Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ы=оп„, для излучения; «>'=ы „, Е'=Е„, Е=Ет, ы=-О. '9 Если система обладает / стейенях>и свободы, то каждый терм гап = Еп/а будет характеризоваться группой чисел (и,, л,, ..., а>), а излучаемые частоты опять-таки двумя группами чисел: (л„пз, ..., л/) и (т,, тх, ..., т/), Эти последние называются спектральными термами. Еще задолго до создания теории Бора Ритцем чисто эмпирически было установлено, что наблюдаемые частоты атомов могут быть представлены как разности термов («к о м б и н а ц и о н н ы й п р и иц и п» Ритца).
Поэтому (4.3) можно рассматривать и как математическую формулировку эмпирического правила Ритца. В комбинационном принципе Ритца мы встречаемся с одним фундаментальным противоречием между классической теорйей и опытом. Если электрон находится в атоме, то он совершает периодическое или квазипериодическое движение. В простейшем случае одномерного движения его координата х(1) может быть разложена в ряд Фурье ОСНОВЫ КВАНТОВОЯ ТЕОРИИ юл. 1 частоты же располагаются в квадратную таблицу («матрицу»): еззз етзз ° ° оззл оззз О оз,з „. «з,з (4.6) озззз озмз шмз ". зтмн В подобную же таблицу можно расположить соответствующие интенсивности т' „(или амплитуду колебаний к „). Это противоречие можно было бы преодолеть, если предположить, что каждая из частот со „является одним из основных тонов и соответствует своей особой степени свободы. Атом сопоставлялся бы таким образом роялю, каждая степень свободы — клавише.
Но тогда мы должны были бы допустить существование огромного, в сущности неограниченного числа степеней свободы и тем самым еще более углубили бы противоречия между предсказаниями классической механики в отношении теплоемкости атомов и фактами. В заключение отметим еще то обстоятельство, что теория Бора, хотя и позволяет по крайней мере в простейшем случае атома водорода, определить частоты шм„, т. е. спектр этого атома, но она ничего не говорит об интенсивностях излучения 7 „этих частот и соответствующих им коэффициентах поглощения.
Вычисление этих интенсивностей представляло для теории Бора непреодолимую и принципиальную трудность. Были возможны лишь качественные суждения. Расчет по теории Бора атомов более сложных, чем атом водорода, также привел к принципиальным трудностям. Эти трудности были преодолены квантовой механикой. В 1927 г. В. Гайзенберг предложил все величины, характеризующие внутриатомные движения, считать матрицами (подобными матрице (4.6)).' С этой новой точки зрения координата электрона и его импульс должны изображаться матрицами х „и р „.
На этом пути Гайзенберг нашел зналзенитое «с о о т н о ш е н и е н е о п р ед е л е н н о с т е й» н получил правильные значения для термов простейших квантовых систем. Его механика называлась «матричной» и вскоре слилась с другим, «волновым», направлением, которое развивали де Бройль и Е. Шредингер. 9 6, Элементарная квантовая теория излучения Элементарная теория излучения на основе квантовых представлений была создана Эйнштейном.
Она имеет до некоторой степени феноменологический характер '). Тем не менее она позволяет, ') Предположения Эйнштейна получают полное обоснование в современной квантовой электродинамике (см., например, А. И. А х и е э е р, В. Б. Б е р ее т е и к и й, Квантовая электродинамика, «Науказ, 1969). элемвнтАРная квантовая теоРия излучения зг опираясь на современную квантовую механику, решить вопрос об интенсивностях излучения и поглощения света. С квантовой точки зрения интенсивность испускания или поглощения электромагнитного излучения определяется вероятностью перехода атома из одного состояния в другое.
Решение вопроса об интенсивностях сводится к вычислению этих вероятностей. Рассмотрим два состояния какой-нибудь системы, например атома. Одно обозначим буквой т, а другое буквой и. Энергия первого состояния пусть будет Е , а второго Е„. Для определенности пред- йг.~ положим, что Е ) Е„, так чтосостоя- Ег ние т принадлежит более высокому квантовому уровню Е, нежели состояние и, принадлежащее квантовому л уровню Е,, Опыт показывает, что система может сама собой перейти из высшего состояния т в низшее и, испуская квант света Ет — Ел Лег = Š— Е„с частотой е> = Рис.
Б. Характеристики из. имеющий, кроме того, определенную по- иучеиии. ляризацию и распространякицийся внут- г, и г,— и»«пел«»псппых на. ри телесного угла г(1« (рис, б). Любую по- ' пплыепнп поляры«ппп. ляризацию для заданного направления распространения света мы момсем представить как сложениедвух независимых поляризаций 1, и 1„перпендикулярных друг к другу. При переходе Е„, — Е„может быть излучен квант света либо с поляризацией 1„либо с поляризацией 1,.
