Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Я 14, 15). Поэтому всякий прибор, применяемый в квантовой области для измерения механических величин, относящихся к микрочастицам, должен быть тщательно рассмотрен с точки зрения анализа значения получаемых с его помощью результатов измерения и тех изменений в состоянии системы, к которым он может приводить. Всякого рода догматические суждения, не основанные на анализе конкретного устройства аппарата, могут привести к ошибочным выводам.
й 24. Операторы координаты и импульса микрочастицы 4)'= — (йЧ, где 7 есть оператор градиента (набла). (24.1') ') См. сноску на стр. 106. е) Возможность другого выбора независимых переменных в волновой функции рассмотрена в гл. тП. Поскольку волновая функция рассматривается нами как функция координат частицы, постольку оператор координаты частицы х есть само число х. Действие функции координат частицы Г (х, у, г) как оператора сводится просто к умножению тр (х, у, г) на Г (х, у, г). При этом же выборе переменных ') в волновой функции операторы проекций импульса частицы, в соответствии с 2 13, будут Р = — гй вх ' 1за= — го д, Ре= — гге дг, (24.1) или В векторной форме з ги ОпеРАтОРы кООРдинАты и импульсА микРОчАстикы ~оз Вычитая вторую строку из первой, находим (хЄ— Ркх) ф = Иф, т. е.
хР— Р„х =гй, (24.2) и аналогичным образом УРУ вЂ” Р„У И, ЕР,— Рка =И. (24.2') (24.2") Эти правила перестановок носят название п е р е с т а н о в о чных соотношений Гайзенберга. Видно, что хЄ— Р„х = О, (24.3) (24.3') рР,— Р,р =О, ЕЄ— Рее =О (24.3") и т. д. Подобным же путем можно установить более общие перестановочные соотношения для любой функции Р (х, и, г) и операторов импульса. Именно, РР,— Р,Р И вЂ”, (24.4) РРУ РУР И ду ' (24.4') дк ' (24.4") Из соотношений (24.2) и (24А) следует, что не существует состоя. ний, в которых импульс и сопряженная ему координата имеют одновременно определенные значения. В сущности (24.2) и (24.4) в операторной форме выражают уже известное нам соотношение неопределенностей.
Определим теперь собственные значения и собственные функции оператора проекции импульса на какую-нибудь ось (например, Операторы проекций импульса и координат подчиняются определенным правилам перестановки, которые очень облегчают 'расчеты с ними. Пусть гр (х, у, г) есть волновая функция; тогда имеем х(Р ф )= х — гй — = — гйх —, Р (хф) гй (хф) Их Иф да дк дк 1О4 изОБРАжение мехАнических Величин ОпеРАтОРАми [Гл. и1 ОХ). Согласно изложенному в 9 21 уравнение для собственных функций оператора импульса имеет вид РЯ=РЯ, (24.5) где р, — собственное значение. Используя явное выражение для Р„, получаем д (24.5') дк Это уравнение легко интегрируется рхк 1РР (к) й(е н (24.6) где У вЂ” постоянное число. Для того чтобы это решение было всюду конечным (непрерывиость и однозначность этого решения очевидны), достаточно, чтобы р было любым вещественным числом.
Поэтому спектр собственных значений р получается непрерывным (24.7) — ОО ( Р, (+ СО. 1 1 — „.. Р~М ~х (о,. «)!М ф, *(к)ф,„(х) бх=б(Р,' — р„), (24.8) (24.9) т. е. собственные функции оператора импульса ф суть плоские волны де Бройля. Это вполне естественно. То, что волна де Бройля есть состояние с определенным значением импульса частицы, 'было в сущности исходным пунктом квантовой механики (Я 7, 12).
й 25. Оператор момента импульса микрочастицы Под м о м е н том им и у л ь с а частицы (моментом количества движения) в классической механике понимают векторное произведение радиуса-вектора г, проведенного от некоторой избранной точки (например, центра сил) к частице, на импульс й4 = 1 гр ). (25.1) Значение этой величины в механике определяется тем, что она является интегралом движения в поле центральных снл. В кван- '1 Ом.
