Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 19
Текст из файла (страница 19)
мы требуем, чтобы применение операторов не нарушало принципа суперпозиции. Линейный оператор 1. называют с а м о с о и р я ж е н н ы м (э р м н т о в с к и м), если имеет место равенство ~ и*, (х) 1.ие (х) дх = ~ и, (х) 7.хих (х) г(х, (18,7) аб нзонпля,гнпп мгхлншп скин вслшпш1 оииплтоплми !гл. нз где интеграл взят по всей области изменения переменной х, а и"; и пв суть две произвольпыс фуикпнн весьма ншрокого класса '). Если переменных много, то г(х заменяется на ~!г г!р г(х... Значение условия самосопряженности, как мы увидим позднее, закл.очается в том, что только подчиняющиеся этому условию операторы могут изображать вещественные (не мнимые) фнзнчесские величины. Поясним свойство (18.7) на примере оператора импульса д Рл= — И вЂ” -.
Имеем дх + ОЭ +со и,'Р„нес!и= — И ~ и," — 'г(х= +сО +оз д в с = (†(й и,*пе) ь + И ~ ив э ' г!х = ~ ив Р,"'и', с(х (так как п7 (ч со) = из (-+. со) = О). Таким образом, )о, есть д лйнейный и самосопряженный оператор.
Видно, что оператор дх линейный, но не самосопряженный; в самом деле, +оэ + о» + СО и',ь — Зг(х= — ~ из — — 'г(х~+ ~ ив — ' г(х. (18.8) Имея в распоряжении некоторые операторы, мы можем построить нз них более сложные. Способы построения из простых операторов более сложных вытекают из определения самих операторов и могут быть сформулированы в виде несложных алгебраических правил. Рассмотрим два линейных и самосопряженных оператора А и В.
Будем называть суммой этих двух операторов такой оператор С, что Сф= Аф+Вф, (18.9) Символически запишем это в виде (18.10) . д Например, если А =! -, а В =х, то из (18.9) следует С=1-„— +х. д ') Они должны быть интегрируемы и иметь производные, равные нулю на границах области интегрированна. ат линепные слмосопвяженные ОпеРАтОРы % кя Несколько сложнее определится умножение. Под произведением двух операторов А и В будем понимать такой оператор С, что Сф = А (Вф), (18.11) т. е. сначала следует подействовать на ~р оператором В, а потом на этот результат подействовать оператором А. Если тот же окончательный результат может быть достигнут оператором С, то С н будет произведением А и В.
Символически это запишем так: С=АВ. (18.12) д * Пример: А =-1- —,, В=-х, тогда С1Р == А (Вф) = с — — (хтР) = ПР + Вх д .. дф отсюда следует, что С=(+(х — =.1(1+х — ). д .l д~ дх 1 дх)' Существенно, что произведение опералторов зависит от порядка мнолсителей. В приведенном примере имеем Стг=В(А~ф)=(х д„-, т. е. С'=1х д . Поэтому, если имеются два оператора А я В, то кроме произведения С можно образовать еще другое произведение: С' = ВА.
(!8.12') Установленные правила позволяют производить с операторами сложение, вычитание и умножение так же, как это делается в обыч- ной алгебре, за исключением одного пункта: вообще говоря, нельзя менять порядка сомножителей. Например, С=(А — В)(А+В) Ав ВА+АВ Вв по не А' — В', Такая алгебра, в которой нельзя менять множителей, называ- ется а л г е б р о й н е к о м м у т а т и в н ы х в ел и ч и н, а сами величины некоммутатнвными (непереста- новочными) или некоммутирующими. Если оба произведения С и С' равны А — ВА =О, то операторы А и В называются ком мути р у |ощ им и (пе рестановочными). В противном случае их называют неком- 88 изОБРАжение мехАнических Величин ОпеРАтоРАми 1гл.
