Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 20
Текст из файла (страница 20)
= 1.„ 1.„..., Л„,... Соответствующие решения гр„зр„зр„..., зр„,.„называются собственными функциями, а значения параметра 1.„1, 1,„..., 1.а,..., при которых существуют решения, называют с о б с т в е н и ы м и (иногда говорят характеристическими) зн а чен и я ми пар а метр а уравнения (20.2). Наиболее общеизвестный пример такой задачи представляет задача о колебаниях закрепленной на концах струны. Уравнение движения в этом случае имеет вид +йаи =О, (20.3) 92 изОБРАжение мехАнических Величин ОпеРАтОРАми !Гл. Рн ии так что (.= — „-;, а 1 =lез. Область, в которой ищется решение, есть О==я~1, где ! — длина струны. Краевые условия будут Н=О при х=О и х=(. Собственные функции для такой задачи илх изп' равны и„(х) = з!и —, а собственные значения х.„=й„'= — («в (а=1, 2, 3,....). В квантовой механике волновая функция всегда определяется во всей области изменения тех переменных, которые являются ее аргументами (например, тр(х, у, г) определено в области: — оо «х « «+ о,— о «у«+со,— оо г«+соит.п.).
Поэтому в квантовой механике мы не можем сформулировать краевые условия для волновой функции' столь непосредственным образом, как они формулируются в классических задачах о колебании тел. Однако можно показать '), что из требования сохранения полного числа частиц вытекают некоторые естественные требования к волновым функциям, которые оказываются эквивалентными краевым условиям. Требования сохранения числа частиц сводятся к тому, что вероятность найти частицу где-либо в пространстве не должна зависеть от времени, т. е.
— ~. ту*ф йо = О, (20.4) где интеграл распространен по всей области изменения аргументов тр-функции, так что он равен вероятности тогб, что частица обязательно где-то находится. Суть дела заключается в том, что условие (20.4) может быть выполнено только тогда, когда волновые функции имеют достаточно корректное поведение, а именно: 1) если они конечны во всей области изменения переменных, за исключением, быть может, некоторых (особых) точек, где они могут обращаться в бесконечность, не слишком сильно '), 2) если они имеют достаточное число непрерывных производных (также могущих в отдельных точках не слишком сильно стремиться к бесконечности), 3) если они однозначны. Более жестко, но достаточно для целей нерелятивистской квантовой механики эти требования могут быть сформулированы в виде трех требований: !) конечности, 2) непрерывностии и 3) однозначности волновой функции во всей области изменения ее аргументов.
Эти весьма скромные требования, предъявляемые к решениям уравнения (20.2), ведут к тому, что во многих случаях решении, обладающие указанными свойствами (1, 2, 3), существуют не при т) См. дополнение ЧП1. ') Если волновая функция не исчезает а бесконечности (например, плоская волна де Бройля), то вместо ф для сходимосги интеграла и (20.4) следует брать так называемые «собстненные дифференцналыз (см. дополнение П1 (!2) и (!2'), где изложено правило нормировки волновых функций, не исчезающих и бесконечности).
сОБстВенные знАчения и соастВенные Функции эз всех значениях т'., а лишь при некоторых, избранных Е = Ет 1,„т'.„..., Г.„,..., т. е. мы приходим к задаче о нахождении собственных функций и собственных значений уравнения (20.2) на основе естественных требований, вытекающих из условия сохранения числа частиц (20.4). Вместо «собственные функции уравнения» и «собственные значения параметра уравнения» мы будем обычно говорить о собственных функииях и собственных значениях оператора х., которым определяется вид уравнения (20.2). Мы будем считать, что никаких значений величины ~ нельзя наблюдать на опыте, кроме тех, которые являются собственными значениями оператора с.
