Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Такое сопоставление не является, однако, тривиальным, так как волновая функция по самой своей природе является величиной неизмеримой (напомним, что тр и тгнь а»Р, где а — любая постоянная, изображают одно и то >ке состояние), Измеримыми являются значения механических величин 1„М, Ф частицы (или системы частиц) и вероятности, с которымн обнаруживаются эти значения в ансамбле частиц (или систем). ') Во многих курсах стремятся «вывести» уравнение Шредингера. На самом дете, зто уравненке ниоткуда не выводится, а образует основу новой теории. По»точу мы предпочитаем постулироють его, ограничившись приведенными выше доводашг в пользу такого пост)лата.
з) Конечно, характер решения лнфференпнального уравнения зависит еще н от краевых условий. Проводя узмззнпое противопоставление, мы ил«еехг в виду случаи, когда ни () (х, у, з), ни краевые условия нс зависят от времени. изменение состОяния ВО Времени 1гл. гч 1 "О Поэтому мы могли бы рассчитывать только на то, что па измерениям верпятнпспгей в ансалгбле окан<ется возможным вычислить волновук> функции> с точностью до несущественного постоянного множителя. Эта задача вычисления волновой функции по измеренным вероятностям в общем случае совсем не является простой, так как вероятности определяют только ~ф(х),' или вообще квадраты модулей амплитуд 1с„' разложсгшя ф(х) по собственным функциям какого-лиоо оператора, а фаза гр(х) или с„остается неопределенной '). Только в исключительных случаях задача становится простой, или даже тривиальной.
Например, в 9 29 будет показано, что в состояниях, в которых нет потока частиц, волновая функц|ш действительна. В этих случаях плотность вероятности щ (х) = ~тр(х)1з =фз(х) и тр (х) = = не )> щ(х). Однако вся проблема определения ф(х, О) упрощается тем, что в подавляющем большинстве практически интересных случаев мы имеем дело с ансамблями частиц, имеющих определенный полный набор механичесютх перелгенных г'., М, гл(. Зная их значения из измерений в момент времени 1=0, можно, пользуясь математическим аппаратом квантовой механики, вы шслить и начальную волновую фуикцшо.
Действительно, если в момснт времени 1=-0 измерены значения Е, М, >У этих величин, то мы можем утверждать, что начальная волновая функция еспгь оби(ая, собственная функция операторов г'., М, )л(, ггрггнадлежагцая сабственнылг значениями) г'., М, Лг. На этом пути вся проблема определения волновой функции сводится к выяснению того, какие величины образуют полный набор.
Ниже показано, что зтп величины должны обладать следующилш свойствами: () анп пт)новреггеннп излгсрггл|ы, 2) число пх равно числу степеней свободы сиспгемы, 3) они независимы мезсду собой. Илгея в виду дальнейише обобщения, будем считать, что волновая функция является функцией ) переменных (система с) степенями свободы), Интересующая иас функция есть собственная функция и поэтому принадлежит к полной системе ортогоиальных функций в пространстве ( измерений. Каждая такая функция характеризуется ( параметрами сг, (), у, ...
(«нолгераэ функции). ') Слг, теорию рассеяния тл. Х1Н. е) Напри«гор, если начальное состояиие характеризуется заиаиием импульса частипы р (в этом случае 1:=-.П,, Ги=-р,, Л'=П,), то ц (С 0)=тр (х) есть плоская волна ле Брея.|я, прииздле>кашая импульсу р. и сохнлнкыик числя частиц $ аа) 121 Если такая функция ф„в т (х, у, г, ...) есть собственная функция операторов С, М, )у', ..., то собственные значения С, М, й(, ... будут функциями этих параметров. Мы будем иметь Лф„лиг = 1. (а, р, у, ...)тра в, Мфп,р,т„,=М(ск, (т, Ъ ...)фп,в,т„,, Л)фп, а, т, „= )(( (сс, Р, у, ) Фоли т.... (28.5) при этом ии одно пз нпх не должно быть следствием другого, т. е. величины Е., М, )т*, ...
долмсиы быть независимыми' ). 9 29. Сохранение числа частиц Из уравнения Шредингера можно получить закон сохранения числа частиц, выражаемый уравнением непрерывности -- + Йт ):.—. О, (29.1) где гп — средняя плотность числа частиц в точке х, у, г, а )— средняя плотность потока частиц. Для того чтобы получить это уравнение, возьмем уравнение Шредингера сначала для простого случая потенциальных сил (28.4) д( 2 т+ (29.2) Уравнение для комплексно сопряженной функции будет д * ),г — (гг+ = — —;, утф*+()ф".
д( 2и (29.2') Умножая уравнение (29.2) на чре, а (29.2') на ф и вычитая второе уравнение из первого, получим дф (й(ту* дг+ ф-.-;~ =--,';, (ф" р-ф-ф'р'ф'). ') Зги параметры могут быть непрерывными или лискретными. В проысашем случае разлеляюшихся переменных такая функция имвыт вид Чи. ~.'. и, (х, р, г) = ип (х) ор (р) ют (а) Эти уравнения совместны, если 1Е М1=(й )У1=(М Ф1=" =О (286) т. е.
если величины Е, М, й(, ... одновременно измеримы. Далее, чтобы определить по измеренным 1., М, й), ... параметры а, (), у, ..., нужно решить ) таких уравнений: с.=ь(сс () у .) М=М(сс (з, у,. ), )Ч=й((сс, ~, у,. ), (28.7) изменение состоянггя Во Вреыенгг 122 ~гл.