Аополненне 1и, формулу (20). Множитель й( можно выбрать так, чтобы функция фр, была норми- рована к б-функции '). Для этого нужно положить л( = (2пй) 1л. Окончательно нормированные и ортогональные собственные функ- ции оператора Р„имеют вид Ф М1 ОПЕРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦЫ Н6 М =Ргу — Р г=(й(г — — у — -1, д д~ ду дг ) ' / д д' М„=Рхг — Р,х= И ~х — — г- — ~, дг дх)' д д ~ М,=Р„х — Р,у=гй у-- — х —- дх ду,) (25.3) и, наконец, для .оператора квадрата, момента' и ми у л ь с а получаем следующее" выражение »Г/ д д ',г М'=М„'+М„'+М,'= — Й'ог —.— — у — -1 + ду дг) +(хд гд ) +(Удх хд )~.
(25.4) Найдем правила перестановки для компонент момента импульса, Эти правила понадобятся нам в дальнейшем, а сейчас онн могут служить иллюстрацией приемов алгебры операторов. Вычислим коммутатор б = М„М, — М,М». Подставим сюда вместо М» и М, пх-выражение (25.3). Вычислим М„М, М„М, = (Р,х — Р„г ) (Р„у — Р»х) = Р.х Ргу — Р„гр,.у— — Р,хР,х+ Рхг Р„х = УР,х Є— гуР) — х'Р,Р -+ ар р„х (так как у и ЄЄг, и Р„, Р„, х, и Єл перестановочиы). Подобным же образом М М» = УР~» хх — гуР» — х»Р Р»+гР»хР Вычитая из первого равенства второе, найдем М„М,— М,М =УР,(хЄ— Р„х)+гР„(Ргх — хР ).
Пользуясь теперь (24.2), получаем М»М, — М,М» —— (и (УР,— Р г) = ЙМх. товой механике момент импульса изображается оператором М=(гР), (25.2) где»» — векторный оператор импульса (24.1'), а г — радиус-вектор. Основанием к такому выбору оператора момента импульса является не только внешняя аналогия с классическим выражением (25.1), но и то, что изображаемая оператором М величина является также интегралом движения в поле пентральных снл (ср; 3 33) и обладает свойствами, аналогичными свойствам момента импульса в классической механике. Операторы проекций момента импульса на ос н к о о рд и н а т, согласно определению (25.2), имеют вид 188 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ 1ГЛ.
111 Меняя циклически х, у, г, получим все три перестановки: М„М, — М,М„= 18М„ (25.5) М,М,' — М„М, = 18Мю (25.5') М 'Му МРМ 18М (25.5") Таким образом, операторы компонент момента импульса неком- мута1пивны. Напротив, каждая из компонент момента импульса коммути- рует с квадратом полного момента импульса: М„Мв — М'М„= О, (25.6) М,МЯ вЂ” М'Мя=О, (25.6') М,МЯ вЂ” МЯМ, = О.
(25.6") Доказательство предоставляем читателю. Из этих правил перестановки следует, что проекции момента импульса М„, М„, М, не могут быть одновременно измерены. В состоянии, в котором одна из проекций имеет определенное зна- чение-((ЛМ,)Я = 0), другие две проекции не имеют определенного значения ((ЛМР)в.» О, (ЛМ,)Я ~ 0) ').
Напротив, любая нз проек- ций и квадрат йолного момента могут быть измерены одновременно. Определим теперь возможные значения проекции момента им- пульса на какое-либо произвольное направление и возможные зна- чения абсолютной величины момента (точнее — значения М'). Для решения этой задачи удобно перейти к сферической системе координат, взяв некоторое избранное направление за ось Ол.
В этой системе координат х = г я'и 8 соз ср, х = г я'и 8 яп ср, е = г соз 8, (25. 7) где 8 есть угол между осью 02 и радиусом-вектором г, а ср — угол, отсчитываемый в плоскости ху от оси ОХ. Несколько громоздкое преобразование формул (25.3) из декар- товой системы координат в сферическую приводит к следуюшему результату: М =+ 18(Б1п ср д +с(яйсОЗ ср д .~, д д1 (25.8) дт~' М = — 1й (соз ~ — — с(я 8 яп р — ~, д д '1 дь йр' (25.8') д М,= — 18 д (25.8") д~р ' МЯ= йети,ю (25.9) 1) Исключеннеи является случай Ме=о, нз которого следует М„'=Лтв = = М-'=О.
