') Такую волну мы будем называть в о л н о и д е Б р о й л я. Вопрос о природе этих волн и о толковании значения их амплитуды С мы отложим до следующей главы, так как этот вопрос вовсе не является простым. На первый взгляд может показаться, что движение волны (7.1) не может иметь никакой связи с механическими законами движения частиц. Однако это не так. Чтобы усмотреть эту связь, обратимся к рассмотрению основных свойств волны де Бройля.
Ради упрощения расчетов выберем направление оси ОХ, совпадающее с направлением распространения волны; тогда вместо (7.1) мы будем имет~ Ф(х, Г) =-Се""' А-"|. (7. 4) Величина иг — 77х представляет собой фазу волны. Рассмотрим некоторую точку х, где фаза имеет определенное значение гх. Координата этой точки определяется из уравнения СГ =. ыà — йх, откуда видно, что значение фазы а будет с течением времени перемещаться в пространстве со скоростью и, которую мы пОлучим, дифференцируя предыдущее равенство по 1: (7.5) Эта скорость называется фазовой. Если эта скорость зависит от Ф, а следовательно, и от длины волны Л (так как Л = 2п,777), то имеет место дисперсия волн.
В отличие от электромагнитных волн, для волн де Бройля существует дисперсия в пустом пространстве. Этс обстоятельство вытекает из уравнений де Бройля (7.2) и (7.3). Действительно, а|ежду энергией Е и импульсом р существует определенная связь. ОСНОВЫ КВЛНТОВОЯ ТЕОРИИ [Гл. г Илтенно, согласно теории относительности, при скорости частицы о а с (с — скорость света), т. е.
в области применимости ньютоновской механики, энергия свободно движущейся частицы равна Е =+)г'иас'+ р'е' = т,с'+ — + ..., (7. 6) 2то где то — масса покоя частицы '). Подставляя зто значение в (7.2) и выражая р' через /ге, получим атосе ййэ от= — + — + (7. 7) Л 2п~о и, следовательно, и = от/Й есть функция й. Перейдем теперь к установлению связи движения волны сдвижением частицы. Для этого мы рассмотрим нестрого монохроматическую волну (7.4), имеющую вполне определенную частоту и длину волны )ь = 2лгл, а почти монохроматнческую волну, которую мы будем называть г р у п п о й в ол н.
Под группой волн мы будем понимать суперпозицию волн, мало отличающихся друг от друга по длине волны и направлению распространения. Для простоты мы рассмотрим группу из волн (7.4), распространяющихся в направлении ОХ. Согласно данному определению группы волн мы можем написать для колебания тр(х, г) следующее выражение: а,чье тр (Х, Г) = ~ Е(ГГ) Еыыт.аы Г(й, (7.8) м 2п где йо= — ' есть волновое число, около которого лежат волновые ьо числа волн, образующих группу (ЛЙ предполагается малым). Разлагая частоту ю как функцию lг (см. формулу (7.7)) по степеням й — А„получим оэ=оь+~,ц) (й М+ й=йо+(й йо) Взяв и — й, в качестве новой переменной интегрирования $ и считая амплитуду с(я) медленно меняющейся функцией А, найдем, что тр(х, г) может быть представлено в виде ье 4(ам~ тР(х, г) =с(ео)еи""г — э'о ~ е ~~ее 1 1 бй. -ье Выполняя простое интегрирование по $, найдем япф"-„",) г х~лй) тр(х, Т)=2с(гго) — „" е'пм' мк'=с(х, г) е"ыи а"'.
(7,9) т) В нерелятивистской теории энергия всегда определяется вплоть до аддитивиой постоянной. Поэтому энергию покоя частицы ~п с"., при определении кинетической энергии, обычно опускают. эп волны дв аяонля. гятпповхя скогость 39 У Л=-- = (7.12) Ограничиваясь случаем малых скоростей о ч~ с и пользуясь равенством Е = —, мы получим рЛ 2шр 2яа Л==.
У 2т,Е (7.12') Так как под знаком синуса стоит малая величина бя, то с(х, () будет медленно меняющейся функцией времени г' и координаты х, поэтому с(х, Г) момсно рассматривать как амплитуду почти моно- хроматической волны, а (ы,à — й,х) — как ее фазу. Определим координату х, где амплитуда с(х, г) имеет максимум. Эту точку будем называть ц е н т р о м группы волн, Очевидно, искомый максимум будет находиться в точке х=( -) г. Отсюда следует, что центр группы будет перемещаться со скоростью У, которую мы найдем, дифференцируя предыдущее равенство по Г; именно, У = ~„"-,-) .
(7. 10) Эту скорость мы будем называть г р у и и о в о й с к о р остью (в отличие от скорости фазы, равной егй,). Если бы рассматриваемые волны не обладали дисперсией, то мы имели бы У = и. В случае волн де Бройля из-за дисперсии У + и. Вычислим, пользуясь (7.7), групповую скорость У: ~йо Ьг я~о Согласно (?.3) лй — — р, с другой стороны, р = гл,о, где и — скорость частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
