Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В самом деле, сслн даны частные состояния г(г„цг,, ..., ф„, ..., то из них может быть образована волновая функция Ч", представляющая суперпозицию этих состояний: Ч' = ~,с„гр„, (! 4,7) СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЯ з м1 которая описывает чистый ансамбль, В эту суперпозицию частные состояния входят с определенными фазами и амплитудами (с„= =- ~с„)еааи, а,— фаза), С другой стороны, если известно, что система может находиться в состоянии тр, с вероятностью Р„в состоянии »1»а с вероятностью Ра и т.
д, то мы будем иметь дело со смешанным ансамблем, для харакгеристики которого нужно иметь два ряда величин ') фт, тра, ЄЄ..., Р„, (14.8) Вычислим теперь вероятность того, что частица находится в точке х. В случае чистого ансамбля получим для плотности вероятности и (х) = (Чг(х) Р.= ') ',(стр„(х) Р+,У, '~се ф„*(х)»р„,(х). (149) и ~ »и иг В смешанном ансамбле эта же вероятность должна быть вычислена так: вероятность того, что частица будет находиться в точке х, бу. лучи в состоянии тр„ (х), есть ~ ф„ (х) (а. Вероятность же находиться н состоянии три (х) есть Р„.
Поэтому вероятность этого сложного события будет Р„ ~ ф„ (х) 1в, а полная плотность вероятности н (х) будет равна ш (х) =-. У, 'Р„( тр„(х) 1а. и (14.10) $ 1б. Соотношение неопределенностей Л1ы перейдем теперь к рассмотрению важнейшего свойства квантовык ансамблей — к так называемому соотношению неопределенностей 11апомнпм, что в классической механике мы интересуемся траек» * 1 »$»»у»и в к..
ыо кчатрицы плотности» вЂ” величины, аналогичной функции распределения классической статистической механике. Из сравнения (14.9) и (14.10) мы видим, что в чистом ансамбле имеет лгсгтгго интерференция между отдельными частными состояниями (члены вида с;с тр„*(х) тр (х); в смешанном ансамбле тикая интерференция отсутствует). Таким образом, различие между чистым и смешанным ансамблями в отношении частных состояний аналогично сложению когерентного и некогерентного света; при вычислении вероятностей в чистом ансамбле складываются авгплитуды, а в смешанном ансамбле— интенсивности, основы квлнтовоп мехлнпки !гл.
и Можно было бы думать, что квантовая механика дает некоторое статистическое описание такого классического движения, подобно тому как это делается в классической статистической механике. Простые соображения показывают, что это не так. В области микромира механические величины находятся в иных отношениях, нежели в области макромира, в области классической механики.
С понятием движения частицы по траектории неизбежно связано предположение о существовании у частицы в каждый момент времени определенной координаты х и определенного импульса р». Первая указывает положение частицы, а вторая величина указывает, как изменяется это положение в течение бесконечно малого интервала времени: х + «(х = х+ р — ' Л = х+ о««(г, (15.1) где т — масса, а о« вЂ” скорость частицы. В статистическом ансамбле частицы могут иметь самые разнообразные импульсы и координаты, но если это ансамбль классический, то в нем всегда могут быть выделены подансамбли и с вполне определенными импульсами, и с вполне определенными координатами.
Напротив, такое разложение квантового ансамбля оказывается невозможным, что указывает на совершенно отличное от классического взаимоотношение между локализацией частицы и ее импульсом. Лля того чтобы рассмотреть эту важнейшую особенность микроявлений, мы будем основываться на опытах по дифракции микрочастиц. Основной вывод этих опытов заключен в формуле де Бройля, связывающей импульс и длину волны: (1 5.2) Если под л понимать именно длину волны, то, какова бы ни была природа волн, эта величина не может быть функцией координат х. Выражение «длина волны в точке х равна л» не имеет никакого смысла, ибо по своему определению длина волны есть характеристика синусоидальной волны, неограниченно простирающейся в пространстве (от х =- — оо до х =- + оо).
Х есть «функция» формы волны, а не функция координаты какой-либо точки. Поэтому в (15.2) правая часть не может быть функцией координаты х. Следовательно, не может быть функцией координаты х и левая часть равенства (!5.2), т. е. импульс р. Подобным же образом нельзя ответить на вопрос: «какова частота колебаний маятника в данный момент времени», так как само определение понятия частоты предполагает, что нужно проследить за многими колебаниями маятника. Мы приходим к заключению, что коль скоро соотношение де Бройля (15.2) признается правильным, «по импульс частицы р не лоясет соот!юшагиге неопределенностей а !51 е, ра» тр (х, /) = ~ с (Й) е-гт'"т-а "/ т/я (15.3) еа — ье может быть представлена в виде (см. (7.9)) ~('ото г. Г~-„, /- ')аь1 тр(х, /)=.2с(/гв) "'„' ' ' е-гн»" — "'">.