гч Это равенство может быть переписано в виде — (трфь) = - — д(ч (фетрф — фифе), ф*ф есть плотность вероятности ия =- тх гр. (29.3) (29.4) Если через 1 обозначить вектор 1 = Н (ейь."т(г — 'ф гутР), 2И (29.5) то уравнение (29.3) запишется в форме — +Йч1=0. (29,6) з- — (а гз- — )гиз, (29.7) где последний интеграл взят по поверхности 5, охватывающей объем )г. Распростраггяя интегрирование по всему пространству (У-ьсо) и имея в виду, что волновые функции ф, а вместе с тем и плотность тока ) обращаются на бесконечно удаленной поверхности в нуль'), мы находим (29.8) т. е. полная вероятность найти частицу где-либо в пространстве пе зависит от вреиени.
Следовательно, число частиц остается неизменньгм. Вместе с тем (29,8) утверждает, что нормировка волновых функций не меняется с течением времени, положение, о котором мы уже упоминали в 2 10. ') В случае, когда функции ф ггеинтегрируеыы, интеграл 1/нггг ио'кет и не обратиться в нуль даже по бесконечно удаленной поеерхно".тн Физически это означает сугиестаоаание потока частиц из бесконечности или и бесконечность. Отсюда следует, что вектор 1 есть вектор плотности тока вероятности. Уравнение (29.6) получает более наглядное толкование, если заметить, что нг=.т(г"т(г может рассматриваться так же, как средняя гглотяоспгь часпшц, Тогда 1 следует рассматривать как средний гготок частиц через гглои(адь в 1 слгз в 1 сек, В соответствии с этим уравнение (29.6) нужно толковать как закон сохранен и я числа частиц. В частности, интегрируя (29.6) по некоторому конечному объему )г и применяя теорему Гаусса, получаем сохРАнеги!е числА чкстиц !23 Умножим 1 и гс на массу частицы р: р„=- 9!в =- р ! 2Р !2, 1„= — (ф'Р2Рч — Ч!*7Ч!).
(29.9) т, е. изменение массы в некоторой бесконечно малой области обусловлено втеканигм или вытеканием эпюи А!ассы через поверхность, ограничиваюц(ую эп!у область. Подобным же образом, умножая 2в и ) на заряд частицы е, получим среднюю пзотносгь электрического заряда и среднюю плотность электрического тока; Р, = ею = е ! Ч!', 1.
=-2, (фФФч — Ч "чф), (29.11) для которых опять-таки получается уравнение непрерывности зР' + б (ч 1, = О. (29.12) Уравнения (29.10) и (29.!2) выражают закон сохранения массы и заряда в квантовой механике. Если представить волновую функцию ф в виде Ч! = ие'е, (29.13) где и — действительная амплитуда, а Π— действительная фаза, то подстановка (29.13) в (29.5) дает 1= — и РО. в Так как и есть плотность ю, то величина — 76 может быть ис- 2 а толкована как срсдняя скорость в точке х, у, г: Й ч = — 70, и (29.14) я а величина — 6 — как потенйиил скорости.
Из формулы (29.5') с особой ясностью видно, что плотность тока 1 отлична от нуля лишь в том случае, когда состояние описывается комплексной функцией Ч!. При наличии магнитного поля эь", описываемого вектором-потенциалом А (эе'=го1 А), формула для плотности тока 1 должна Тогда р„имеет смысл средней плотности вен(есп2ва (массы), а 1„— с(эедней нлотноспш тока веи(ества (массы). Из (29.6) следует, что эти величины подчиняются уравнению непрерывности зРР д,-+ б2гч)!, = О, ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ (ГЛ.
1т' 124 быть видоизменена'). Именно, при наличии магнитного поля влгесто (29.5) получается выражение для плотности тока: 1 =- — (фЧфв — фа Чф~ — — Аф вар. 2р рс (29.5") Чтобы получить это выражение, счедует подставить в уравнение Шредингера (28.3) гамильтониаи (27.9) для движения в произвольном электромагнитном поле. Производя эту подстановку, находим уравнение Шредингера для этого случая: гй- = — — 7'ф+-- А7ф+ —. б(уАф+ — Атф+с)гф+(уф . дф ав, сл год д( 2р рс 2рс 2рса (29. 15) и для сопряженной функции — И вЂ” = — — Ч'ф* — - АЧф" — .— г(1У АФ'+ дф* 1Р ЫД „гей д( 2р рс 2рс + — „,. А'ф'+ ечф*+(7111*.
(29.16) Умножил( опять первое уравнение на ф*, а второе на ф и вычтем второй результат из первого. Тогда получается (Й * = — -- с((у (ф'7тр — фЧф*)+ д (фьф) йт дЕ 2р + г— е((1!т А(фвф)+А(ф*Чф*+фЧф*и. Подставляя этот результат в предыдущее выражение и деля иа (й, получаем — — + 11ге 11 — (фЧф* — ф*Чф~ — — ' Афеф~ = О. (29.17) Это и есть уравнение непрерывности при наличии магнитного поля, описываемого вектороч-потенциалом А. Выражение в фигурных скобках должно быть плотностью тока 1; оно совпадает с (29.5"). Справедливость уравнения непрерывности тгсисйшилг образом связана с самосопряжеиностью гамильтониаиа Н. Это свойство гамильтониаиа было неявно использовано нами при выводе (29.5) ') Видоизменение обусловлено тем, что при налн ~ни магнитного поля операторы Р,, Рг, Р, с)ть операторы обобшенного импульса, а не обычного (произведение а~зевсы на скорость).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
