Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Волны де Бройля дают, таким образом, статистическое описание движения микрочастиц: они определяют вероятное»пь абнарудчения (локализации) частицы в данном л»есте пространства в данный момент зрел»ени '). й 1О. Вероятность местоположения микрочастнцы Обозначим через х, у, г координаты частицы. Согласно изложен-' ному в й 9 точный смысл в х, у и г вкладывается следу»ошей измерительной операцией: величины х, у, г определяются как координаты той точка пространства, в которой локализуется частица. Так, например, зто будут координаты пятнышка на фотопластинке, получившегося в результате попадания на пластинку частицы, или например, координаты, определяюшие положение щели, через которую прошла частица, и т. п. Координаты пятнышка или щели люгут быть определены путем откладывания твердого масштаба.
Такое измерение координаты мы будем называтып р я м и м», так как оно есть как раз то измерение, на котором покоится само макроскопическое определение понятия координаты частицы. В тех случаях, когда подобное определение координаты частицы невозможно (»»апример, если частица находится внутри атома), мы будем определять ее координаты посредством «к о с в е н н о г о» опыта '), т. е. измеряя указание»л» выше путем координаты некопюрой другой час»пицы, которая претерпела спюлкновение с интересующей нас часа»»»цей, и на основании вп»ого измерения получим сведения о недоступных прямол»у измеренша координатах частицы, находящейся в атоме.
Пример подобного скос- венного» измерения будет приведен в 5 16. Сформулируем теперь математически статистическую интерпретацию волн де Бройля. Заметим прежде всего, что слово «во.чны» мы употребляем сейчас весьма условно. Только в очень специальных случаях состояние частиц будет описываться простыми плоскими волнами. В общем случае то, что мы сейчас называем волнами ') Впоследствии мы увнднм, ч»о, зная волну де Бро»»ля, опнсываюшую состояние час»яды, можно найти вероятность не только местополо>кення частицы, но н вероятность любого результата нзмерення любой механической велнчнны, относяшейся к рассматрнваемой частице.
») абелевне опытов на «прямые» н «косвенные» было введено Л. И. Мандель- штамояь й ~о) ВЕРОЯТНОСТЬ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦЫ 51 де Бройля, может представлять собой весьма сложную функцию координат частицы х, у, г и времени й Тем не менее и для этих сложных случаев мы будем употреблять термин в о л н о в а я ф у н к ц и я и обозначать последнюю буквой ТР '): (10.() тр = тр(х, у, г, (). Как было пояснено в 8 9, на основании изложенных фактов мы принимаем, что вероятность местонахождения частицы, определяегпся интенсивностью волн, т. е.
квадратом амплитуды ф Имея, однако, в виду, что тР может быть комплексной величиной, а вероятность должна быть всегда действительной и положительной, мы будем брать за меру интенсивности не тфз, а квадрат модуля т. е. величину ~ф(з=феф где через ф' обозначена величина, комплексно-сопряженная ф '). Далее следует заметить, что вероятность найти частицу в окрестности точки х, у, г зависит, конечно, От размеров выбираемой области. Рассматривая бесконечно малую область х, х+г(х; и, у+с(у; г, г+йг, мы можем считать ф внутри этой области постоянной, а поэтому вероятность найти частицу следует считать пропорциональной объему этой области.
Обозначим этот элемент объема через г(о = = с(хг(уг(г. Обозначая саму вероятность (бесконечно малую) нахождения частицы в элементе объема г(о в окрестности точки х, у, г в момент времени у через г((р' (х, у, г, (), мы можем записать статистическую трактовку волн де Бройля в виде следующего равенства: с((р'(х, у, г, г')=-(ф(х, у, г, т) ~зг(о. (10.2) Это равенство позволяет по известной волновой функции тр (х, у, г, 1) вычислить вероятность местонахождения частицы г(Ф' (х, у, г, (). Величину го(х, у, г, () = —.-=(ф(х, у, г, Г) (' будем называть плотностью вероятности.
') Укажем здесь, что для двух простых случаев мы уже знаем волновую функцию. Именно, для частиц, движущихся с заданным импульсом р, волновая функция ф есть монохроматическая плоская волна (?.1). Далее, нам известна функция лля почти монохроматической волны, т. е. дли группы волн (?.8). В ближайшем изложении мы будем оперировать с произвольными волновымн функциями, оставляя пока в стороне вопрос о том, как такие функции могут быть определены для заданных физических условий (см.