н! и у т н р у ю щи м и. Оператор Р = А — ВА называется комму- татором операторов А и В. Прн умножении линейных самосопряженных операторов сле- д)ет иметь в виду, что произведение их не будет, вообще говоря, также самосопряженным оператором. Именно, АВ = --(АВ+ВА ) + — (А — ВА ). (18.14) Пользуясь самосопряженностью каждого из операторов А и В, с помощью (18.7) можно доказать, что оператор Р=,'- (Ав+вА ) (18.15) будет сзмосопряженным, а оператор б=; —,(А — ВА) (18. 16) не будет обладать этим свойством, кроме случая коммутирующих операторов, когда 6 = О. Так как всякий оператор коммутирует сам с собой, то из сказанного следует, что любая (целая и положи- тельная) степень линейного самосопряженного оператора А: А"=А А.....А, Л будет оператором такого же рода.
Пользуясь изложенными правиламн, мы можем, исходя пз нзвестнь1х нам операторов проекций импульса Р„Р,, Р, (18.3) и операторов координат частицы к, р, г построить более сложные линейные н самосопряженные операторы ь'. $ !9. Общая формула для среднего значения величины и для среднего квадратичного отклонения Вопрос о том, какую именно физическую величину изображает тот илн иной оператор, решается свойствами этой величины н способамн ее наблюдения. В тех случаях, когда изображаемая оператором 1.
квантовая величина обладает свойствами, аналогичными Основная идея применения операторов в квантовой механике заключается в том, что калсдой лехпнической величине с в квпнпчовой лслпнике сопос~ппвляеп|сл изобраяспюи(ий ес линейный саносппрлзсснный опсрашор (.. Символически это запишем так: з пн срвдняя величина и квлдпятн шос отклонпшк 89 свойствам некоторой классической величины Е, для обеих величин употребляют одно и то же название. Например, если имеется классическая величина ~ — функция импульсов и координат Л = ~(р„р„, р„х, у, г), то линейный и самосопряженный оператор (., построенный по правилам преды- дущего параграфа из операторов проекций импульса Рх, Ря, Р, и операторов координат х, у, г, будет равен ).=1. (Рх, ЄЄх, у, г).
Самосопряженный оператор Л будет изображать квантовую вели- чину со свойствами, аналогичными классической величине ~. (р„, Рк Р х.у г) ). Разумеется, не все линейные и самосопряженные операторы, образованные из Рх, Р,, Р, и х, у, г, будут изображать величины, имеющие простой физический смысл и подчиняющиеся простым законам. Так же обстоит дело и в классической теории. Так, велирг чина — имеет смысл кинетической энергии и подчиняется закону 2т сохранения (в отсутствие внешних сил), величина же рх' не имеет какого-либо общего правила поведения и поэтому не играет никакой роли в механике.
Связь между операторами и измеряемыми величинами устанав- ливается в помощью формулы для среднего значения величины Л в ансамбле, описываемом волновой функцией «Р. Именно, в кванто- вой механике принимают, что среднее значение Е величпны 1, изо- бражаелюй линейно(м и самосопряженным операторол( Е. в чистом ингах(бле, опись(заел(ом функцией «Р, определяел(ея форлиулой Е =- 1 $* ьтр йх, (19. 1) где под йх подразумевается элемент объема в пространстве незави- симых переменных и интеграл взят по всей области изменения этих переменных.
Ясно, что паши прежние определения (!8.!) и (18.2) явля(отея частным случаем (!9.1). Чтобы получить (18.1) из (!9.!), следует положить й = Р(х, у, г), а под дх считать йх, йу, с1г. '!тобы получить (18.2), следует положить (' . д . д . д( ~=Р ~( — И-, — И вЂ”, — (И--). дх' ду( дг)' !!з основании свойства самосопряженностн оператора А, мы можем ( ш(цсать (19.!) в эквивалентной форме «т 1фЬаф. йх (19. 1') ') Поскольку волновал функция рассматривается как функция координат 'к(с(цци х, у, г, постольку действие «операторов«х, у, г сво(тится просто к ум- ыл (.симо фупкцю( иа х, у, г, действие оператора Е (х, р, г) — к у«ц(о(кеипкт иа !«(х, (у, г), 90 изоымокп(ис мьхл(п(чсских величин опсллтоелми (гл.