Иными словами, в квантовой механике постулируется: совокупность собственных значений оператора Е: со 7 „Л„..., Е,„,..., тождественна с совокупностью всех возможных результатов измерения механической величины Е, изображаемой оператором (". Это и есть как раз тот постулат, посредством которого устанавливается связь между изображением величин операторами и опытом: математика позволяет предсказать набор сббственных значений, а опыт позволяет проверить, таков ли он, каким его предсказывает теория. Соответствующие собственным значениям Л„с», ..., Л„,...
состояния определяются собственными функциями ф,, ф„..., тр„,... В каждом из этих состояний (Лт'.)» = 0 и величина С имеет только одно из значений Л,, 1„,..., 1.„;..., соответственно. Совокупность возможных значений некоторой величины мы будем называть с и е кт р о м этой величины.
Спектр может быть д и с к р е т н ы м, когда возможны только отдельные значения Е„).»,..., ~,„,..., либо со сто я щ и м и з о т д е л ь н ы х п о л о с, так что возможные значения т'. лежат в интервалах: 1,, ( с (Л„1,; (Л » (Е„вообще х.„(). ( т'.„О либо, наконец, й е и р е р ы в н ы м, когда все значения Л оказываются возможными. Когда возможные значения величины являются дискретными, то говорят, что величина имеет к в а н т о в а ни ы е значения.
В полуклассической теории Бора отсутствовали методы, позволяющие в общем виде решить вопрос о возможных значениях той илн иной величины, в частности, найти квантовые значения этой величины. Современная квантовая механика полностью решает этот вопрос, сводя его к чисто математической задаче нахождения собственных функций и собственных значений операторов, изображающих механические величины.
Из самосопряженности оператора Е следует, что наблюдаемые значения й будут вещественны: Е„= 1,, *или Б = 1.*. (20.5) ВА ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. И[ В самом деле, собственное значение 7.„(нли й) можно рассматривать как среднее значение величины Е в собственном состоянии ф„ (или фс соответственно). Но среднее значение величины, изображаемой самосопряженным оператором, вещественно (см.
(19.2)). Этим полностью разъясняется значение самосонряженности операторов: самосопрпяеенные операторы иаобрахеают вещественные величины. й 21. Основные свойства собственных функций Обратимся к рассмотрению важнейших свойств собственных функций самосопряженных операторов. Сначала. ограничимся случаем дискретного спектра.
Пусть мы имеем какие-либо две функции и; и и,, Эти функции будут называться о р то го н а л ьн ы м и, если ) и",и,йх=О, (21.1) где интеграл взят по всей области изменения переменных. Для простоты мы обозначаем все переменные одной буквой х. Теорема, которую мы докажем, заключается в том, что собственные функции ф„и ф самосопряженного оператора Ь, принадлежащие различным собственным значениям (.„и 7., ортогональны между собой, т.
е. ~Кф,Их=О. (21.2) В силу предположения о том, что ф„и ф являются собственными функциями, мы можем написать Ц~ =7. ф, Хф„=(.„ф„, (2!.3) напомним, что согласно (20.5) 1. = й'. Умножив второе из уравнений (21.3) на ~4, а (21.3') на ф„вычтем второе из первого. Тогда получится Ф*- 7-4. — М'-*ф' = (1, - 1,) ~Ы.. Интегрируя это равенство по всей области изменения переменных, будем иметь )Чтг 7-'р.~ Ь )-"ф'4 =((.„— 7 ) ~ дф„г(х В силу самосопряженности 1.
левая часть равна нулю (следует в равенстве (18.7), определяющем самосопряженность, положить Из первого уравнения получим комплексно сопряженное: АФфФ 7 (Ф (21:3')' а ип ОснОВныв сВОйстВА совстВВнных ФункциЙ ф = и„ерл = «»), следовательно, (~ — Т, ) ') у!уьбр„е(я=О. (21.4) Так как Г.„~ 7., то отсюда следует справедливость (21.2). Функции дискретного спектра всегда интегрируются квадратично, поэтому мы можем нормировать их к единице: ') ер;ур„!!х = 1. (21.5) Это последнее равенство можно объединить с равенством (21.2) в одно: ~ у(у*»(у„дх = 6„„ (21.6) где символ 6 „определяется следующим образом: 6 „=1, если а=Ну, 6„, = О, если п ~ и.