5 28). Считая такое определение возможным, мы будем говорить, что ф-функция описывает (статистически) состояние частицы. ') В дальнейшем звездочка всегда будет означать комплексно-сопряженную величину. ОСНОВЫ ХВАНТОВОП;!СХАНИХИ 1ГЛ. Н Вероятность нахождения частицы в момент времени 1в объеме (А, согласно теореме сложения вероятностей, равна )Р' (Г, 1) = ) д)Р' = ) 1а гЬ =- ~ 1Р (х, р, г, 1) ' с1о.
(10.4) Если произвести интегрирование по всему объему, то мы получим вероятность того, что в момент времени 1 частица находится гденибудь внутри этого объема. Это — вероятность достоверного события. В теории вероятностей принято вероятность достоверного события считать равной 1. Если принято это соглашение, то интеграл от | 1Р !' по всему объему следует приравнять единице: ),1р(х, д, г, 1) '1(о=!. У (10.5) Это условие называется н о р м и р о в ь о й, а функция удовлетворяющая этому условию, называется н о р м и р ованной. Нормировка может оказаться невыполнимой, если интеграл, взятый по всему объему от ~ ф ~', расходится, т. е. функция 1Р квадратично не интегрируема.
В физически реальных условиях движение частицы всегда происходит в ограниченном пространстве. Это ограничение обусловливается геометрическими размерами приборов и конечной скоростью движения частиц. Поэтому вероятность найти частицу отлична от нуля лишь в конечной области пространства, так что функция 1Р должна быть интегрируема. Однако в ряде случаев приходится все же пользоваться некоторыми идеализациями, которые ведут к неинтегрируемым функциям.
Простым примером таких функций является плоская волна (7.1). В го время как в действительности параллельный пучок всегда ограничен диафрагмами с боков и спереди своим фронтом, при достаточно больших размерах пучка, когда краевые эффекты не играют роли, мы можем рассматривать пучок как плоскую волну.
Предполагается, что последняя занимает все пространство. Из (7.!) следует, что ~ ф |В = 1 С !В =- сопз(. Это означает, что одинаково вероятно частицу найти в любом месте. Нормировать к единице в этом случае нельзя. В дальнейшем мы дадим, однако, рациональную нормировку и для этого случая.
Второе замечание относится к зависимости от времени. Нормировка имеет смысл лишь постольку, поскольку она сохраняется во времени, т, е, равенство (10.5) должно иметь силу для всех моментов времени (иначе нельзя сравнивать вероятности, относящиеся к различным моментам времени). При рассмотрении законов изменения волновой функции во времени будет показано (й 28), что нормировка действительно не меняется, т. е. что интеграл (10.5) от времени не зависит.
пеинцип сгпьяпознцни состоянии $11. Принцип суперпозиции состояний В данных физическцх условиях частица может находиться в различных состояниях в зависимости от способа, каким она в эти условия попадает. Обращаясь к простейшему случаю свободного движения частицы без действия внешних сил и без взаимодействия с другими частицами, мы можем иметь дело с состояниями движения, различающимися как величиной, так и яаправлением импульсов. Каждое из этих состояний может быть реализовано само по себе.
Однако существуют и более сложные случаи. Примером может служить дифракциоцный опыт Дэвиссона и Джермера, в котором падающий на кристалл пучок разбивается на систему дифрагированных пучков. После взаимодействия с кристаллом движение происходит опять-таки в пустом пространстве, но представляется уже целой совокупностью волн де Бройля, отличающихся друг от друга направлением распространения. Направляя на поверхность кристалла пучок определенной длины волны Х, мы не можем получить какую-нибудь из днфрагированных волн, а получаем сразу всю совокупность этих волн (вместе с падающей), находящихСя к тому же в определенных фазовых отношениях друг к другу и поэтому способных к интерференции. Вся эта совокупность волн представляет собой единое волновое поле и изображается одной волновой функцией лр. Однако такое волновое поле является совокупностью простых волн де Бройля лр, каждая нз которых сама по себе может описывать возможное состояние движения частицы в пустол! пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