Поляризацию мы будем отмечать индексом а (а = 1,2). Вероятность перехода т -+. и Е,„— Е„ в ! сек, с излучением кванта частоты ы= " внутри телес- а ного угла г(1« с поляризацией сг, мы обозначим через г()Р'„' = а"„„г((а. (5.1) Эту вероятность называют вероятностью «спонтанного» (самопроизвольного) перехода. Возможности такого перехода в классической теории соответствует излучение возбужденного осциллятора. Если имеется излучение, окружающее атом, то оно оказывает воздействие на атом в двух отношениях. Во-первых, это излучение может поглощаться, причем атом будет переходить из низшего состояния л в высшее пп Вероятность такого перехода в 1 сек обозначим через г(Ф"л.
Во-вторых, если атом находится в возбужденном состоянии т, то внешнее излучение может способствовать переходу атома в низшее состояние и так, что вероятность излучения увеличится на некоторую величину г()Р';. Эту добавочную вероятность мы будем называть вероятностью и н д у ц и р о в а н н о г о основы квлнтовоп теоани !гл. 1 (или в ы н у ж д е н н о г о) перехода. Оба типа переходов имеют аналогию в классической теории: осциллятор, находящийся под влиянием внешнего излучения, может как поглощать, так и излучать энергию в зависимости от соотношения фазы его колебаний и фазы световой волны. Согласно сказанному полная вероятность излучения равна дФ', =- »()р'„'+ и'(г',". Вероятность поглощения дФ', и вероятность вынужденного излучения »()Р' по предположению Эйнштейна пропорциональны числу квантов света как раз того сорта, о поглощении и излучении которых идет речь.
Определим это число. Излучение может быть, вообще говоря, не монохроматическнм, иметь различное направление распространения и разную поляризацию. Для определения характера излучения мы введем величину р, (го, с))»(»о с(Й, дающую плотность энергии излучения, имеющего направление распространения в пределах телесного угла с(л), поляризацию а и частоту, лежашую в пределах»о, »о + с(ы. Так как энергия кванта равна йго, то число квантов света с частотой в пределах ы, »з + с(»о, которые распространяются в телесном угле »)ле и имеют поляризацию а, равно (на 1 см') Р» (»о лт) л»' ом л(о На основании замечания о пропорциональности между числом квантов и вероятностями поглощения и вынужденного излучения мы можем положить »()Р,=Ь„~р„(го, л)) дЯ, (5.2) с(й', =Ь„,„р,(»о, 2) с(л».
(5.3) Величины а" „, Ь'„"„, Ь,",„называются д и ф ф е р е н ц и а л ь и ы м и коэффициентами Эйнштейна. Они зависят только от рода систем, излучающих и поглощающих свет, и могут быть вычислены методами квантовой механики (см. з 88). Однако можно сделать некоторые общие заключения о свойствах этих коэффициентов без их вычисления.
Рассмотрим условия, при которых осуществляется равновесие л~ежду излучением и поглощением. Пусть число атомов, находящихся в возбужденном состоянии т, есть и, а число атомов, находящихся в низшем состоянии, — и„. Тогда число квантов света, излучаемых в 1 сек при переходах т- л, будет равно и„, (с(К„'+ с!)»',"), а число поглощаемых в 1 сек квантов при переходах и — »- т, будет равно п„с()г',. элементАРнля квантовая теоРпя излучения зз В условиях равновесия число актов поглощения должно равняться числу актов испускания, т. е. Л„Г((Р л лл и (Г(97', + Г()Р' ), Подставляя сюда ЛВ", из (5.1) и ИГл, б)Р'," из (5.2) и (5.3), найдем после сокрашения на с!11; лльллРа (ы О) = ппЛКллйл (ы г)) + пти1 (5.4) (причем ы = ы л). Допустим, что мы имеем дело с тепловым равновесием. Тогда числа атомов в различных состояниях будут функциями темпера- т)ры Т.
Вместе с тем и плотность излучения р (лц (1) должна быть функцией температуры. Это будет плотность излучения, находя- щегося в равновесии с веществом при температуре Т, т. е, плот- ность черного излучения, Свойства черного излучения, как известно, не зависят от кон- кретных свойств вещества, с которым оно находится в равновесии. Поэтому все выводы, которые будут сделаны на пути исследования черного излучения, имеют общее значение. Именно этим обстоя- тельством и воспользовался Эйнштейн, чтобы установить соотноше- ния между коэффициентами а," * К * ййл в оощем виде.
Соотношение между числами атомов, находящихся в различных состояниях, мы можем определить с помощью статистики. Обычно (см., например, З 51) какому-нибудь квантовому уровню Ел отвечает несколько различных состояний квантовой системы. Число таких состояний ), называют с т а т и с т н ч е с к и м в е с о м илп степенью вырождения. Согласно каноническому распределению, справедливому как для классических, так и для квантовых систем, число атомов Ф„, находящихся в состояниях с энергией Ел, будет равно Ел У„= соп51 ~„Г л г, (5.5) где й — постоянная Вольцмана. Если нас интересует число атомов, находящихся в какам-либо одном пз состояний, принадлежащих энеРгии Ел, то на основании того же РаспРеделениЯ бУдем иметь Ел Ил лл — "- = СОП51 Е ЕГ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