и( (для этого полагаем в (18.7) и'," = Ч>», из = ()>). Из сравнения (!9.1) и (!9.!') следует, что 7 « (19. 2) т. е. среднее значение величины, изображаемой самосопряженным оператором, вещественяо. Мы получим более детальные сведения о величине (., если помимо ее среднего значения Х найдем еще и среднее квадратичное отклонение (Л(.)', указывающее, насколько в среднем отклоняются результаты отдельных измерений в ансамбле от их среднего значения, Вычислим (Л(.)'-'. Для этого следует построить оператор, изображающий величину (Л(.)'.
Отклонение от среднего определяется как Л(. =- Ь вЂ” ('., Стало быть, оператор, изображающий И., имеет внд И. =- (. — Е. (19.3) Так как квадрат отклонения (Л(.)' = ((. — Е)', то оператор для (Лй)' будет следующий (ЛТ,)« = ((. — Е)'. (19.4) Пользуясь общим определением среднего значения (19.1), мы найдем (Л( ) з = 1 ф(* (Л(.
)з ф ((х. (19.5) Таким образом, зная оператор Ь, мы можем вычислить и (Л(.)'. Величина (И.)' должна быть неотр:щательной. Это легко доказать, пользуясь самосопряженностью оператора (.. Так как 7, есть число, то оператор Л(. также самосопряженный. Г1оэтому, пользуясь (18.7) и полагая в (19.5) ф« =и",, (Л(л(>) =и„находим (И)' = ~ (Л(ф) (Л(.*ф*) ((х = $ ~ Л(ф,' дх, (19.6) так как )Л(.(р," . О, то из (!9.6) следует, что (ЛЕ.)' =- О, (19.
7) т, е, (как н должно быть) средкее квадратичное отклонение всегда па (ая((ш(ельча или )>(и(на н!(Лю $ 20. Собственные значения и собственные функции операторов и их физический смысл. «Квантование» Формулы предыдущего параграфа дают выражение для среднего значения 1. и среднего квадратичного отклонения (Л(.)'. Этп формулы ничего не говорят о том, каковы будут значения величины (' и отдельных измерениях.
Э зн совствпнныв значения и совствснныс чзгнкции 91 Чтобы найти возможные значения величины 1., обратимся к таким состояниям зрг, в которых интересующая нас величина имеет только одно значение 1. В таких состояниях среднее квадратичное отклонание (ЛЬ)з =- О.
Стало быть, для этих состояний на основании (19.б) имеем ~ ) Ы тйл ~з г(х = О. (20.1) Так как под интегралом стоит существенно положительная величина, то из (20.1) следует ~ Л(.р,"=О. г) Речь идет об уравнениях, не содержащих производных по времени, гак что задание начальных данных отпадает.
Модуль комплексного числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Поэтому мы получаем Л1. (гг =О или, имея в виду определение оператора Ы (19.3) и то, что в рассматриваемом состоянии Е = 1., находим окончательно 1-ту с = 14гы (20.2) Так как 1, есть оператор, то найденное нами равенство является линейным уравнением для нахождения волновой функции фг того состояния, в котором величина, представляемая оператором 1., имеет единственное значение!..
В большинстве случаев оператор 1. будет дифференциальным оператором и уравнение (20.2) — линейным однородным дифференциальным уравнением. Нзвестно, что решение дифференциального уравнения определено единственным образом только в том случае, когда заданы краевые условия '). С другой стороны, при заданных краевых условиях линейное дифференциальное уравнение 1лр = 1лр имеет нетривиальное (т. е, отличное от нуля) решение, вообще говоря, не при всех значениях параметра 1., а только при некоторых определенных: 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