0 ее1 опеРАтоР момйнтА импульсА микРочАстицы 186 где 8$,э есть так называемый о пер втор Л а ил а с а для сферы ~ф Р— — — — 01п 6 — + —, 1 д . д 1 де (25.10) (25.13) Л=-1(1+1), (25.15) где 1 — целое положительное число. При каждом таком значении 1 имеется 21 + 1 решений, которые представляют собой сферические функции. Мы обозначим их так: где еп — целое число, ограниченное следующими значениями: т=О, +.1, + 2,..., .+ 1; 1=0, 1, 2, 3, ...
(25.17) (всего 21 + 1 значений). Знаком 1 не ! обозначено абсолютное значение числа пе. функция Р~~ ~ (соз 6) определяется тан: ~~п~ (,е! Р1, '(6)=(1 — йе) е Р,($), $=соз6, (25.18) ипз дз ( д0) йп 0 до Так нак операторы (25,8) и (25.9) действуют только на углы 6, р, то волновую функцию достаточно рассматривать в зависимости лишь от этих углов, т. е.
ф=ф(6, р). (25.11) Уравнение для определения собственных значений оператора М', согласно (20.2) (полагаем там Е=Ме, Е=Ме), будет Мр Меф (25.12) Вставляя сюда М' из (25.9) н обозначая Ме Л= —, яе мы получим уравнение (25.12) в виде — 0 дз ~01п 8 д0 )+ —.,0 д, +Лер=О. (25.14) Зто уравнение мы должны решить для всей области переменных 6, ~р (О ( 6 ~ и, 0 ( ф ( 2п), причем интересующие нас решения должны быть конечными, неарерыеными и однозначными. Уравнение (25.14) хорошо известно. Зто — уравнение для сферических функций. Подробные сведения об этих функциях и о решении уравнения (25.14) приведены в дополнении Ъ'. Здесь мы ограничимся лишь кратким резюме. Оказывается, что решения этого уравнения, удовлетворяющие поставленным условиям, существуют не при всех значениях Л, а лишь прн !88 изОБРАжение мехАнических Величин бпеРАтОРАмн [гл.!и причем Р, ($) есть так называемый пол и нем Лежандр а Р! (С) =- ~~~, '3ет Иь' — 1)'1.
! в! (25.19) й Множитель, стоящий перед Р! ', выбран так, чтобы ортогональные функции Уь„были, кроме того, и нормированными к единице на поверхности сферы, т. е. ~ ~ У'!З;„У„„з(п 8с(8с(!р= бтб„ (25.20) о о (Координаты 8 и ф отмечают точки на поверхности сферы. Элемент поверхности сферы единичного радиуса равен з(п 8 д8 !йр.) Используем теперь эти результаты для нашей задачи. Как уже было сказано, уравнение (25.14) имеет однозначные и конечные решения лишь при значениях Х =! (1+ 1). Поэтому собственные значения оператора квадрата момента импульса будут М)=Ф'1(1+1)* 1=0, 1 2.
"° (25 21) а соответствующие собственные функции суть р, (8, р)=1; (8, р), т=о, -+-!, ..., -В-1. (25.22) Собственному значению М1 (25.2Ц принадлежат всего 21+ 1 собственных функций, отличающихся значением числа т. Таким образом, мы имеем дело со случаем вырождения (см. 8 21). Сущность этого вырождения легко уяснить себе, если обратить внимание на то, что собственные функции оператора квадрата момента импульса М' являются также собственными функциями оператора проекции момента импульса на ось ОЕ М,. В самом деле, уравнение для собственных функций оператора М, есть МД =М,!р, (25.23) подставляя сюда М, иэ (25.8"), получим (25.23') Если сюда подставить ф!и, то, имея в виду, что !р,„пропорционально е'"~, мы найдем — (й (тф =М,ф!,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