(2! . 7) Системы функций, удовлетворяющие (2!.6), мы будем называть ортогональными и нормированными системами функций. В значительном большинстве Случаев, встречающихся в квантовой механике, собственному значению Т.л оператора Ь принадлежит не одна функция ур„, а несколько собственных функций: ууулу Флер " р б!ул»у " р б!улу Такие случаи назыВаются В ы р О жд е н н ы м и. Если значению ь = 1,„принадлежит г собственных функций (7 ) 1), то говорят о наличии ~-к р а т н о г о в ы р о жд е н и я.
физический смысл «вырождения» заключается в том, что какое-нибудь определенное значение величины 1. = 1.„может быть реализовано в разных состояниях. Доказанная нами теорема об ортогональности собственных функций относится лишь к функциям, принадлежащим к разным собственным значениям. В случае вырождения функции у(у„» (й = =1,2, ...,)) относятся кодному итомужесобственномузначению 7.„: Ц„»=(,„фл», й=1, 2, З, ..., ~. (21.8) Поэтому они не будут, вообще говоря, ортогональными.
Однако можно доказать '), что этн функции могут быть всегда выбраны так, что они будут также ортогональны между собою: ) рР2» ур„» б(х = 6»». (2!.9) Поэтому условие (21.6) можно считать всегда выполненным, если "б бл 'у рауру б бб уу! См. дополнение и. 96 изовекжениа механических величин опегхтоеами !гл.гп если точка Е'=Л лежит вие интервала (а, 6), (21.11) если точка Л'=Е лежит ~ внутри интервала (а, 6), ~ ~(1.') 6 (1,' — 7.) Л.'=~(Т) Ю !де ! (I') — любая (достаточно гладкая) функция. Можно доказать '), что функции непрерывного спектра ф (х, 1.) когут бить норхтировины ищк, гипо ~ фе (х, Л') ф (х, Л) с(х = — 6 ((.' — Т). (21.12) Зто равенство аналогично (21.6), ибо из (2!.1!) следует, что 6 (7.' — Е) .= 0 всюду, кроме точки Г =- (., где 6 обращается в бесконечность.
Таким образом, символ 6 (Е' — Ц играет ту же роль, что и символ 6 „в случае дискретного спектра. В математике доказывается, что система собственных функций операторов очень широкого класса является не только системой ортогоиальных функций, но системой полной. Зто означает, что любую функцию ф (х), определенную в той же области переменных н подчиненную тому же классу граничных условий, что и собственные функции ф„(к), можно представить в виде ряда по этим собственным функциям: ф (х) = "~,с„ф„(х). (2!.13) '1 Ои. до юлиеиье !11.
ность индексов, характеризующих собственную функцию (например, вместо т — два индекса т н й', вместо и также два индекса и и и). В том случае, когда оператор Л имеет непрерывные собственные значения, доказанные теоремы непосредственно неприменимы. Однако и в этом случае собственные функции обладают свойствамя, аналогичными свойствам функций дискретного спектра. Собственные функции непрерывного спектра нельзя перенумеровать числами. В этом случае функции зависят от собственного значения Ь как от параметра, так что мы можем написать фх (х) = ф (х, 1) „ (21.10) где через х обозначены переменные, в которых выражен оператор 6. Свойства ортогональности собственных функций непрерывного спектра проще всего могут быть выражены с помощью особого символа 6 (à — Е), называемого ф у н к ц и е й Д и р а к а илн 6-ф у н к ц и е й. Зта функция обладает следующими свойствами: (!((.') 6 (й'-Т) Л.'=О, ч э 2!1 Основные свопства совстВенных Функций 97 В силу ортогональности и нормировки функций ф„интеграяы, стоящие под знаком суммы, равны б„„(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
