Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Слеловательно, р„= ~с*(р„, ру, р,) р„с (р„, ру, р,) т(р„т(рут(р„(13.7) СТАТИСТИЧЕСКИЕ АНСАМБЛИ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ 59 э 141 нли по формуле (13.6), заменяя р» на — И вЂ”, получим д р„= — ~«р" (х, у, г)И " .' ю «(хс(у«(г. (13.8) Подобным же образом среднее значение р» можно вычислить или по формуле (13.3) р«=')с*(р», р„, р.) р«с(р„, р„р,) «(р„«(ре«(р„(13.9) или по формуле (13.6), заменяя г (р„) =р" на Р( — И-.-~ = ~ — И вЂ” '; .* — й« вЂ”, д)=(, д, дх» ' Тогда получается Р»«== — с» ~ ф (х, у, г) дхс(у«(г.
(!3.10) (13.1!) 9 14. Статистические ансамбли квантовой механики В практической деятельности физика или инженера встречаются два важных типа задач, на которые должна ответить квантовая механика. Первая задача такова: по волновой функции предсказать возможные результаты измерений над микрочастицей («прямая» задача). Второй тип задачи: по результатам опыта определить волновую функцию частицы («обратная задача»). Предсказания, вытекающие из знания волновой функции, в общем случае, носят статистический характер. Поэтому если производится какое-то единичное измерение, то результат этого измерения показывает нам лишь, в какой мере оправдались наши ожидаиня: произошло ли вероятное или маловероятное событие.
Вполне объективный характер носят лишь распределения результатов измерения, возникающие при повторении большого числа тождественных опытов. Существенно, что в квантовой области мы не можем повторять опыт иа одной и той же частице, так как измерение, вообще говоря, может изменить состояние микрочастиц 5 16). Поэтому для воспроизведения большого числа (йГ ~» 1) тождественных опытов необходимо представить себе большое число частиц <нои снстем), которые независимо друг от друга находятся в одинаковых лчакроскопических условиях.
Такой набор микрочастиц (нли систем) мы будем называть квантовым ансамблем частиц (или просто ансамблем). Если этн макроскопические условия таковы, что онн полностью определяют состояние мнкрочастиц (ель 4 28, где дано понятие основы квлнтовои мехлники [гл. и полного набора величин, необходимых для определения этого состояния), то состояние таких частиц может быть охарактеризовано одной волновой функцией. Сам ансамбль в этом случае называют ч и с ты м а н с а мб л е м. Все вероятности и все средние значения, вычисляемые нз волновой функции, относятся к измерениям в таком ансамбле.
Так, например, утверждение, что вероятность най1и координату частицы х, лежащей около х', равна ~ ф (х') !'г(х'; означает,что, производя большое число измерений координаты в серии одинаковых опытов (одно и то же ф(), мы найдем х около х' в У' случаях, причем - — = ~ ф (х') йх'. (14.1) Подобным же образом, измеряя в этом ансамбле импульс частиц р„и производя всего М измерений (М >) 1), мы найдем р,' в М' случаях, причем ~ с (р,) е(о„, (14. 2) где с (р,') есть амплитуда в разложении ф (х) по волнам де Врой,ля (ср.
5 12). Зная распределение результатоз измерений для х (14.1) и д~я р,. (14.2), мы можем вычислить средние значения любых функций Е(х), Ф(р), например, среднее значение х, среднее значение Р, средние квадратичные отклонения (Лх)2 = (х л)х (14.3) и Рр.)* =- (р' — р.)' (14.4) н т. п. Впоследствии мы покажем, что, зная волновую функцию ф, можно вычислить вероятности не только для х и р,, но и вообще найти вероятности для того пли иного результата измерения любой лсеханической величины, свойственной данной частице или системе. Совершенно ясно, что из единичного измерения над одной микро- частицей невозможно определить ее волновую функцию.
Зная же распределения результатов измерения в ансамбле, можно решить н обратную задачу: восстановить по результатам измерения волновую функцию частицы (конечно, вплоть до общего нормпрующего множителя, который всегда остается неопределенным) (ф 79). Таким образом, не только предсказания квантовой механики относятся к измерениям в квантовом ансамбле, но и, обратно, характер квантового ансамбля может быть определен из измерений. $1Н стхтистические Ансхмьли каАнтоаол мехАники 61 Поэтому состояние частицы (или системы), характеризуемое волновой функцией, следует понимать как принадлежность частицы (или системы) к определенному чистому квантовому ансамблю.