— -/ — х Й (15. 4) Интенсивность ! тр !в в такой группе волн для некоторого момента времени / изображена на рнс. !5. Удвоенное расстояние от точки Рнс 15.!!нтененвооетв !гр~т в группе волн квк функ- ннн х длн некогорог'о момента времена /. максимума ! ть !а до первого минимума мы можем принять за меру, определлющую размеры груипы. Обозначим его через 2Лх. Из (! 5А) следует, что Лх = я/Лй. Иными словами, Лх Л/т=н (15 5) =»го чисто волновое соотношение, справедливое для любых воли, ноказывает, что произведение линейных размеров группы волн Лх 'ш интервал волновых чисел Л/г тех воли, иэ которых построена 'ириша, есть величина постоянная н равная н. В частности, если мы желаем послать очень короткий радносиги "т (малое Лх), то неизбежно в нем будут представлены с заметной гииеисивностью весьма отличающиеся по длине отдельные моно- бить функцией координаты частицы х.
В области микромира выражение: кимпульс частицы в точке х равен р» не имеет смысла. Соответственно этому в квантовой области нет таких ансамблей, в которых и импульс и координаты частиц одновременно имели бы вполне определенное значение. Докажем это важнейшее утвер>кдепне сначала для ансамбля, образованного группой воли, рассмотренной в Э 7.
Как было там показано, груипа воли !Гл, и ОСНОВЫ !ЖАИТОВОИ МСХЛИНКН хроматические волны. Поэтому такой сигт>ал будет принят приемниками, настроенными на различные волны. Напротив, если мы желаем, чтобы нас принимали приемники, настроенные лишь определенным образом, то мы должны посылать монохроматические сигналы, а стало быть, согласно (15.5), — достаточно длинные.
Возвратимся теперь к квантовой механике. По уравнению де Бройля р„= тгй, и поэтому, если /г меняется в пределах Ля, то импульс р меняется в пределах (15.6) Лр» =- й Лй. Понимая под группой волн (15.3) группу волн де Бройля, умножив! па постоянную Планка й уравнение (15.5), тогда на основании (15.6) мы получим Лр, . Лх =- л/г. (15. 7) Смысл Лрл и Лх в формуле (15.7) вытекает из следующего: если мы будем производить измерение координат частиц, наход>пцихся в состоянии, описываемом группой волн де Бройля (15.3), то в момент времени / среднее значение результатов измерения координат оы будет х=- /.
Значения же результатов отдельных измерений бугм дуг разбросаны около х преимущественно в интервале >-Лх. Величина Лх есть неопределенность в координате х. Если м<е мы будем в том же состоянии измерять импульс частиц р,, то среднее значение будет равно р, =- рв =- /гй„и отдельные значения будут сосредотачиваться около ря в интервале Лрл =:=:>- й Лй,.
Величина Лр есть неопределенность в импульсе рл. Поэтому соотношение (15.7) называется с о о т и о ш е и и е м неопределенностей для импульса рли сопряженной ему координаты х. Это соотношение впервые было установлено Гайзенбергом. Оио является одним из самых фундаментальных следствий современной квантовой механики и показывает, что чем уже группа, т, е, чем определеннее значение координат частиц (малое Лх), тем менее определенно значение импульса частиц (большое Лр,), и наоборот.
Перейдем теперь к доказательству соотношения неопределенностей для любого состояния частицы, описываемого какой-либо произвольной волновой функцией т(>. Простоты ради ограничимся одним пространственным измерением; обобщение на большое число измерений совершенно тривиально. Итак, пусть нам дано какое- либо состояние частицы, изображаемое волновол функцией >(> (х) '). Волновую функцию мы будем считать нормированной к единице в области от — оо до +со.
') Время ! мы можем не выписывать явно, так как все дальнейшее справедливо для любого момента времени. соотиошщищ ньонеьделснностси 67 з ся Поэтому за меру отклонения индивидуальных измерений от среднего берут не Лх, а (Лх)' — среднее от квадрата индивидуальных отклонений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