Именно в этом смысле и будут употребляться в дальнейшем слова: «состояние частицы», «состояние квантовой системы» и т. д. Приведем теперь конкретный пример чистого ансамбля. Рассмотрим рассеяния одного электрона на отдельном атоме. Пусть импульс электрона есть р. Тогда волновая функция электрона Ч"р (х) изобразится в виде суперпозиции волны де Бройля ф, (х), изображающей первичное состояние электрона с импульсом р и волны и (х), представляющей собой волну, рассеянную атомом так, что Ч'р (х) = ф (х) + и (х). (!4.5) Зная рассеянную волну, можно в статистическом смысле предсказать судьбу рассеянного электрона (ср. теорию столкновений, гл.
Х111). Однако каким же образом воспроизвести этот опыт много раз? Пусть электроны летят с накаленной нити. С помощью диафрагм выделим пучок данного направления и сообщим электронам определенную скорость, прикладывая ускоряющее напряжение. Напра. внм этот пучок в газ и будем наблюдать интенсивность рассеяния электронов для разных углов. Если плотность газа невелика и толщина слоя, в котором происходит рассеяние электронов, не очень большая, то можно пренебречь многократными рассеяниями электрона.
Если, далее, плотность электронов в первичном пучке настолько мала, что можно пренебречь их взаимодействиями, то мы имеем дело сразу с воспроизведением большого числа независимых опытов по рассеянию одного электрона на одном атоме. Наконец, если скорость, приобретаемая электронами в ускоряющем поле, много больше их тепловой скорости и диафрагмы достаточно хорошо выделяют пучок, то мы можем сказать, что мы имеем дело с электронами определенного импульса р, и следовательно, пРиписать им волновУю фУнкцию Ч4р, котоРаЯ вместе с РассеЯнной волной и дает Ч'р. Таким путем мы на практике осуществляем совокупность тождественных явлений, описываемых одной и той же волновой функцией Ч"р (х), т.
е, чистый квантовый ансамбль. С точки зрения квантовой механики, задание состояния частицы с помощью волновой функции является наиболее полным и исчерпывающим. В действительности, мы часто встречаемся с другими случаями, когда ансамбль с самого начала содержит частицы в различных состояниях, описываемых различными волновыми функциями 4р„ »р„..., ф„. При этом заданы вероятности Р,, Р„..., Р„каждого из таких состояний. Такой ансамбль называется с м е ш а н н ы м.
ОСНОВЫ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ ггл. гг Очевидно, что величины Р,, Р„..., Р„указывают вероятность встретить в смешанном ансамбле соответствующие чистые ансамбли, характеризуемые волновыми функциями г)гг, гре, ..., г(г„. Примером слгешанного ансамбля будет являться случай, когда к электронам, покидающим накаленнуго нить, не приложен ускоряющий потенциал. В этом случае импульс электронов не фиксирован, а фиксирована лищь температура накаленной нити Т. Первичные электроны будут теперь распределены по закону Максвелла. Вероятность того, что импульс электрона будет лежать между р„, р, + др,, ргн р„ + г(р„ р„ р, + йр,, будет йР,=Се-югзиегбр бр йр (14.6) где (х — масса электрона, й — постоянная Больцмана, С вЂ” нормнрующий множитель (')йР=-1).
Электроны, имеющие импульс р, будут описываться волновой функцией де Бройля г)г, (х); поэтому йР, (14.6) есть как раз вероятность того, что электрон будет иметь волновую функцию г(гр (х), т. е. будет принадлежать к ч и с т о м у ансамблю гр (х), являющемуся частью всего рассматриваемого с м е ш а н н о г о ансамбля. Подобный смешанный ансамбль осуществляется в опытах Штерна и Эстермана по днфракпни Не на !.(Р, где распределение импульсов атомов Не в первичном пучке задано температурой печи. Напротив, в опытах Дэвиссона и Джермера мы можем полностью игнорировать тепловые скорости электронов в сравнении со скоростью, приобретаемой ими в ускоряющем поле. Без большой погрешности можно считать, что все электроны имеют один и тот же импульс р. Поэтому в этих последних опытах практически реализуется случай чистого ансамбля, описываемого волновой функцией г(„.
Заметим, что часто при определении исходного состояния частиц вообще не делается никаких измерений, а только предполагается, что имеется тот или иной чистый или смешанный ансамбль. Справедливость сделанного предположения проверяется далее по наблюдаемым и измеряемым следствиям, вытекающим из него. Ловкому волновую Фугнкцию или набор волновых Функций гв случае смешанного ансамбля) следует расслгатривать как юголне оагг~ктивную, не зависящую от наблюдателя хараюперисогику квантового ансамбля. В заключение уэ ажем еще на одно существенное различие чистого и смешанного ансамблей, которое могло остаться незамеченным. Из одних и тех же волновых функций может быть образован как чистый, так и смешанный ансамбль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
